Algebra · Eqora-guide
Når er addisjonsmetoden smartest i et likningssett?
Finn koeffisientene som lettest kan oppheve hverandre, regn med hele likninger og sjekk svaret i begge utgangspunkt.
Addisjonsmetoden er nyttig når et likningssett har to ukjente som opptrer i begge likningene. Du former likningene slik at én ukjent forsvinner når hele radene legges sammen. Da kan du finne den andre ukjente med vanlig algebra, sette verdien tilbake og kontrollere paret. Metoden kalles også eliminasjonsmetoden. Navnet er mindre viktig enn spørsmålet du bør stille først: Hvilken koeffisient kan du lettest få til å bli motsatt av den i den andre raden?
I likningssettet 2x + 3y = 17 og 4x − 3y = 7 er +3y og −3y allerede motsatte. Legg sammen: 6x = 24, derfor x = 4. Den første opprinnelige likningen gir 8 + 3y = 17, så y = 3. Du er ikke ferdig før begge er sjekket: 2·4 + 3·3 = 17 og 4·4 − 3·3 = 7. Svaret er tallparet (4, 3), ikke bare x = 4. Vi skal se hvorfor hele likninger må behandles likt, hvordan like fortegn håndteres, og hvorfor enkelte sett har ingen eller uendelig mange løsninger.
Denne forklaringen kan følges med blyant og papir uten å bruke noen app. Bildene av vekter og fargede lodd er en påminnelse om likevekt, ikke nøyaktige modeller for tallene i eksemplene. Eqora utgir artikkelen og kan brukes som et frivillig læremiddel, men gir ingen garanti for korrekt avlesning, svar eller karakterer. Sjekk selv oppgavetekst, fortegn, forutsetninger og resultat i de opprinnelige likningene. På prøver gjelder alltid reglene for tillatte hjelpemidler.
Addisjonsmetoden starter med å velge en ukjent
Sett x-ledd under x-ledd og y-ledd under y-ledd, og ha tallene alene på høyre side. For 2x + 3y = 17 og 4x − 3y = 7 er x-koeffisientene 2 og 4. y-koeffisientene er +3 og −3, og disse summeres til null. Derfor er det naturlig å fjerne y. Du kunne ha fjernet x ved å gange en rad først, men det gir mer regning enn nødvendig. Valget bør gjøre mellomregningene oversiktlige og fortegnene enkle å følge.
To likninger uttrykker to betingelser som skal være sanne samtidig. Hvis et tallpar oppfyller A = B og C = D, oppfyller det også A + C = B + D. Dermed er det lov å legge hele likningene sammen. Men den nye ene likningen alene beviser ikke at et funnet tallpar passer i begge gamle. Du må sette inn verdien av den gjenværende ukjente og deretter teste begge utgangspunkt. Fotografiets to vekter viser ideen om to likevekter; de angir ikke verdiene til koeffisientene i regnestykket.
Legg sammen når koeffisientene er motsatte
Skriv de to radene slik at like ledd står i kolonner. Legg så sammen 2x + 3y = 17 og 4x − 3y = 7. x-leddene gir 6x, y-leddene gir 3y − 3y = 0, og høyresidene gir 17 + 7 = 24. Dermed får du 6x = 24 og x = 4. Husk at høyresidene må behandles akkurat som venstresidene. Hvis bare leddene med bokstaver legges sammen, har du sluttet å regne med likninger.
Sett x = 4 inn i den første opprinnelige raden: 2·4 + 3y = 17, så 3y = 9 og y = 3. Test også den andre: 4·4 − 3·3 = 7. En løsning på et likningssett er et ordnet tallpar som passer i begge radene. Hvis den første stemmer, men den andre ikke gjør det, undersøk hvor du kopierte en konstant, mistet et minustegn eller ganget bare en del av en likning.
Trekk fra når koeffisientene er like
I x + 2y = 11 og 3x + 2y = 17 har begge y-ledd koeffisienten +2. Addisjonen ville gitt 4y, så her er subtraksjon enklere. Trekk hele den første likningen fra den andre: (3x + 2y) − (x + 2y) = 17 − 11. Det gir 2x = 6 og x = 3. Bruk den første raden til å finne y: 3 + 2y = 11, derfor y = 4. I den andre blir kontrollen 3·3 + 2·4 = 17.
Parentesen rundt det som trekkes fra, beskytter fortegnene. −(x + 2y) betyr −x − 2y, og også tallet på høyre side må trekkes fra. En annen måte å skrive samme fremgangsmåte på er å gange hele første likning med −1 og så legge sammen. Addisjonsmetoden handler dermed ikke om å bruke plusstegn for enhver pris. Den handler om å kombinere gyldige hele likninger slik at én av de ukjente forsvinner.
Lag motsatte koeffisienter ved å gange hele raden
Hvis ingen koeffisienter passer, kan de tilpasses. Løs 3x + 2y = 18 og 5x + 3y = 29. y-koeffisientene 2 og 3 kan bli +6 og −6. Gang hele den første likningen med 3: 9x + 6y = 54. Gang hele den andre med −2: −10x − 6y = −58. Når radene legges sammen, står −x = −4 igjen, altså x = 4. I første opprinnelige rad gir 12 + 2y = 18 verdien y = 3. Den andre kontrollen er 20 + 9 = 29.
Det er avgjørende at både x-leddet, y-leddet og konstanten ganges. Hvis du gjør 3x + 2y = 18 om til 9x + 2y = 18, har du laget en ny likning som vanligvis har andre løsninger. En faktor lik null ville på sin side viske ut all informasjon i raden; bruk bare faktorer ulik null. Minste felles multiplum av 2 og 3 er 6, og det holder tallene små. Du kunne eliminert x med større koeffisienter, men mer kompliserte tall er ofte unødvendige.
Ta med minustegnet gjennom hele regningen
Koeffisienten til y i 4x − 3y = 7 er −3. Det er lett å lese bare tallet 3 og glemme fortegnet når du planlegger elimineringen. I −2x + y = −5 er x-koeffisienten −2, mens konstanten er −5. Et negativt fortegn følger leddet sitt. Hvis du ganger med et negativt tall, bytter alle ledd i likningen fortegn, også tallet etter likhetstegnet.
Prøv −2x + y = −5 og 3x + y = 10. Begge y-ledd er +y, så trekk den første hele raden fra den andre. Da blir x-delen 3x − (−2x) = 5x og høyresiden 10 − (−5) = 15. Dermed x = 3. Første rad gir −6 + y = −5, slik at y = 1. Sjekk andre rad: 9 + 1 = 10. Hvis du fikk x = 1, kan en feil med minus foran parentesen være årsaken. Skriv hele subtraksjonen før du forenkler.
Beskriv ukjente størrelser før du setter opp et likningssett
Tenk deg to slags like lodd. To blå og ett oransje veier til sammen 11 masseenheter. Ett blått og tre oransje veier 13 masseenheter. La x være massen til ett blått lodd og y massen til ett oransje lodd, i samme enhet. Da får du 2x + y = 11 og x + 3y = 13. Hvis du bytter betydningen av x og y halvveis, kan algebraen være perfekt, mens svaret på tekstoppgaven er feil.
Gang hele den andre likningen med −2: −2x − 6y = −26. Legg den til 2x + y = 11. Resultatet er −5y = −15, så y = 3 masseenheter. Første likning gir 2x + 3 = 11, derfor x = 4 masseenheter. Originalene kontrolleres med 2·4 + 3 = 11 og 4 + 3·3 = 13. Bildene av vektene viser ikke akkurat disse målingene. I en praktisk oppgave må du også vurdere om massene, enhetene og antakelsen om identiske lodd gir mening.
Skill mellom uendelig mange løsninger og ingen løsning
Hva skjer hvis elimineringen fjerner begge ukjente? For x + y = 5 og 2x + 2y = 10 kan du gange den første raden med 2 og trekke den andre fra. Da får du 0 = 0, som er sant. De to likningene beskriver samme linje. Alle par som oppfyller x + y = 5, for eksempel (0, 5) og (2, 3), oppfyller også den andre. Null-likheten betyr ikke at x = 0 og y = 0.
Bytt den andre høyresiden til 12: x + y = 5 og 2x + 2y = 12. Nå gir samme eliminasjon 0 = 2, som aldri er sant. Ingen tallpar løser begge likningene. Grafene er parallelle linjer. I faglig språk er det første systemet avhengig og det andre inkonsistent. Poenget for løsningen din er enklere: skriv enten uendelig mange løsninger eller ingen løsning, og vis hvilken null-likhet som begrunner det. Ikke del på null for å presse ut en verdi.
Brøkkoeffisienter kan ryddes bort på lovlig vis
Betrakt (1/2)x + y = 5 og x − 2y = 2. Gang hele den første likningen med 2. Da får du x + 2y = 10, som er lettere å legge til den andre: 2x = 12, så x = 6. Sett dette inn i den første opprinnelige likningen: 3 + y = 5, altså y = 2. Den andre originalen gir 6 − 2·2 = 2. Brøken var ikke et hinder; vi valgte bare en nyttig ikke-null faktor.
Hvis flere ledd har ulike nevnere, bruk et felles multiplum. Ganger du hele (1/2)x + (1/3)y = 2 med 6, får du 3x + 2y = 12. Hvis høyresiden fremdeles var 2, ville likningen være endret. Behold eksakte brøker underveis når oppgaven ikke ber om avrunding. Ved målinger kan et tilnærmet svar være relevant, men vent med avrundingen til slutten og kontroller at den oppgitte enheten passer til det du faktisk har funnet.
Bruk grafen som en forklaring, ikke som fasit
To rette linjer som krysser hverandre én gang, har ett felles punkt. Det punktet er løsningen på likningssettet. En håndtegnet graf kan vise at punktet ligger omtrent ved (4, 3), men små rutenett gir sjelden et sikkert eksakt svar. Addisjonsmetoden finner koordinatene algebraisk; innsetting i originalene bekrefter dem. Hvis ditt talpar ligger langt fra den synlige skjæringen, bør du sjekke fortegn, koeffisienter og kopierte konstanter.
Grafen gjør også 0 = 0 og 0 = et annet tall lettere å tolke: sammenfallende eller parallelle linjer. Velg likevel metode etter oppgaven. Hvis en ukjent allerede er isolert, kan innsettingsmetoden være kortere. Hvis koeffisientene allerede er motsatte eller lett kan gjøres like store, er addisjonsmetoden ofte enklere. Begge kan være korrekte; de er bare forskjellige veier til det samme kontrollerbare talparet.
Kontroller begge originalene og øv på en ny variant
Skriv svaret som (x, y) hvis det er den rekkefølgen oppgaven bruker. Sett inn begge tallene i begge opprinnelige likningene, ikke bare i radene du ganget om. For åpningssystemet ble kontrollen 17 = 17 og 7 = 7. Et pent mellomresultat er ikke nok: et tapt minustegn kan gi et tallpar som ser rimelig ut, men ikke oppfyller det faktiske systemet. Hvis en kontroll feiler, finn det første stedet der den skrevne oppgaven og din egen regning skiller lag.
Løs 2x + y = 8 og x − y = 1 på egen hånd. Summen er 3x = 9, så x = 3 og y = 2. Prøven er 2·3 + 2 = 8 og 3 − 2 = 1. Endre deretter bare den andre høyresiden til 4. Da blir summen 3x = 12, x = 4 og y = 0. Begge nye originaler stemmer. Du har nå brukt samme idé på nye data, ikke bare gjentatt et svar fra et ferdig eksempel.
Hvis du bruker Eqora eller en kalkulator til å undersøke et tvilsomt trinn, sammenlikn først den registrerte oppgaven med arket. Forklar selv hvorfor den valgte ukjente oppheves, og løs så et nytt sett uten skjermen. Verktøyet er til hjelp for læring, ikke en erstatning for eget prøvearbeid eller en garanti for riktige svar. Å lese notasjon og forutsetninger riktig og kontrollere begge sluttlikninger er ditt ansvar.
Sett det i praksis nu
Velg et problem fra dine aktuelle lekser eller repetisjonslisten. Prøv selv før du åpner Eqora, og bruk appen først der ditt eget resonnement stopper.
- Si hva oppgaven spør etter, før du begynner å løse
- Identificér det første steg, du ikke kan forsvare
- Still et konkret oppfølgingsspørsmål til Eqora om nettopp det steget
- Avslutt med et lignende problem uten løsningen i sigte
Studierunden er ferdig når metoden er tydeligere — ikke bare når arket har ét svar mer.