Lineare Gleichungssysteme · Ratgeber von Eqora
Lineare Gleichungssysteme lösen und die passende Methode wählen
Deute den Schnittpunkt, rechne Einsetzungs- und Additionsverfahren durch und prüfe beide Gleichungen zuverlässig.
Ein lineares Gleichungssystem sucht Werte, die mehrere Beziehungen gleichzeitig erfüllen. Bei zwei Variablen ist die Lösung ein Zahlenpaar, das in beiden Gleichungen stimmt. Im Koordinatensystem entspricht dieses Paar dem Schnittpunkt der beiden Geraden.
Meist ist nicht die Rechnung selbst der schwierigste Teil, sondern die Wahl des Verfahrens. Du solltest erkennen, wann sich eine Variable geschickt eliminieren lässt, wann Einsetzen kürzer ist und wann ein Graph vor allem beim Verstehen hilft. Die folgenden Beispiele beginnen deshalb früh mit vollständigen Lösungswegen und enden jeweils mit einer Probe.
Was eine Lösung aussagt
Betrachte x + y = 7 und x − y = 1. Das Paar (4, 3) ist eine Lösung, denn 4 + 3 = 7 und 4 − 3 = 1. Ein Wert, der nur eine der beiden Gleichungen erfüllt, löst das Gleichungssystem nicht.
Jede Gleichung beschreibt eine Gerade. Weil (4, 3) auf beiden Geraden liegt, ist es ihr Schnittpunkt. Diese Verbindung zwischen Algebra und Bild erklärt später auch, warum ein System genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben kann.
Beispiel zum Additionsverfahren
Löse 2x + 3y = 13 und 4x − 3y = 5. Die y-Terme haben entgegengesetzte Koeffizienten. Addiere daher die Gleichungen: 6x = 18, also x = 3. Setze x = 3 in die erste Gleichung ein: 6 + 3y = 13. Damit ist y = 7/3 und die Lösung lautet (3, 7/3).
Prüfe das Paar in den unveränderten Ausgangsgleichungen. Es gilt 2·3 + 3·(7/3) = 13 sowie 4·3 − 3·(7/3) = 5. Die Probe in beiden Gleichungen entdeckt auch Vorzeichenfehler, die in der Gleichung zum Rückeinsetzen unbemerkt bleiben könnten.
Das Additionsverfahren ist besonders günstig, wenn gleiche oder entgegengesetzte Koeffizienten schon vorhanden sind oder mit kleinen Faktoren entstehen.
Beispiel zum Einsetzungsverfahren
Löse y = 2x + 1 und 3x + y = 16. Weil y bereits isoliert ist, ersetzt du y in der zweiten Gleichung durch 2x + 1: 3x + 2x + 1 = 16. Daraus folgen x = 3 und anschließend y = 2·3 + 1 = 7. Die Lösung ist (3, 7).
Beim Einsetzen dürfen gleiche Ausdrücke einander ersetzen. Setze den Ausdruck in Klammern, sobald davor ein Minuszeichen steht. Aus 4x − y = 9 wird mit y = 2x + 1 nämlich 4x − (2x + 1) = 9 und nicht 4x − 2x + 1 = 9.
Verfahren gezielt auswählen
Nimm das Einsetzungsverfahren, wenn eine Variable bereits allein steht oder den Koeffizienten 1 beziehungsweise −1 hat. Das Additionsverfahren bietet sich an, wenn Koeffizienten gleich, entgegengesetzt oder mit überschaubaren Faktoren passend zu machen sind. Ein Graph zeigt anschaulich Anzahl und Lage der Schnittpunkte, liefert bei Bruchkoordinaten aber oft nur Näherungen.
Vergleiche vor dem Rechnen kurz beide Gleichungen. Wenn mehrere Wege funktionieren, wähle den, der Brüche möglichst lange vermeidet. Die Verfahren widersprechen sich nicht: Beide formen die Darstellung um, ohne die gemeinsame Lösung zu verändern.
- Steht eine Variable schon allein? Einsetzen prüfen.
- Lässt sich ein Term mit kleinen Faktoren aufheben? Addieren prüfen.
- Geht es um Anzahl oder ungefähre Lage der Lösungen? Graph nutzen.
Ganze Gleichungen richtig multiplizieren
Bei 2x + y = 8 und 3x + 2y = 13 verschwindet zunächst kein Term. Multipliziere die erste Gleichung mit −2: −4x − 2y = −16. Addiert mit der zweiten Gleichung entsteht −x = −3, also x = 3. Rückeinsetzen ergibt y = 2.
Ein häufiger Fehler besteht darin, nur den Term mit der gewünschten Variablen zu multiplizieren. Dadurch entsteht eine andere Gerade und damit ein anderes System. Setze die gesamte Gleichung gedanklich in Klammern und schreibe jeden veränderten Term aus, bevor du addierst oder subtrahierst.
Keine oder unendlich viele Lösungen erkennen
Entsteht beim Eliminieren eine falsche Aussage wie 0 = 6, sind die Geraden parallel und verschieden. Das System hat keine Lösung. So haben x + 2y = 4 und 2x + 4y = 11 proportionale linke Seiten, aber unvereinbare Konstanten.
Entsteht dagegen eine Identität wie 0 = 0, beschreiben beide Gleichungen dieselbe Gerade. Dann gibt es unendlich viele Lösungen. Bei 2x − y = 5 und 4x − 2y = 10 ist die zweite Gleichung genau das Doppelte der ersten. Null ist hier nicht die Lösung; die Nullzeile beschreibt die Abhängigkeit der Gleichungen.
Eine Sachaufgabe als System modellieren
Bei einer Schulveranstaltung werden 40 Karten verkauft. Schülerkarten kosten 6 Euro, Erwachsenenkarten 10 Euro, insgesamt werden 304 Euro eingenommen. Sei s die Zahl der Schülerkarten und a die Zahl der Erwachsenenkarten. Dann gelten s + a = 40 und 6s + 10a = 304. Die Lösung ist s = 24 und a = 16.
Definiere Variablen und Einheiten, bevor du Gleichungen aufstellst. Jede Gleichung sollte eine vollständige Beziehung aus dem Text abbilden. Prüfe das Ergebnis wieder im Kontext: 24 + 16 = 40 Karten und 24·6 Euro + 16·10 Euro = 304 Euro. So erkennst du auch Lösungen, die rechnerisch möglich, aber sachlich unzulässig wären.
Typische Fehler systematisch vermeiden
Vorzeichenfehler entstehen oft beim Subtrahieren einer Gleichung oder beim Auflösen einer Klammer. Ebenso häufig werden nur Teile einer Gleichung multipliziert, ungleichartige Terme zusammengefasst, nach der ersten Variablen aufgehört oder nur eine Ausgangsgleichung geprüft.
Lass das ursprüngliche System sichtbar und schreibe gleichartige Terme untereinander. Markiere, welche Operation für die gesamte Gleichung gilt. Wenn du eine Variable gefunden hast, beschrifte sie eindeutig. Die abschließende Probe gehört in beide ursprünglichen Gleichungen und nicht nur in bereits umgeformte Zeilen.
Selbst üben und mit Eqora kontrollieren
Bearbeite drei Systeme ohne Musterlösung: eines für direktes Addieren, eines mit einer isolierten Variablen und einen Sonderfall. Notiere vor der Rechnung, welches Verfahren du wählst und warum. Ordne danach das Ergebnis grafisch ein und führe beide Proben aus.
Mit Eqora kannst du deinen Ansatz zeigen und gezielt nach dem ersten unbegründeten Schritt oder der Prüfung einer bestimmten Einsetzung fragen. Lass dir anschließend eine ähnliche Aufgabe mit anderen Koeffizienten geben und löse sie zunächst allein. Ziel ist, Auswahl und Kontrolle auch ohne App sicher wiederholen zu können.
Jetzt in die Praxis bringen
Wähle eine Aufgabe aus deinen aktuellen Hausaufgaben oder deinem Wiederholungssatz. Versuche sie, bevor du Eqora öffnest, und nutze die App erst an dem Punkt, an dem deine eigene Begründung endet.
- Sage, was die Aufgabe verlangt, bevor du löst
- Identifiziere den ersten Schritt, den du nicht begründen kannst
- Stelle Eqora eine gezielte Rückfrage zu diesem Schritt
- Schließe mit einer ähnlichen Aufgabe ohne Lösung vor Augen ab
Die Lerneinheit ist abgeschlossen, wenn die Methode klarer ist, nicht nur, wenn das Arbeitsblatt eine weitere Antwort hat.