Algebra · Ratgeber von Eqora
Umgekehrt proportional: Was bleibt konstant?
Prüfe das Produkt, kehre den Änderungsfaktor um und kläre die Voraussetzungen, bevor du aus mehr automatisch weniger machst.
Doppelt so viele Menschen brauchen für dieselbe Arbeit manchmal nur halb so lange. Manchmal aber auch nicht: Vielleicht gibt es nur ein nutzbares Werkzeug oder alle benötigen dieselbe Sicherheitseinweisung. Umgekehrt proportional beschreibt eine bestimmte mathematische Beziehung, nicht jede Situation, in der eine Größe wächst und die andere sinkt. Entscheidend ist, was bei dieser gemeinsamen Veränderung unverändert bleibt und welche Voraussetzungen dafür wirklich gelten.
Du entwickelst hier ein Modell mit konstantem Produkt, bestimmst einen fehlenden Wert und deutest den zugehörigen Graphen. Außerdem prüfst du, wann das Modell überhaupt passt. In den Sachbeispielen verwenden wir positive Größen. Für die Rechnungen genügt Papier; du kannst die Methode kostenlos ohne App oder Lösungsdienst üben. Eine exakte Modellannahme in einer Schulaufgabe unterscheidet sich dabei von Messwerten, die einen Zusammenhang nur näherungsweise unterstützen.
Eqora veröffentlicht diesen eigenständig nutzbaren Lernleitfaden. Eqora ist eine Lernhilfe, kein Ersatz für Prüfungsarbeit und keine Garantie für richtige Antworten oder Noten. Prüfe Aufgabenstellung, Notation, Voraussetzungen und Ergebnis und beachte die Regeln deines Kurses. Die Werkstattfotos veranschaulichen das Verteilen einer festen Menge. Sie sind keine abzählbaren mathematischen Schaubilder und stellen die Zahlen unserer Beispiele nicht dar.
Ein konstantes Produkt verlangt mehr als gegenläufige Änderungen
Zwei positive Größen x und y heißen umgekehrt proportional oder antiproportional, wenn xy = k mit einer festen positiven Konstante k gilt. Gleichwertig dazu ist y = k/x. Dieselbe Konstante muss im gesamten angegebenen Definitionsbereich passen, statt mit jeder Tabellenzeile zu wechseln. Die englischsprachige Darstellung zur umgekehrten Proportionalität bei OpenStax erläutert die Kehrwertform und das Bestimmen der Konstante. Unsere Zahlenbeispiele sind unabhängig konstruiert; sie wurden weder aus den Fotos abgelesen noch aus der Quelle übernommen.
Eine Rechnung über 240 Euro wird gleichmäßig auf n Personen verteilt. Bezeichnet p den Beitrag pro Person, gilt np = 240 und damit p = 240/n. Bei acht Personen zahlt jede 30 Euro, bei zwölf jeweils 20 Euro und bei fünfzehn jeweils 16 Euro. Das Produkt beschreibt die Gesamtrechnung: Personen mal Euro pro Person ergeben Euro. Das Modell setzt dieselbe Rechnung, gleiche Anteile und keine zusätzlichen Gebühren für weitere Teilnehmer voraus. Notiere diese Bedingungen vor dem Rechnen, damit klar ist, weshalb die Gesamtsumme fest bleibt.
Kehre den Faktor um statt dieselbe Differenz abzuziehen
Ändert sich x um den positiven Faktor q, lautet der neue Eingangswert qx. Für den neuen Ausgangswert erhältst du k/(qx) = (k/x)/q = y/q. Eine Multiplikation der einen Größe mit q verlangt also eine Division der anderen durch q. Verdoppeln führt zum Halbieren, Verdreifachen zum Dritteln. Das funktioniert nicht nur mit ganzen Zahlen. Wird der Eingangswert halbiert, ist q = 1/2; die Division des Ausgangswerts durch 1/2 bedeutet deshalb eine Verdopplung.
Im Kostenbeispiel steigt die Personenzahl von acht auf zwölf. Der Faktor lautet 12/8 = 1,5. Teile den bisherigen Beitrag durch 1,5: 30/1,5 = 20 Euro. Ziehe nicht vier Euro ab, nur weil vier Personen dazukommen. Personenzahl und Geldbetrag besitzen unterschiedliche Einheiten; außerdem beschreibt das Modell Faktoren und keine gleichen Differenzen. Schreibe das Verhältnis der Personenzahlen ausdrücklich neben deine Rechnung. So erkennst du leichter, warum eine Multiplikation des Beitrags mit 1,5 die falsche Richtung hätte und nicht zum festen Gesamtbetrag passen würde.
Prüfe die zusammengehörenden Werte jeder Tabellenzeile
Zu den Werten x = 2, 3, 6, 9 gehören y = 18, 12, 6, 4. Die Produkte lauten jeweils 36. Alle vier Paare passen somit zu y = 36/x. Die Abstände zwischen den Eingangswerten müssen nicht gleich sein: Für die Produktprüfung zählen die beiden zusammengehörenden Werte derselben Zeile. Multipliziere weder sämtliche x-Werte miteinander noch den Eingangswert einer Zeile mit dem Ausgangswert der nächsten. Behalte bei einer umsortierten Tabelle die ursprünglichen Paare zusammen.
Eine fallende Wertetabelle allein reicht nicht. Bei y = 20 − x ergeben x = 1, 2, 3 die Werte y = 19, 18, 17. Die Größen ändern sich gegenläufig, aber ihre Produkte sind 19, 36 und 51. Es liegt keine umgekehrte Proportionalität vor. Umgekehrt beweisen wenige passende Messpaare noch kein allgemeines Naturgesetz. Sie stützen ein Modell im untersuchten Bereich. Eine Schulaufgabe darf den Zusammenhang ausdrücklich vorgeben; bei einer experimentellen Behauptung musst du erklären, welche Größe fest bleibt und wo die Modellannahmen enden.
Bestimme zuerst die Konstante und dann die gesuchte Größe
Ein gleichmäßiger Zufluss von 3 Litern pro Minute füllt einen Behälter in 24 Minuten. Der Behälter beginnt leer, das Zielvolumen bleibt gleich und es gibt keinen Abfluss. Mit Zuflussrate r und Zeit t beschreibt rt das eingefüllte Volumen: k = 3 · 24 = 72 Liter. Bei 6 Litern pro Minute beträgt t = 72/6 = 12 Minuten; bei 8 Litern pro Minute sind es 9 Minuten. Beide Produkte ergeben wieder 72 Liter und prüfen damit die Rechnung innerhalb des Modells.
Ist stattdessen eine Füllzeit von 18 Minuten vorgegeben, löse 18r = 72. Die benötigte Rate beträgt r = 4 Liter pro Minute. Entscheide vor dem Dividieren, welche Größe gesucht ist: Die Antwort 4 Minuten hätte dieselbe Zahl, aber die falsche Bedeutung. Unser Leitfaden zum Umrechnen von Längen, Flächen und Volumen hilft, Einheitenwechsel von Modelländerungen zu trennen. Beim Wechsel von Minuten zu Sekunden ändert sich der Zahlenwert des Produkts, wenn die Rateneinheit unverändert bleibt. Vergleiche deshalb nur Produkte in einem einheitlichen Einheitensystem.
Direkt oder umgekehrt proportional: Was bleibt gleich?
Bei direkter Proportionalität gilt y = ax; der Quotient y/x bleibt konstant. Kostet ein Artikel stets 6 Euro, ergeben x Artikel die Gesamtkosten y = 6x. Die doppelte Menge kostet das Doppelte. Bei umgekehrter Proportionalität gilt dagegen y = k/x; hier bleibt das Produkt xy konstant. Teilen sich doppelt so viele Personen dieselbe Rechnung, halbiert sich der Einzelbeitrag. In beiden Beispielen ist etwas festgelegt, aber es handelt sich um unterschiedliche feste Größen und unterschiedliche Rechenoperationen.
Manche Beziehungen gehören zu keiner der beiden Kategorien. Die fallende Funktion y = 1/x² besitzt das Produkt xy = 1/x, das sich mit x verändert. Eine Verdopplung eines positiven Eingangswerts viertelt den Ausgangswert, statt ihn zu halbieren. Das ist ein invers-quadratischer Zusammenhang, nicht die einfache umgekehrte Proportionalität xy = k. Auch y = 20 − x ist lediglich eine fallende Gerade. Wähle das Modell anhand seiner Gleichung oder einer begründeten unveränderlichen Größe, nicht allein anhand von Wörtern wie weniger, schneller oder aufteilen.
Trenne Rüstzeit von tatsächlich aufteilbarer Arbeit
Ein Auftrag erfordert idealisiert 24 Stationsstunden Bearbeitung. Arbeiten n identische Stationen unabhängig mit gleichbleibender Leistung, lässt sich die Arbeit gleichmäßig verteilen und entstehen keine Verzögerungen, gilt t = 24/n Stunden. Vier Stationen benötigen sechs Stunden, sechs Stationen vier Stunden. Stationsstunden sind hier ein Maß für den angenommenen Arbeitsumfang, keine Zusage über reale Personalplanung. Unterschiedliche Fähigkeiten, ein gemeinsam benötigtes Werkzeug oder unteilbare Arbeitsschritte können die Voraussetzung gleicher und gleichzeitig nutzbarer Leistung verletzen.
Nun kommt vor der Bearbeitung eine feste Rüstzeit von einer Stunde hinzu. Die Gesamtdauer ist T = 1 + 24/n. Vier Stationen brauchen sieben Stunden, acht Stationen vier Stunden. Mehr Stationen verkürzen die Dauer weiterhin, aber nT = n + 24 ist nicht konstant: Die Produkte betragen 28 und 32. Doppelt so viele Stationen halbieren also nicht die gesamte Dauer. Umgekehrt proportional bleibt nur der Bearbeitungsanteil T − 1, sofern die Rüstzeit tatsächlich fest ist. Wende die kürzere Formel nicht unbemerkt auf einen anderen Zeitbegriff an.
Prozentänderungen sind keine spiegelgleichen Gegenteile
Steigt der Eingangswert um 25 Prozent, wird x mit 1,25 multipliziert. Der Ausgangsfaktor einer umgekehrten Proportionalität lautet 1/1,25 = 0,8. Folglich sinkt y um 20 Prozent und nicht um 25 Prozent. Erhöhst du den gleichmäßigen Zufluss von 4 auf 5 Liter pro Minute, verkürzt sich die Füllzeit für 72 Liter von 18 auf 14,4 Minuten. Die Differenz von 3,6 Minuten entspricht 20 Prozent der ursprünglichen 18 Minuten. Die Ausgangszeit ist hier die Bezugsgröße.
Allgemein führt eine Erhöhung um den Dezimalanteil u zum Eingangsfaktor 1 + u und zum Ausgangsfaktor 1/(1 + u). Die relative Abnahme des Ausgangswerts beträgt u/(1 + u). Voraussetzung ist ein positiver Faktor 1 + u; beim Beschreiben einer Abnahme musst du das Vorzeichen sorgfältig deuten. Ein Rückgang des positiven Eingangswerts um 50 Prozent halbiert ihn und verdoppelt den Ausgangswert: Das ist eine Zunahme um 100 Prozent. Gegenläufige Änderungen bedeuten weder gleiche Prozentsätze noch gleiche absolute Differenzen. Benenne bei jeder Prozentangabe ausdrücklich den jeweiligen Ausgangswert.
Lies den Graphen und beachte zulässige Werte
Für k > 0 und x > 0 ist y = k/x ein fallender gekrümmter Hyperbelast, keine Gerade. Der Graph nähert sich den positiven Achsen an, ohne sie bei einem endlichen positiven Eingangswert zu erreichen. x = 0 ist ausgeschlossen, denn eine Division durch null ist nicht definiert. Auch beliebig große Eingaben sind im Sachmodell nicht automatisch sinnvoll: Verfügbare Geräte, zulässige Durchflussraten oder andere technische Grenzen schränken den brauchbaren Bereich ein, lange bevor ein mathematischer Grenzfall praktisch erreicht wird.
Trägst du y gegen 1/x auf, entsteht dagegen die Gerade y = k(1/x), die durch den Ursprung des veränderten Koordinatensystems geht. Eine beliebige lineare Tendenz genügt nicht; für dieses exakte Modell muss der Achsenabschnitt null sein. Rein algebraisch entsteht bei positivem k und negativen x ein weiterer Hyperbelast. Negative Personen oder negative Füllzeiten passen jedoch nicht zu unseren Beispielen. Die Personenzahl n muss außerdem ganzzahlig sein. Unterscheide den algebraischen Definitionsbereich einer Formel von den tatsächlich erlaubten Werten der Sachaufgabe und prüfe diese Bedingung nach der Rechnung erneut.
Löse eine neue Aufgabe und kontrolliere auf anderem Weg
Versuche es zunächst selbst: Eine feste Menge von 90 Litern wird bei gleichmäßigem Zufluss in 15 Minuten geliefert. Welche Rate erreicht dieselbe Menge in 12 Minuten? Die ursprüngliche Rate ist 90/15 = 6 Liter pro Minute. Die Zeit wird mit 12/15 = 0,8 multipliziert; teile deshalb die Rate durch 0,8 und erhalte 7,5 Liter pro Minute. Unabhängig davon liefert 90/12 denselben Wert. Die Produktprobe lautet 7,5 · 12 = 90 Liter. Auch die Richtung stimmt: Für weniger Zeit wird eine höhere Rate benötigt.
Wechsle nun den Kontext: Teile 210 Euro gleichmäßig zuerst auf vierzehn, dann auf zehn Personen auf. Die Beiträge sind 15 beziehungsweise 21 Euro; beide Produkte ergeben 210 Euro. Ändert sich auch die Rechnung, musst du eine neue Gleichung aufstellen, statt die alte Konstante zu behalten. Unser Leitfaden zur Kontrolle ohne Lösungsheft erläutert, weshalb eine zweite Darstellung hilfreicher ist als dieselbe Rechnung einfach zu wiederholen. Benenne abschließend die feste Größe, die zulässigen Werte und die Sachvoraussetzungen. Erst damit erklärst du, warum dein Ergebnis zur gestellten Frage passt.
