Angewandte Mathematik · Ratgeber von Eqora
Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen: Hin und zurück
Beim langsameren Weg zählt die Zeit stärker. Rechne Gesamtstrecke und Gesamtzeit aus, berücksichtige Pausen und prüfe das Ergebnis.
Wer die Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen soll, nimmt bei zwei Teilgeschwindigkeiten oft vorschnell den Mittelwert. Ein Radfahrer fährt 12 km zum Sportzentrum mit 12 km/h und dieselbe Strecke mit 18 km/h zurück. Aus 12 und 18 wird rechnerisch 15. Für diese Fahrt ist das jedoch nicht die gesuchte mittlere Geschwindigkeit. Auf dem langsameren Hinweg verbringt er mehr Zeit als auf dem schnelleren Rückweg. Der einfache Mittelwert behandelt beide Abschnitte fälschlich, als dauerten sie gleich lange.
Die Frage lautet deshalb zuerst: Sind die Strecken gleich lang oder die Fahrzeiten? Hier sind es die Strecken. Für 12 km bei 12 km/h braucht der Radfahrer eine Stunde. Für 12 km bei 18 km/h braucht er 2/3 Stunde, also 40 Minuten. Insgesamt legt er 24 km in 100 Minuten zurück. Das sind 5/3 Stunden; 24 geteilt durch 5/3 ergibt 14,4 km/h. Die Rechnung ist einfach, sobald Weg, Zeit und Einheit sauber getrennt sind.
In diesem Ratgeber löst du die Aufgabe zunächst selbst und nutzt Eqora nur für einen konkreten Zweifelsfall. Du siehst auch, was eine halbstündige Pause verändert und warum bei einer Rückkehr zum Start die mittlere Geschwindigkeit nicht mit einer gerichteten Ortsänderung verwechselt werden darf. Die Definition der mittleren Weggeschwindigkeit als Gesamtweg geteilt durch Gesamtzeit findet sich auch in den Unterrichtsmaterialien der Qualitäts- und UnterstützungsAgentur NRW.
Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen: zuerst die Angaben ordnen
Lies den Wortlaut vollständig. Markiere den Weg jeder Teilstrecke, die jeweilige Geschwindigkeit, mögliche Stopps und die gesuchte Zeitspanne. Bei unserem Beispiel stehen für beide Richtungen jeweils 12 km, aber 12 km/h beziehungsweise 18 km/h. Gesucht ist die durchschnittliche Geschwindigkeit der gesamten Fahrt. Sie ist weder die momentane Anzeige eines Tachos noch automatisch der Mittelwert der beiden angegebenen Zahlen. Schreibe als Grundidee Gesamtstrecke geteilt durch Gesamtzeit an den Rand.
Der Text einer Sachaufgabe kann zusätzliche Informationen enthalten, etwa eine Abfahrtsuhrzeit oder eine ungenutzte Abkürzung. Unser Ratgeber zu Mathe-Sachaufgaben hilft dabei, relevante Beziehungen von bloßen Erzählteilen zu trennen. Die beiden gleich langen Streckenbänder im Bild stehen nur für gleiche Wege. Sie behaupten gerade nicht, dass beide Wege gleich viel Zeit beanspruchen. Diese Unterscheidung trägt die gesamte folgende Rechnung.
Die Fahrzeit auf jedem Abschnitt bestimmen
Für den Hinweg gilt 12 km geteilt durch 12 km/h = 1 h. Auf dem Rückweg ergibt 12 km geteilt durch 18 km/h = 2/3 h. Eine Stunde hat 60 Minuten; zwei Drittel davon sind 40 Minuten. Achte besonders darauf, 40 Minuten nicht als 0,40 Stunden in den Taschenrechner einzugeben: 0,40 Stunden sind lediglich 24 Minuten. Wenn du beide Zeiten in Minuten oder beide in Stunden schreibst, kann dieser Fehler nicht so leicht entstehen.
Jetzt addierst du Größen derselben Art. Gesamtweg: 12 km + 12 km = 24 km. Gesamtzeit: 1 h + 2/3 h = 5/3 h oder 100 Minuten. Die mittlere Geschwindigkeit ist 24 km / (5/3 h) = 24 × 3/5 km/h = 14,4 km/h. Mit Minuten klappt es ebenso: 24 km / (100/60 h) = 14,4 km/h. Zwei gleichwertige Wege zur selben Zahl bieten eine unabhängige Kontrolle deiner Umrechnung.
Die Unterrichtshilfe von QUA-LiS NRW bezeichnet die Durchschnittsgeschwindigkeit ausdrücklich als Quotienten aus zurückgelegter Strecke und benötigter Zeit. Diese Definition bezieht sich auf die ganze betrachtete Fahrt. Du musst die Zeitabschnitte also erst aus den einzelnen Strecken herleiten, bevor du den Quotienten bilden kannst. Nutze die Formel nicht blind: Wenn die Geschwindigkeit innerhalb eines Abschnitts nicht konstant ist, brauchst du statt eines einfachen Teilwerts dessen tatsächlichen Weg und tatsächliche Dauer.
Warum der Mittelwert 15 km/h hier täuscht
Der Zahlenmittelwert von 12 und 18 ist (12 + 18)/2 = 15 km/h. Damit gibst du jeder Geschwindigkeit dasselbe Gewicht. Die tatsächlichen Fahrzeiten sind aber 60 und 40 Minuten. Von den insgesamt 100 Minuten entfällt mehr als die Hälfte auf das langsamere Tempo. Ein Mittelwert mit gleichen Gewichten beschreibt daher nicht diesen Weg. Eine saubere Lösung zeigt die beiden Zeiten ausdrücklich, statt nur ein scheinbar plausibles Ergebnis zu präsentieren.
Plausibilität hilft bereits ohne genaue Division. Ohne Pause muss das Ergebnis zwischen 12 und 18 km/h liegen. Bei zwei gleich langen Wegen mit unterschiedlichem Tempo liegt es außerdem unter dem einfachen Mittelwert, weil das langsamere Teilstück zeitlich stärker ins Gewicht fällt. Die 14,4 km/h erfüllen beide Erwartungen. Wer 18 oder mehr erhält, hat einen offensichtlichen Fehler. Wer 15 erhält, sollte prüfen, ob unbewusst gleiche Zeiten statt gleicher Strecken angenommen wurden.
Für genau zwei gleich lange Teilstrecken gibt es die Kurzformel 2ab/(a+b), wobei a und b die positiven Geschwindigkeiten sind. Mit 12 und 18 folgt 2 × 12 × 18 / 30 = 14,4. Hergeleitet wird sie aus zweimal derselben Strecke, geteilt durch die Summe d/a + d/b der Zeiten. Die Formel ist keine allgemeine Abkürzung für beliebige Strecken oder Pausen. Der Ansatz mit Gesamtweg und Gesamtzeit bleibt flexibler und verständlicher.
Wann der einfache Mittelwert doch richtig ist
Ändere die Voraussetzung: Fahre genau 30 Minuten mit 12 km/h und weitere 30 Minuten mit 18 km/h. In der ersten halben Stunde entstehen 6 km, in der zweiten 9 km. Insgesamt sind das 15 km in einer Stunde; die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt nun tatsächlich 15 km/h. Hier wirken beide Geschwindigkeiten gleich lange. Der einfache Mittelwert ist deshalb zulässig, obwohl die beiden zurückgelegten Strecken unterschiedlich lang sind.
Die Merkhilfe lautet nicht 'immer harmonisches Mittel' oder 'immer arithmetisches Mittel'. Frage, welche Größe gleich ist. Bei gleichen Zeiten kannst du zwei konstante Geschwindigkeiten einfach mitteln. Bei gleichen Strecken ermittelst du erst die verschiedenen Zeiten oder benutzt die passende Kurzformel. Wenn weder Strecke noch Zeit gleich sind, gibt es keine dieser bequemen Abkürzungen: addiere die tatsächlichen Strecken und die tatsächlichen Zeiten.
Ein anderes Beispiel: 3 km in 30 Minuten und danach 6 km in 20 Minuten. Zusammen sind das 9 km in 50 Minuten, also in 5/6 Stunden. 9 ÷ (5/6) ergibt 10,8 km/h. Die Einzelgeschwindigkeiten wären 6 und 18 km/h; ihr Mittelwert 12 km/h wäre wieder falsch. Dieses Beispiel schützt davor, die passende Rechnung nur am Stichwort 'Hin- und Rückweg' festzumachen. Entscheidend sind immer die Mengen und Zeitanteile.
Eine Pause richtig in die Gesamtzeit aufnehmen
Nehmen wir an, der Radfahrer pausiert im Sportzentrum 30 Minuten. Fragt die Aufgabe nach dem Durchschnitt von der Abfahrt bis zur Rückkehr, zählen diese 30 Minuten mit. Die gesamte Zeit wird 1 h + 2/3 h + 1/2 h = 13/6 h. Die Strecke bleibt 24 km, denn während der Pause legt er keinen Weg zurück. Daraus folgen 24 ÷ (13/6) = 144/13, ungefähr 11,08 km/h. Dieser Wert darf unter 12 km/h liegen, weil die Stillstandszeit den Quotienten senkt.
Manchmal wird ausdrücklich die Durchschnittsgeschwindigkeit während der Fahrt gesucht. Dann lässt du die Pause weg und erhältst wieder 14,4 km/h. Keine der beiden Zahlen ist ohne Fragekontext allgemeingültig. Notiere neben deiner Rechnung, ob du die gesamte verstrichene Zeit oder nur Bewegungszeit verwendest. Bei vorgegebenen Uhrzeiten solltest du zudem die Zeitspanne sauber berechnen, besonders wenn eine Angabe über eine volle Stunde oder einen Tageswechsel hinweggeht.
Eine Pause lässt sich nicht als dritte gleichwertige Geschwindigkeitszahl in (12 + 18 + 0)/3 stecken. Das gäbe allen drei Abschnitten dieselbe zeitliche Gewichtung. Tatsächlich dauern Hinweg, Rückweg und Pause 60, 40 und 30 Minuten. Der Stopp trägt null Kilometer, aber 30 Minuten bei. Genau dafür ist die Grundformel mit Gesamtweg und Gesamtzeit da. Die Stoppuhr im Bild erinnert an den Nenner, der in Sachaufgaben gern übersehen wird.
Eqora gezielt nach einem zweifelhaften Rechenschritt fragen
Rechne zunächst selbst. Wenn die Aufgabe auf einem Arbeitsblatt steht, fotografiere den vollständigen Wortlaut bei gutem Licht. Beide Strecken, Einheiten, eine mögliche Pause und die genaue Frage müssen zu sehen sein. Vergleiche danach, wie Eqora die Angaben gelesen hat. Wird 'gleiche Strecke' übersehen oder 40 Minuten als 0,40 Stunden gedeutet, kann selbst ein ordentlich aussehender Lösungsweg am Problem vorbeigehen. Unser Fotoratgeber erklärt, wie wichtige Bedingungen im Bild bleiben.
Zeige anschließend deine Tabelle und stelle eine begrenzte Rückfrage: 'Warum sind 15 km/h bei zwei gleich langen Wegen falsch?' oder 'Gehören 30 Minuten Pause bei der verstrichenen Gesamtzeit in den Nenner?' Prüfe besonders die Umrechnung von 40 Minuten in 2/3 Stunde und die Addition der Zeiten. Eqora kann einen Schritt erklären, garantiert aber weder richtiges Einlesen noch fehlerfreie Mathematik. Die Angaben des Originals und deine eigene Probe bleiben maßgeblich.
Schließe die Erklärung danach und ändere eine Bedingung, etwa die Rückwegstrecke auf 6 km oder die Länge der Pause. Sage vor dem Rechnen voraus, ob der Durchschnitt eher steigt oder sinkt. Löse die Variation ohne Vorlage und kontrolliere erst anschließend. Das zeigt, ob du das Verhältnis verstanden hast, statt lediglich eine fertige Rechnung wiederzuerkennen. Beachte die Regeln deiner Schule oder Hochschule für KI-Hilfe bei eingereichten Arbeiten.
Strecke ist nicht dasselbe wie Ortsänderung
Bei einer vollständigen Rundfahrt erreicht der Radfahrer wieder seinen Startpunkt. Die zurückgelegte Strecke beträgt dennoch 24 km. Die gerichtete Ortsänderung, in der Physik Verschiebung genannt, ist dagegen null. Teilt man die Gesamtstrecke durch die Zeit, erhält man die positive mittlere Weggeschwindigkeit. Teilt man die Ortsänderung durch dieselbe Zeit, erhält man eine mittlere gerichtete Geschwindigkeit von null. Der alltägliche Ausdruck 'Durchschnittsgeschwindigkeit' verdeckt diese fachliche Unterscheidung manchmal.
OpenStax erklärt sie anhand eines Weges zum Geschäft und zurück: Die Wegstrecke ist positiv, die Ortsänderung nach der Rückkehr null. Wenn in einer Physikaufgabe ausdrücklich Richtung, Vorzeichen oder Verschiebung gefragt sind, lies also genauer als in einer reinen Weg-Zeit-Aufgabe. Eine negative gerichtete Geschwindigkeit kann bei einer passend gewählten Achse sinnvoll sein; eine negative Länge der gefahrenen Strecke nicht. Auf dem Rückweg setzt du im Durchschnitt der Weggeschwindigkeit deshalb keine negative Entfernung ein.
Mit Einheiten und einer neuen Aufgabe unabhängig prüfen
Kontrolliere zuerst die Einheit: Kilometer geteilt durch Stunden ergibt km/h. 24 km durch 100 Minuten sind 0,24 km/min; mit 60 multipliziert sind das ebenfalls 14,4 km/h. Falls du 0,24 als km/h notierst, stimmt möglicherweise die Division, aber nicht die Umrechnung. Ohne Pause muss dein Wert zwischen den Geschwindigkeiten der beiden konstanten Teilfahrten liegen. Mit Pause darf er darunter fallen. Solche Plausibilitätsgrenzen ersetzen keine Rechnung, decken aber grobe Fehler schnell auf.
Übe mit neuen Zahlen: 10 km hin bei 10 km/h, dieselben 10 km zurück bei 20 km/h, ohne Pause. Die Zeiten sind 1 Stunde und eine halbe Stunde. 20 km geteilt durch 3/2 Stunden ergeben 40/3 km/h, also ungefähr 13,33 km/h. Der bloße Mittelwert 15 km/h wäre zu hoch. Rechne rückwärts: Ungefähr 13,33 km/h mal 1,5 Stunden ergibt ungefähr 20 km. Runde erst im letzten Schritt, damit die Rückprobe nicht durch frühe Rundungen verwischt wird.
Falls die Probe nicht aufgeht, beginne bei der ersten Umwandlung von Weg zu Zeit oder von Minuten zu Stunden. Baue die kleine Tabelle erneut auf, anstatt nur am Endwert zu drehen. Eqora kann dir den ersten fraglichen Schritt zeigen; die endgültige Kontrolle ist das Einsetzen in die ursprüngliche Aufgabe. Unser Ratgeber zum Prüfen ohne Lösungsschlüssel bietet weitere Methoden. Ein vollständiger Antwortsatz nennt Gesamtweg, berücksichtigte Zeit und mittlere Geschwindigkeit.
Jetzt in die Praxis bringen
Wähle eine Aufgabe aus deinen aktuellen Hausaufgaben oder deinem Wiederholungssatz. Versuche sie, bevor du Eqora öffnest, und nutze die App erst an dem Punkt, an dem deine eigene Begründung endet.
- Sage, was die Aufgabe verlangt, bevor du löst
- Identifiziere den ersten Schritt, den du nicht begründen kannst
- Stelle Eqora eine gezielte Rückfrage zu diesem Schritt
- Schließe mit einer ähnlichen Aufgabe ohne Lösung vor Augen ab
Die Lerneinheit ist abgeschlossen, wenn die Methode klarer ist, nicht nur, wenn das Arbeitsblatt eine weitere Antwort hat.