Statistik und Wahrscheinlichkeit · Ratgeber von Eqora
Erwartungswert berechnen: Mittelwert statt Vorhersage
Gewichten Sie mögliche Werte mit ihren Wahrscheinlichkeiten. Prüfen Sie anschließend, welche Aussage der Durchschnitt tatsächlich erlaubt.
Ein Modell beschreibt den Ersatzbedarf eines Mosaikkurses: null Plättchen mit Wahrscheinlichkeit 0,5, zwei mit 0,3 und fünf mit 0,2. Daraus lässt sich ein Erwartungswert berechnen: 1,6 Plättchen. Trotzdem benötigt kein einzelner Kurs genau 1,6. Das ist kein Rechenfehler. Ein Erwartungswert beschreibt einen mit Wahrscheinlichkeiten gewichteten Durchschnitt und nicht das sichere Ergebnis des nächsten Versuchs.
Die eigentliche Schwierigkeit liegt oft vor und nach der Rechnung: Was misst die Zufallsvariable, und wie lässt sich die Zahl anschließend sinnvoll erklären? Wir erstellen eine vollständige endliche Verteilung, berechnen jeden Beitrag, unterscheiden Durchschnitt und wahrscheinlichsten Wert und kontrollieren ein verändertes Beispiel. Sämtliche Schritte funktionieren auf Papier; eine App ist für diesen Lernweg nicht erforderlich.
Eqora veröffentlicht diesen Beitrag als Lernhilfe, nicht als Ersatz für Prüfungsarbeit oder Garantie für richtige Ergebnisse und Noten. Prüfen Sie Aufgabenstellung, Begriffe, Einheiten und Annahmen selbst. Die Kursdaten sind erfundene exakte Lehrwerte, keine Beobachtungen und keine betriebliche Planungsempfehlung. Die Fotos dienen als Anschauungsbilder; ihre sichtbaren Stückzahlen bilden die angegebenen Wahrscheinlichkeiten nicht ab.
Erwartungswert berechnen: zuerst die Größe festlegen
X bezeichnet die Anzahl benötigter Ersatzplättchen in einem Kurs. Der Großbuchstabe steht für die Zufallsvariable, solange das Ergebnis noch unbekannt ist. Ein konkreter Wert wie x = 2 beschreibt eine mögliche Realisierung. Entscheidend ist, dass X Ersatzplättchen zählt und nicht sämtliche verwendeten Steine, zerbrochene Fragmente oder Teilnehmende. Für jede andere Größe könnte eine andere Verteilung gelten.
In unserem Modell sind 0, 2 und 5 die möglichen Werte. Die Fälle schließen sich gegenseitig aus: Ein Kurs kann nicht gleichzeitig null und fünf Ersatzplättchen benötigen. Außerdem erfassen sie hier sämtliche Möglichkeiten. Wäre ein Bedarf von vier möglich, aber nicht aufgeführt, wäre die Verteilung unvollständig. Eine sauber ausgeführte Rechnung könnte dann dennoch die falsche Größe zusammenfassen.
Schreiben Sie deshalb zuerst einen Satz über Versuch und Einheit. Der Versuch ist ein Kurs unter den festgelegten Bedingungen; die Einheit lautet Ersatzplättchen pro Kurs. Eine Wahrscheinlichkeit besitzt dagegen keine Plättcheneinheit, sondern liefert das Gewicht eines möglichen Werts. Diese Trennung hilft, überlappende Ereignisse und versehentlich gemittelte Kategorien zu erkennen. Eine Rechenformel ersetzt diese inhaltliche Definition nicht.
Wahrscheinlichkeiten müssen die gesamte Verteilung abdecken
Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen null und eins. Für sämtliche möglichen Werte zusammen muss ihre Summe eins ergeben: 0,5 + 0,3 + 0,2 = 1. Die Zahlen stehen für fünfzig, dreißig und zwanzig Prozent, nicht für entsprechende Stückzahlen. Prozentangaben werden vor der Multiplikation in Dezimalzahlen umgerechnet. Wer fünfzig statt 0,5 einsetzt, erhält einen um den Faktor hundert zu großen Beitrag.
Der Erwartungswert ist ein gewichteter Mittelwert: E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + ⋯ + xₖpₖ. Jedes Wertepaar besteht aus einem möglichen Wert und genau seiner Wahrscheinlichkeit. Die universitären Erläuterungen von Yale definieren den Erwartungswert über diese Gewichtung. Eine zusätzliche Division durch die Anzahl der Tabellenzeilen entfällt, weil die Wahrscheinlichkeiten bereits zusammen eins ergeben. Nicht die Zahl der Kategorien entscheidet über ihre Gewichte.
Bei beobachteten Häufigkeiten müssen Sie unterscheiden, ob ein Stichprobenmittel oder eine geschätzte zukünftige Verteilung gefragt ist. Unser Beitrag zum gewichteten Mittelwert erläutert die Normierung von Häufigkeiten durch ihre Gesamtsumme. Zehn beobachtete Kurse beweisen keine exakten zukünftigen Wahrscheinlichkeiten. Eine in der Aufgabe festgelegte Verteilung und ein aus Daten geschätztes Modell können dieselbe Rechenform nutzen, haben aber unterschiedlich belastbare Voraussetzungen.
Erst einzelne Beiträge berechnen, dann addieren
Die Beiträge unseres Modells lauten 0 × 0,5 = 0, 2 × 0,3 = 0,6 und 5 × 0,2 = 1. Zusammengenommen ergibt das E(X) = 1,6 Ersatzplättchen pro Kurs. Der Fall null bleibt in der Verteilung stehen, obwohl sein Produkt null ist. Er beansprucht die Hälfte der gesamten Wahrscheinlichkeit und erklärt, warum die beiden anderen Fälle nicht gleichberechtigt behandelt werden dürfen.
Die Abkürzung (0 + 2 + 5)/3 = 7/3 wäre falsch für dieses Modell. Sie behandelt die drei unterschiedlichen Werte so, als hätte jeder Wahrscheinlichkeit ein Drittel. Tatsächlich ist null stärker gewichtet als jeder andere Wert. Die Abkürzung beantwortet also eine andere Frage. Eine übersichtliche Handschrift enthält je Wert eine Zeile mit Wahrscheinlichkeit und Produkt; erst nach Kontrolle der Zuordnung werden die Produkte summiert.
Zur unabhängigen Kontrolle konstruieren wir zehn Fälle mit genau fünf Nullfällen, drei Zweierfällen und zwei Fünferfällen. Diese Gruppe benötigt 5 × 0 + 3 × 2 + 2 × 5 = 16 Ersatzplättchen, durchschnittlich 16/10 = 1,6. Diese gedachte Gruppe veranschaulicht die Gewichtung. Sie behauptet nicht, dass sich in jeder tatsächlich durchgeführten Gruppe von zehn Kursen genau diese Häufigkeiten einstellen müssen.
Ein gebrochener Durchschnitt ist kein gebrochenes Ereignis
Die Zahl 1,6 fasst die Verteilung zusammen, ohne ihr einen neuen möglichen Ausgang hinzuzufügen. Ein einzelner Kurs benötigt nach unserem Modell 0, 2 oder 5 Ersatzplättchen. Ein Durchschnitt über mehrere ganzzahlige Anzahlen darf hingegen eine Dezimalzahl sein. Vergleichbar kann eine durchschnittliche Haushaltsgröße zwischen ganzen Zahlen liegen, obwohl kein einzelner Haushalt einen Bruchteil einer Person enthält. Entscheidend ist die Ebene der Aussage.
Am wahrscheinlichsten ist hier null, denn 0,5 ist größer als 0,3 und 0,2. Dieser Wert ist der Modus, nicht der Erwartungswert. Dass zwei nahe bei 1,6 liegt, macht zwei keineswegs zum wahrscheinlichsten Ergebnis. Auch das Runden des Erwartungswerts verändert die Verteilung nicht. Es ist eine Bearbeitung der zusammenfassenden Zahl und keine neue Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Einzelereignis.
Trennen Sie in einer Aufgabe deshalb drei Fragen: Welcher Durchschnitt ergibt sich, welcher Einzelwert ist am wahrscheinlichsten und welche Menge deckt alle modellierten Fälle ab? Für E(X) lautet die Antwort 1,6 mit einer Erklärung zum Durchschnitt. Eine sichere Abdeckung jedes möglichen modellierten Kurses würde dagegen den größten aufgeführten Bedarf fünf berücksichtigen. Praktische Entscheidungen können zusätzliche Bedingungen erfordern, die diese Lehrrechnung nicht liefert.
Die langfristige Deutung braucht unveränderte Voraussetzungen
Bei unabhängigen Wiederholungen mit derselben endlichen Verteilung nähert sich der beobachtete Durchschnitt im Sinn des Gesetzes der großen Zahlen dem Erwartungswert. Damit ist weder ein fester Zeitpunkt noch eine exakte Gleichheit nach einer bestimmten Versuchszahl gemeint. Kurze Folgen können erheblich von 1,6 abweichen. Auch viele Nullfälle hintereinander verpflichten den nächsten Kurs nicht zu einem ausgleichend großen Ersatzbedarf.
Die Wahrscheinlichkeiten müssen weiterhin zur wiederholten Situation passen. Andere Materialien, veränderte Kursgrößen oder eine neue Definition von Ersatz können die Verteilung verändern. Werden Daten verschiedener Bedingungen vermischt, beschreiben sie möglicherweise ein Mischmodell statt des ursprünglichen Modells. Die richtige Formel repariert keine unbelegte Annahme über Herkunft und Gültigkeit der eingesetzten Wahrscheinlichkeiten. Diese Grenze gehört zur mathematischen Interpretation, nicht nur zur Datenerhebung.
Eine passende Formulierung nennt Zahl und Voraussetzungen gemeinsam: Unter diesem festgelegten stabilen Modell beträgt der langfristige mittlere Ersatzbedarf 1,6 Plättchen pro Kurs. Vermeiden Sie Aussagen wie der nächste Kurs braucht ungefähr zwei oder jede Zehnergruppe braucht sechzehn. Beide behaupten mehr, als der Erwartungswert allein rechtfertigt. Für einzelne Ereignisse müssen Sie auf die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten der vollständigen Verteilung zurückgreifen.
Lineare Veränderungen und Quadrate nicht verwechseln
Für eine zusätzliche Rechenübung bringt jedes Ersatzplättchen drei Übungspunkte, und jeder Kurs erhält einen festen Punkt. Dann ist Y = 3X + 1. Die möglichen Punktzahlen sind 1, 7 und 16 mit unveränderten Wahrscheinlichkeiten. Direkt ergibt sich E(Y) = 1 × 0,5 + 7 × 0,3 + 16 × 0,2 = 5,8. Ebenso liefert 3E(X) + 1 = 3 × 1,6 + 1 das Ergebnis 5,8.
Das veranschaulicht die Linearität des Erwartungswerts: E(aX + b) = aE(X) + b in diesem endlichen Modell. Der feste Betrag wird zum Erwartungswert einmal addiert, nicht einmal pro ungewichteter Tabellenzeile. Auch E(X + Z) = E(X) + E(Z) gilt für endliche Zufallsvariablen ohne Unabhängigkeit. Für zahlreiche Wahrscheinlichkeits- und Varianzregeln ist Unabhängigkeit wichtig; diese Summenregel benötigt sie jedoch nicht.
Übertragen Sie die Regel nicht auf beliebige Produkte oder nichtlineare Funktionen. Hier gilt E(X²) = 0² × 0,5 + 2² × 0,3 + 5² × 0,2 = 6,2. Dagegen ist [E(X)]² = 1,6² = 2,56. Erst quadrieren und dann mitteln ist etwas anderes als den Mittelwert zu quadrieren. Schreiben Sie im Zweifel die umgeformten möglichen Werte einzeln auf, bevor Sie deren Beiträge berechnen.
Gleiche Erwartungswerte können verschieden stark streuen
Modell A liefert immer zwei Plättchen. Modell B liefert mit Wahrscheinlichkeit jeweils ein Halb entweder null oder vier. Beide Erwartungswerte sind zwei. A schwankt überhaupt nicht; B nimmt den Wert zwei niemals an. Der Durchschnitt beschreibt also weder die gesamte Streuung noch die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Schwelle zu überschreiten. Wer nur Erwartungswerte vergleicht, kann wesentliche Unterschiede zwischen den möglichen Ergebnissen übersehen.
In unserem Kursmodell ist die Varianz E(X²) − [E(X)]² = 6,2 − 2,56 = 3,64 in quadrierten Plättcheneinheiten. Die Standardabweichung beträgt √3,64, ungefähr 1,91 Plättchen. Bei der Varianz wird die Einheit quadriert, bei der Standardabweichung ist sie wieder die ursprüngliche. Diese Streuungsmaße ergänzen den Mittelwert; sie sagen trotzdem nicht das genaue nächste Ergebnis voraus und ersetzen die Verteilung nicht.
Berechnen Sie die Varianz nur, wenn sie gefragt ist. Wichtig ist zunächst, dass der Erwartungswert keine beliebige Wahrscheinlichkeitsfrage beantwortet. Für einen Bedarf von mehr als einem Ersatzplättchen addieren wir die Wahrscheinlichkeiten der Werte zwei und fünf: 0,3 + 0,2 = 0,5. Den Durchschnitt durch die Schwelle zu teilen oder 1,6 als Wahrscheinlichkeit zu lesen, würde diese Ereignisfrage nicht korrekt lösen.
Ein neues Modell vollständig selbst auswerten
Die neue Zufallsvariable Z zählt Ersatzstücke mit den möglichen Werten 1, 3 und 6 und den Wahrscheinlichkeiten 0,4, 0,4 und 0,2. Definieren Sie vor dem Rechnen die Einheit, kontrollieren Sie die Wahrscheinlichkeitssumme und ordnen Sie jeden Wert seinem Gewicht zu. Der Erwartungswert ist 1 × 0,4 + 3 × 0,4 + 6 × 0,2 = 0,4 + 1,2 + 1,2 = 2,8 Stück pro Versuch.
Das Ergebnis liegt zwischen dem Minimum eins und dem Maximum sechs. Diese Grenze gilt für jeden endlichen mit Wahrscheinlichkeiten gewichteten Mittelwert; allein beweist sie die Rechnung aber noch nicht. Die beiden Modi sind eins und drei, während 2,8 kein möglicher Einzelwert ist. Vier Einserfälle, vier Dreierfälle und zwei Sechserfälle ergeben als gedachte Zehnergruppe achtundzwanzig Stück und damit den kontrollierten Durchschnitt 2,8.
Erklären Sie zuletzt in eigenen Worten: Die festgelegten Wahrscheinlichkeiten führen langfristig zu durchschnittlich 2,8 Stück pro Versuch, ohne den nächsten Versuch vorherzusagen. Unser Leitfaden zur eigenständigen Ergebniskontrolle hilft bei diesem Abgleich mit den Ausgangsbedingungen. Halten Sie Verteilung, Produkte, Einheit und Interpretation zusammen fest. Ändert sich einer dieser Bestandteile, rechnen Sie neu, statt die Zahl aus einem früheren Beispiel zu übernehmen.
