Statistik · Ratgeber von Eqora
Mittelwert oder Median: Was macht ein Ausreißer?
Berechne beide Kennzahlen, prüfe den Einfluss eines extremen Werts und entscheide anhand der Fragestellung, welche Mitte wirklich passt.
Mittelwert oder Median wird zur echten Entscheidung, wenn ein einzelner Wert weit von den übrigen entfernt liegt. Stell dir fünf kleine Aufträge eines Keramikateliers mit Werten von 4, 5, 5, 6 und 40 Einheiten vor. Ihr arithmetischer Mittelwert beträgt 12, der Median dagegen 5. Beide Rechnungen sind richtig. Wer jedoch 12 als typischen Auftrag bezeichnet, verschweigt, dass vier der fünf Aufträge höchstens 6 wert sind. Es geht nicht um eine beliebte Formel, sondern darum, welche Frage die Zahl beantworten soll.
Dieser Ratgeber zeigt beide Rechnungen vollständig ohne App: Für den Mittelwert addierst und teilst du; für den Median ordnest du und suchst die Mitte. Danach verändern wir den hohen Wert, bearbeiten eine gerade Anzahl von Beobachtungen, berücksichtigen Wiederholungen und fehlende Daten und betrachten einen Fall, in dem der Mittelwert tatsächlich nützlicher ist. Die Fotos aus dem Keramikatelier sind ein Bild für die Daten, keine maßstabsgetreue Zahlendarstellung. Für die Rechnung gelten die angegebenen Werte.
Das Statistische Bundesamt unterscheidet ausdrücklich zwischen arithmetischem Mittel und Median. Das erste verwendet die Summe aller Werte; das zweite beruht auf ihrer geordneten Reihenfolge. Der Median reagiert weniger empfindlich auf extreme Werte und wird deshalb bei ungleich verteilten Größen häufig verwendet. Daraus folgt aber keine automatische Wahl für jede Aufgabe. Nenne stets die Grundgesamtheit, die Einheit, die berücksichtigten Beobachtungen und den Zweck deiner Kennzahl.
Mittelwert oder Median: dieselben fünf Beobachtungen
Schreibe die Daten in einer einheitlichen Einheit auf: 4, 5, 5, 6, 40. Es sind fünf Beobachtungen und nicht vier unterschiedliche Zahlen; die 5 kommt zweimal vor und zählt deshalb zweimal. Das arithmetische Mittel ist die Summe geteilt durch die Anzahl. Hier ergibt 4 + 5 + 5 + 6 + 40 = 60. Geteilt durch 5 wird daraus 12. Der Mittelwert ist ein gedachter Gleichverteilungswert: Würde die Gesamtsumme 60 gleichmäßig auf fünf Aufträge verteilt, entfielen auf jeden 12 Einheiten. Dieser Wert muss selbst nicht in den Rohdaten vorkommen.
Für den Median sortierst du die Daten aufsteigend. Sie stehen schon in der richtigen Reihenfolge, und der dritte Wert einer Fünferliste ist 5. Davor liegen zwei Beobachtungen, danach ebenfalls zwei; identische Werte behalten dabei ihre eigenen Plätze. Der Median ist somit 5. Weder halbierst du die Summe, noch wählst du die Mitte zwischen dem kleinsten und größten Wert. Unser Sachaufgaben-Ratgeber hilft dabei, die Frage nach der mittleren Beobachtung von einer Frage nach dem rechnerischen Durchschnitt zu trennen.
Genau berechnen, was der hohe Wert verändert
Ersetze die 40 durch 7 und lasse die anderen vier Werte stehen. Die neue Reihe lautet 4, 5, 5, 6, 7. Ihre Summe ist 27; der Mittelwert beträgt 27 / 5 = 5,4. Der Median bleibt der dritte Wert, also 5. Wenn aus der 7 wieder 40 wird, erhöht sich nur ein Datenwert um 33. Die Gesamtsumme steigt um 33 und der Mittelwert bei fünf Beobachtungen um 33 / 5 = 6,6, also von 5,4 auf 12. Die mittlere Position ändert sich nicht und der Median bleibt 5.
Das bedeutet nicht, dass 40 automatisch ein Eingabefehler ist. Dahinter kann ein echter Großauftrag, eine Sonderanfertigung oder eine falsch erfasste 4,0 stehen. Prüfe die Quelle, bevor du einen Wert streichst. Ein Ausreißer ist eine auffällige Beobachtung, keine Erlaubnis, unbequeme Zahlen zu löschen. Fragst du nach dem gesamten Erlös je tatsächlich ausgeführtem Auftrag, berücksichtigt der Mittelwert 12 den Großauftrag korrekt. Fragst du nach der Größenordnung eines gewöhnlichen Auftrags, beschreibt der Median 5 die vier kleinen Aufträge oft anschaulicher. Sage ausdrücklich, welche Frage du beantwortest.
Median bei einer geraden Anzahl finden
Eine gerade Anzahl von Beobachtungen hat keinen einzelnen mittleren Platz. Ergänze die ursprüngliche Reihe um 7 und sortiere alle sechs Werte: 4, 5, 5, 6, 7, 40. Die beiden mittleren Plätze sind Position drei und vier mit den Werten 5 und 6. Ihr arithmetisches Mittel ist (5 + 6) / 2 = 5,5. Das ist der Median dieser Sechserreihe. Der Mittelwert aller sechs Werte ist (4 + 5 + 5 + 6 + 7 + 40) / 6 = 67 / 6, also ungefähr 11,17. Wegen der 40 liegen beide Kennzahlen weiterhin deutlich auseinander.
Wähle nicht einfach den dritten Wert, weil sechs geteilt durch zwei drei ist; der vierte liegt ebenso nah an der Mitte. Bilde auch nicht den Mittelwert aus Minimum und Maximum: (4 + 40) / 2 = 22 heißt Spannweitenmitte und ist eine andere Kennzahl. Das Statistische Bundesamt erklärt, dass bei einer geraden Anzahl die zwei zentralen Werte der sortierten Folge gemittelt werden. Entscheidend sind also zunächst die Positionen und erst danach eine kleine Rechnung mit genau diesen beiden Werten.
Was ein Ausreißer allein nicht beweist
Ein Mittelwert deutlich über dem Median kann auf eine lange rechte Verteilungsschwanzseite hinweisen, beweist aber keinen Fehler im Datensatz. In unserer kleinen Liste fällt 40 sichtbar auf. Bei vielen Daten solltest du vor einer Deutung eine Tabelle, ein Punktdiagramm, ein Histogramm oder passende zusätzliche Kennzahlen betrachten. Der Abstand der beiden Mittelwerte verrät nicht, welcher Eintrag falsch ist. Umgekehrt beweist ein kleiner Abstand nicht, dass es keine Ausreißer gibt: Ein sehr niedriger und ein sehr hoher Wert können sich rechnerisch teilweise ausgleichen.
Betrachte 1, 5, 5, 5, 9. Die Summe ist 25, also beträgt der Mittelwert 5; der Median ist ebenfalls 5. Trotzdem liegen Werte weit auf beiden Seiten. Eine einzige Kennzahl verdeckt diese Streuung. Wenn die Frage nach Verlässlichkeit oder Gleichmäßigkeit fragt, ergänze Minimum, Maximum, Spannweite oder ein geeignetes weiteres Streuungsmaß. Im Atelier erweckt „Durchschnitt 12“ ein anderes Bild als die vollständige Folge 4, 5, 5, 6, 40. Eine verantwortliche Zusammenfassung nennt Anzahl, Einheit, relevante Streuung und Zweck der ausgewählten Mitte.
Den Mittelwert wählen, wenn Summen zählen
Der Median widersteht extremen Werten besser, aber das arithmetische Mittel ist nicht grundsätzlich schlechter. Verdient eine Werkstatt mit fünf wirklichen Aufträgen zusammen 60 Einheiten, beträgt der Erlös pro Auftrag im Mittel exakt 12. Aus Mittelwert und Anzahl lässt sich die Summe zurückholen: 12 × 5 = 60. Aus dem Median 5 geht das nicht. Für Budgetplanung, Gesamtverbrauch oder ein Modell gleichmäßiger Aufteilung ist der Mittelwert oft die passende Kennzahl, weil jeder Betrag zur Summe beiträgt. Die richtige Wahl folgt dem Zweck, nicht einer pauschalen Rangfolge.
Vorsicht beim Zusammenfassen von Gruppen. Eine erste Gruppe habe fünf Aufträge mit Mittelwert 12, eine zweite zehn Aufträge mit Mittelwert 6. Der gemeinsame Mittelwert ist (5 × 12 + 10 × 6) / 15 = 120 / 15 = 8. Einfach (12 + 6) / 2 = 9 zu rechnen wäre falsch, weil die Gruppen unterschiedlich groß sind. Ohne Gruppengrößen lässt sich aus zwei gemeldeten Mittelwerten der gemeinsame Wert nicht exakt bestimmen. Notiere deshalb die Anzahl der Beobachtungen immer neben der Durchschnittszahl.
Den Median für die typische mittlere Position wählen
Wenn du wissen willst, wo die mittlere Beobachtung liegt, ist der Median die direkte Antwort. Das Statistische Bundesamt weist darauf hin, dass er weniger empfindlich auf Ausreißer reagiert und deshalb bei ungleich verteilten Größen wie Einkommen nützlich ist. Das bedeutet nicht, dass genau die Hälfte der Menschen exakt den Median verdient oder dass alle darunter dieselbe Situation haben. Die sortierten Daten werden an einer zentralen Schwelle geteilt; Bindungen und die jeweilige Definition der veröffentlichten Statistik sind zu beachten.
Auch der Median hat Grenzen. Bei 4, 5, 5, 6, 40 verrät er nicht, wie weit 40 von 6 entfernt ist. Wird 40 zu 400, bleibt der Median 5, obwohl die Summe stark steigt. Für wirtschaftlich wichtige Gesamtsummen kann ein Median allein also Wesentliches verbergen. Brauchst du sowohl einen typischen Auftrag als auch den Gesamterlös, zeige Median und Mittelwert zusammen mit Anzahl und eventuell Spannweite. Erkläre die Abweichung, statt eine Zahl als falsch zu bezeichnen. Unser Ratgeber zur unabhängigen Ergebnisprüfung hilft bei der Frage, ob eine Kennzahl zur Aufgabe passt.
Fehlende und gemischte Daten richtig behandeln
Kontrolliere vor der Rechnung, ob alle Einträge dasselbe bedeuten und dieselbe Einheit haben. Fünf Preise in Euro und ein Preis in Cent dürfen nicht ohne Umrechnung addiert werden. Ein leeres Feld ist keine Null. Fehlt eine von fünf Beobachtungen, liegen nur vier gemessene Werte vor; du darfst nicht stillschweigend durch fünf teilen. Kläre, ob die Aufgabe die vorhandenen Einträge beschreiben will oder ob eine eigene Methode für fehlende Daten gefordert ist. Erfinde keinen Ersatzwert, nur damit die ursprüngliche Anzahl erhalten bleibt.
Wiederholte Werte zählen jeweils einzeln. Eine Häufigkeitstabelle verkürzt die Darstellung, nicht die Fallzahl: Kommt 5 zweimal vor, trägt sie 2 × 5 zur Summe bei und belegt zwei Plätze der sortierten Reihe. Beschreiben Daten Kategorien wie Farben statt messbare Zahlen, ist ein arithmetischer Mittelwert sinnlos. Auch ein Median setzt eine sachlich sinnvolle Ordnung voraus. Untersuche daher erst das Merkmal und verwende dann eine passende Formel. Eine saubere Definition ist wichtiger als schneller Tastendruck.
Mit einem neuen Datensatz selbstständig üben
Löse ohne Blick auf das Musterbeispiel die Reihe 3, 4, 4, 5, 9, 11. Sie enthält sechs Werte mit Summe 36, also beträgt der Mittelwert 36 / 6 = 6. Die mittleren Positionen drei und vier enthalten 4 und 5; der Median ist (4 + 5) / 2 = 4,5. Beide Angaben sind richtig. Der Mittelwert 6 berücksichtigt die zwei größeren Werte, während der Median die Lage der Mitte in der sortierten Folge angibt. Keine der Zahlen muss selbst eine häufige Einzelbeobachtung sein.
Prüfe den Mittelwert rückwärts: 6 × 6 muss die Summe 36 ergeben. Prüfe den Median, indem du je drei Positionen links und rechts der Lücke zwischen den beiden Zentralwerten zählst. Würde der größte Wert 11 zu 21, stiege die Summe um 10 und der Mittelwert um 10 / 6; die Zentralwerte 4 und 5 blieben gleich. Formuliere abschließend einen Satz: Geht es um die Summe pro Beobachtung oder um die mittlere Position? Dieser Satz gehört zur mathematischen Antwort. Für weitere Übung bietet unser Statistik-Ratgeber verwandte Aufgaben.
Jetzt in die Praxis bringen
Wähle eine Aufgabe aus deinen aktuellen Hausaufgaben oder deinem Wiederholungssatz. Versuche sie, bevor du Eqora öffnest, und nutze die App erst an dem Punkt, an dem deine eigene Begründung endet.
- Sage, was die Aufgabe verlangt, bevor du löst
- Identifiziere den ersten Schritt, den du nicht begründen kannst
- Stelle Eqora eine gezielte Rückfrage zu diesem Schritt
- Schließe mit einer ähnlichen Aufgabe ohne Lösung vor Augen ab
Die Lerneinheit ist abgeschlossen, wenn die Methode klarer ist, nicht nur, wenn das Arbeitsblatt eine weitere Antwort hat.