Matematyka stosowana · Poradnik Eqora
Interpolacja liniowa: co leży między danymi?
Ustal położenie szukanego argumentu między dwoma pomiarami, przenieś ten sam ułamek na przedział wartości i oceń sens modelu liniowego.
Interpolacja liniowa służy do oszacowania wartości wewnątrz przedziału wyznaczonego przez dwa znane punkty. Załóżmy, że o 08:00 zanotowano 12 °C, a o 12:00 było 20 °C, lecz brakuje odczytu z 10:30. Ta chwila leży 2,5 godziny od początku czterogodzinnego przedziału, czyli w części 2,5/4 = 0,625. Tę samą część przenosimy na wzrost o 8 °C: 12 + 0,625 × 8 = 17 °C. Rachunek jest dokładny dla prostej, ale rzeczywista temperatura nie musi zmieniać się liniowo.
Najważniejszy krok wykonuje się przed użyciem wzoru: trzeba wybrać dwa pomiary otaczające szukany argument. Interpolacja pozostaje między nimi, natomiast ekstrapolacja wychodzi poza zakres. W poradniku wyprowadzimy wzór, rozwiążemy przykłady z rosnącymi i malejącymi danymi, znajdziemy argument z zadanej wartości, zastosujemy metodę odcinkami w tabeli i sprawdzimy wynik niezależnie. Zdjęcia z nadmorskiej stacji są analogiami punktów końcowych, położenia, zakresu i kontroli, a nie danymi do obliczeń.
Polska Zintegrowana Platforma Edukacyjna używa określenia „interpolacja liniowa” przy uzupełnianiu brakujących danych. NIST opisuje interpolację jako wyznaczanie nowych wartości na podstawie znanych punktów i odróżnia ją od dopasowania, które nie musi przechodzić przez każdy pomiar. W interpolacji liniowej zakładamy lokalnie stałe tempo zmiany. To założenie trzeba zapisać, bo poprawnie policzone oszacowanie może być nietrafne, gdy zjawisko ma krzywiznę, skok, cykl albo nagłą zmianę tempa.
Interpolacja liniowa zachowuje położenie między końcami
Niech znane punkty będą równe (x₀, y₀) oraz (x₁, y₁), przy x₀ ≠ x₁. Szukany argument x zajmuje część t = (x − x₀)/(x₁ − x₀) przedziału poziomego. Interpolacja przenosi tę samą część na zmianę pionową: y = y₀ + t(y₁ − y₀). Po połączeniu otrzymujemy y = y₀ + [(x − x₀)/(x₁ − x₀)](y₁ − y₀). Jest to równanie prostej przechodzącej przez oba punkty, zapisane tak, aby było widać udział drogi między końcami.
Ułamek t tłumaczy metodę lepiej niż zapamiętany ciąg symboli. Gdy x leży dokładnie w połowie, t = 0,5 i wartość y również znajduje się w połowie. Przy jednej czwartej bierzemy jedną czwartą całkowitej zmiany y. Mosiężne naczynia i koralowy znacznik na zdjęciu pokazują położenie bez udawania wykresu. W zapisie wyraźnie oznacz dolny i górny punkt; połączenie x z jednego wiersza z y z innego tworzy wiarygodny, lecz błędny odcinek.
Przykład z czasem i temperaturą policz w dwóch etapach
Dla przedziału od 08:00 do 12:00 przyjmij x₀ = 8, x₁ = 12 oraz x = 10,5. Udział położenia wynosi t = (10,5 − 8)/(12 − 8) = 2,5/4 = 0,625. Wartości temperatury to y₀ = 12 i y₁ = 20, więc zmiana wynosi 8 °C. Stąd y = 12 + 0,625 × 8 = 17 °C. Jednostki czasu muszą być zgodne: 10:30 to 10,5 godziny, a nie liczba dziesiętna 10,30.
Do kontroli użyj równoważnej postaci średniej ważonej: y = (1 − t)y₀ + ty₁. Otrzymujemy 0,375 × 12 + 0,625 × 20 = 4,5 + 12,5 = 17. Obie wagi są między zerem a jedynką i sumują się do jednego, więc wynik musi leżeć między 12 a 20. Forma ważona pokazuje też wpływ końców. Godzina 10:30 jest bliżej 12:00, dlatego wartość 20 °C otrzymuje większą wagę niż 12 °C.
Dane malejące korzystają z tego samego wzoru
Wysokość wody wynosi 3,4 m o 06:00 i 2,2 m o 09:00. Oszacuj wartość liniową o 07:15. Cel leży 1,25 godziny w trzygodzinnym przedziale, więc t = 1,25/3 = 5/12. Zmiana wartości to 2,2 − 3,4 = −1,2 m. Zatem y = 3,4 + (5/12)(−1,2) = 3,4 − 0,5 = 2,9 m. Ujemna różnica automatycznie zachowuje kierunek spadku.
Nie odwracaj tylko jednego odejmowania. Gdy ułamek t liczysz od x₀ do x₁, zmianę wartości zapisz jako y₁ − y₀ w tym samym porządku. Odwrócenie obu porządków daje ten sam wynik; odwrócenie jednego zmienia znak. Kontrola przedziału natychmiast wykrywa problem: wynik interpolacji musi pozostawać między 2,2 m a 3,4 m. Nie jest to prognoza pływów, bo rzeczywisty poziom wody nie zmienia się stale na podstawie dwóch odczytów.
W większej tabeli wybierz parę otaczającą cel
Tabela może zawierać wiele pomiarów. Aby oszacować wartość przy x = 7, załóżmy, że sąsiednie wiersze to (5, 18) i (9, 30). Korzystamy z tego lokalnego odcinka, a nie automatycznie z pierwszego i ostatniego wiersza. Ułamek wynosi (7 − 5)/(9 − 5) = 1/2, zatem y = 18 + 1/2(30 − 18) = 24. Dla x = 8 otrzymujemy t = 3/4 i y = 27. Interpolacja odcinkami liniowa łączy kolejne pary osobnymi prostymi.
Najpierw uporządkuj dane według x. Powtórzone argumenty wymagają uwagi: gdy dwa wiersze mają to samo x, lecz różne y, nie da się zbudować jednowartościowego odcinka funkcji w przedziale o zerowej szerokości. Sprawdź też jednostki. Nie interpoluj bezpośrednio czasu podanego raz w sekundach, a raz w minutach. Nad wzorem zapisz oba wybrane punkty, cel oraz jednostki. Dzięki temu inna osoba może odtworzyć decyzję i zauważyć, jeśli użyto niewłaściwych sąsiadów.
Interpolacja i ekstrapolacja mają różną siłę dowodową
Dla x₀ = 5 i x₁ = 9 argument x = 7 oznacza interpolację, bo 5 ≤ 7 ≤ 9. Argument x = 12 oznacza ekstrapolację, ponieważ leży poza zakresem. Wzór nadal zwraca liczbę: t = 7/4 i prosta zostaje przedłużona. Dane nie otaczają już jednak przewidywania, więc mamy mniej podstaw, by zakładać dalsze stałe tempo. Taki wynik nazwij ekstrapolacją i dodaj wyraźne zastrzeżenie zamiast przedstawiać go jako równie mocne oszacowanie.
Zielony znacznik na zdjęciu znajduje się między słupkami, a czerwony poza nimi. To rozróżnienie sprawdź przed rachunkiem. Nawet interpolacja może być niewłaściwa, gdy wewnątrz przedziału istnieje skok: urządzenie włącza się progowo, cena zmienia się stopniami albo materiał przechodzi przemianę fazową. Położenie wewnątrz zakresu jest warunkiem interpolacji, lecz nie dowodem liniowości zjawiska. Potrzebna jest jeszcze wiedza o kontekście i jakości pomiarów.
Interpolacja odwrotna znajduje argument dla zadanej wartości
Kiedy znamy wynik, a szukamy argumentu, odwracamy rozumowanie. W przykładzie temperaturowym pytamy, kiedy prosta osiągnie 18 °C. Od 12 do 18 jest 6 °C z całkowitego wzrostu 8 °C, więc t = 6/8 = 0,75. Przenosimy ten udział na cztery godziny: x = 8 + 0,75 × 4 = 11. Szacowana chwila to 11:00. Metoda działa, gdy wartości końcowe są różne, a odcinek jest monotoniczny.
Wzór można zapisać jako x = x₀ + [(y − y₀)/(y₁ − y₀)](x₁ − x₀). Jeżeli zadanie dotyczy interpolacji, docelowe y powinno leżeć między y₀ a y₁. Przy y₀ = y₁ w mianowniku pojawia się zero. Płaski odcinek przyjmuje stałą wartość w każdym punkcie albo wcale nie osiąga innego celu, więc nie wybierzemy jednego x. Ten przypadek trzeba opisać, a nie maskować dzieleniem przez zero.
Zaokrąglaj dopiero po zachowaniu potrzebnej dokładności
Udział położenia bywa rozwinięciem okresowym. Czujnik wskazuje 14,2 przy x = 2 oraz 19,1 przy x = 5. Dla x = 3 ułamek wynosi 1/3. Pozostawienie dokładnego ułamka daje y = 14,2 + (1/3)(4,9) = 15,8333… . Jeśli rozdzielczość pomiaru uzasadnia części dziesiąte, podaj 15,8. Wcześniejsze zastąpienie 1/3 przez 0,3 prowadzi do 15,67 i wyniku 15,7, czyli wprowadza dodatkowy, zbędny błąd.
Rozdziel dokładność obliczeń od wiarygodności danych. Więcej cyfr na kalkulatorze nie sprawia, że założenie prostej ani pomiary stają się dokładniejsze. Wynik zaokrąglij zgodnie z kontekstem i oznacz jako oszacowanie. Jeżeli punkty końcowe mają niepewność, wartość pośrednia ją dziedziczy. Analiza naukowa może wymagać propagacji niepewności albo innego modelu. Zwykła interpolacja liniowa nie usuwa szumu i nie potwierdza jakości danych.
Zachowaj także rzeczywistą skalę argumentu. Połowa między 31 stycznia a 28 lutego nie musi oznaczać czternastego dnia każdego miesiąca; najpierw zamień daty na liczbę dni od wspólnego początku. Podobnie odległość na osi logarytmicznej nie jest zwykłą odległością liniową, dopóki zadanie nie każe interpolować właśnie w przekształconej skali. W arkuszu kalkulacyjnym sprawdź, czy czas zapisano jako datę, godzinę lub tekst. Poprawny wzór zastosowany do błędnie zakodowanej osi nadal daje błędne oszacowanie, mimo eleganckiego wyniku i wielu cyfr.
Sprawdź zakres, końce, nachylenie i założenia
Wykonaj cztery kontrole. Po pierwsze, dla interpolacji t musi należeć do przedziału od zera do jednego. Po drugie, podstawienie x = x₀ powinno zwrócić y₀, a x = x₁ wartość y₁. Po trzecie, wynik musi leżeć między wartościami końcowymi. Po czwarte, sprawdź nachylenie (y₁ − y₀)/(x₁ − x₀) wraz z jednostką. W przykładzie temperatury jest to 2 °C na godzinę, więc przez 2,5 godziny przybywa 5 °C i ponownie otrzymujemy 17 °C.
Na końcu oceń sens stałego tempa. Szukaj krzywizny, progów, cykli, nagłych zdarzeń, nierównych odstępów i lepszego modelu dziedzinowego. Trzy cylindry i osobna waga na zdjęciu symbolizują niezależną kontrolę, ale nie są dowodem dla przykładów. W ważnych decyzjach technicznych, finansowych, medycznych lub środowiskowych korzystaj ze zweryfikowanych metod i wiedzy specjalistycznej. Interpolacja jest użyteczna wtedy, gdy lokalne założenie i jego granice są jawne.
Wprowadź to w praktykę teraz
Wybierz zadanie z aktualnej pracy domowej lub listy powtórkowej. Spróbuj sam, zanim otworzysz Eqora, i użyj aplikacji dopiero tam, gdzie kończy się twoje własne rozumowanie.
- Powiedz, o co pyta zadanie, zanim zaczniesz rozwiązywać
- Wskaż pierwszy krok, którego nie potrafisz obronić
- Zadaj Eqora konkretne pytanie właśnie o ten krok
- Zakończ podobnym zadaniem bez rozwiązania w zasięgu wzroku
Runda nauki jest skończona, gdy metoda jest jaśniejsza — nie tylko wtedy, gdy arkusz ma odpowiedź.