Systèmes linéaires · Guide Eqora
Résoudre un système d’équations linéaires et choisir la bonne méthode
Interprète l’intersection, utilise élimination et substitution, puis vérifie le couple dans les deux équations.
Un système d’équations linéaires demande des valeurs qui satisfont plusieurs relations à la fois. À deux inconnues, la solution est le couple qui rend les deux équations vraies et correspond au point d’intersection de leurs droites.
Le choix de la méthode est souvent plus délicat que le calcul. Les exemples suivants montrent rapidement quand éliminer une inconnue, substituer une expression ou lire la structure sur un graphique, puis comment contrôler le résultat sans dépendre d’un corrigé.
Comprendre ce qu’est une solution
Pour x + y = 7 et x - y = 1, le couple (4, 3) convient car 4 + 3 = 7 et 4 - 3 = 1. Satisfaire une seule équation ne suffit pas.
Chaque équation représente une droite. Le point (4, 3) appartient aux deux : c’est leur intersection. Cette double lecture prépare les cas où il y a une, aucune ou une infinité de solutions.
Exemple résolu par élimination
Résous 2x + 3y = 13 et 4x - 3y = 5. Les coefficients de y sont opposés : en additionnant, on obtient 6x = 18, donc x = 3. Dans la première équation, 6 + 3y = 13, d’où y = 7/3. La solution est (3, 7/3).
Vérifie dans les équations intactes : 2·3 + 3·(7/3) = 13 et 4·3 - 3·(7/3) = 5. Tester les deux équations repère un signe erroné qu’une seule vérification pourrait conserver.
L’élimination est efficace lorsque deux coefficients sont déjà égaux ou opposés, ou le deviennent avec de petits multiplicateurs.
Exemple résolu par substitution
Résous y = 2x + 1 et 3x + y = 16. Comme y est isolé, remplace-le : 3x + 2x + 1 = 16. Ainsi x = 3, puis y = 7, donc (3, 7).
Mets l’expression substituée entre parenthèses, surtout après un signe moins. Avec y = 2x + 1, l’équation 4x - y = 9 devient 4x - (2x + 1) = 9, et non 4x - 2x + 1 = 9.
Choisir élimination, substitution ou graphique
Choisis la substitution si une inconnue est isolée ou a pour coefficient 1 ou -1. Choisis l’élimination si des coefficients s’annulent directement ou après une petite multiplication. Le graphique révèle le nombre et la position approximative des intersections, mais pas toujours une fraction exacte.
Compare les équations avant de calculer. Si deux voies conviennent, privilégie celle qui retarde les fractions. Les méthodes réécrivent le système tout en conservant ses solutions.
- Une inconnue est-elle isolée ? Essaie la substitution.
- Un terme peut-il s’annuler facilement ? Essaie l’élimination.
- Veux-tu voir les intersections ou les cas particuliers ? Trace les droites.
Multiplier toute l’équation
Pour 2x + y = 8 et 3x + 2y = 13, multiplie la première équation par -2 : -4x - 2y = -16. En l’ajoutant à la seconde, -x = -3, donc x = 3 puis y = 2.
Tous les termes des deux membres doivent recevoir le même facteur. Ne multiplier que le terme visé crée une autre droite. Des parenthèses autour de l’équation complète évitent d’oublier une constante ou un signe.
Reconnaître aucune ou une infinité de solutions
Une contradiction comme 0 = 6 signifie que les droites sont parallèles et distinctes. Ainsi x + 2y = 4 et 2x + 4y = 11 n’ont aucune solution.
Une identité comme 0 = 0 signifie que les équations représentent la même droite. Pour 2x - y = 5 et 4x - 2y = 10, il existe une infinité de solutions ; zéro n’est pas la réponse.
Modéliser un problème par un système
Une fête scolaire vend 40 billets : 6 € pour un élève, 10 € pour un adulte, pour une recette de 304 €. Avec e et a, on écrit e + a = 40 et 6e + 10a = 304. La résolution donne e = 24 et a = 16.
Définis les variables et leurs unités avant les équations. Reviens au contexte : 24 + 16 = 40 billets et 24·6 € + 16·10 € = 304 €. Le couple doit respecter le calcul, les unités et les contraintes réelles.
Éviter les erreurs fréquentes
Les pièges courants sont un signe perdu lors d’une soustraction, des parenthèses mal distribuées, une équation multipliée seulement en partie, des termes non semblables regroupés, l’arrêt après une inconnue et une seule vérification.
Garde le système initial visible, aligne les termes semblables et note l’opération appliquée à l’équation entière. Teste le couple dans les deux équations originales, pas seulement dans des lignes déjà transformées.
S’entraîner seul puis vérifier avec Eqora
Résous sans corrigé un système pour élimination directe, un avec une inconnue isolée et un cas particulier. Annonce ta méthode et ta raison avant de calculer, puis classe le graphique et effectue les deux vérifications.
Avec Eqora, demande le contrôle d’une substitution précise ou du premier passage non justifié, puis un exercice analogue non résolu. Termine-le seul avant de comparer les méthodes.
Passe à la pratique maintenant
Choisis un problème de tes devoirs actuels ou de ta liste de révision. Essaie avant d’ouvrir Eqora et utilise l’application seulement lorsque ton propre raisonnement s’arrête.
- Dis ce que le problème demande avant de résoudre
- Identifie la première étape que tu ne peux pas justifier
- Pose à Eqora une question précise sur cette étape
- Termine avec un problème similaire sans la solution sous les yeux
La séance est terminée lorsque la méthode est plus claire, pas seulement lorsque tu as obtenu une réponse supplémentaire.