Algèbre · Guide Eqora
Proportionnalité inverse : que reste-t-il fixe ?
Testez le produit, inversez le facteur et vérifiez les hypothèses avant de conclure que plus signifie forcément moins.
Deux fois plus de personnes terminent parfois un travail en deux fois moins de temps. Mais pas toujours : un seul outil peut être disponible, ou chacun doit suivre la même préparation. La proportionnalité inverse désigne une relation mathématique précise, pas toutes les situations où une quantité augmente tandis que l’autre diminue. La question essentielle est de savoir ce qui reste fixe pendant ce changement.
Vous construirez une relation à produit constant, calculerez une valeur manquante et interpréterez sa courbe. Vous apprendrez aussi à contrôler les hypothèses. Nos situations concrètes utilisent des quantités positives. Du papier suffit : la méthode se travaille gratuitement, sans application ni service de réponses. Une hypothèse exacte donnée dans un exercice doit être distinguée de mesures qui ne correspondent qu’approximativement au modèle.
Eqora publie ce guide autonome comme aide à l’apprentissage, sans garantir un résultat juste ni une note. Vérifiez l’énoncé, la notation, les hypothèses et le résultat ; respectez les règles du cours. Eqora ne remplace pas le travail d’examen. Les photos évoquent le partage d’une quantité fixe, mais ne représentent ni des diagrammes dénombrables ni les valeurs numériques des exercices.
Le produit constant est plus exigeant qu’une baisse
Deux quantités positives x et y sont inversement proportionnelles si xy = k pour une constante positive fixe k. On peut aussi écrire y = k/x. La même constante doit convenir sur tout le domaine annoncé, sans changer à chaque ligne. La présentation de la variation inverse par OpenStax, référence en anglais, explique cette forme et le calcul de la constante à partir d’un couple connu. Les exemples ci-dessous sont construits indépendamment, sans reprendre ses exercices.
Une facture fixe de 240 euros est partagée également entre n personnes. Si p est la participation individuelle, np = 240, donc p = 240/n. Huit personnes paient 30 euros chacune ; douze en paient 20 ; quinze en paient 16. Le produit représente la facture totale : personnes multipliées par euros par personne donnent des euros. Il faut conserver la même facture, des parts égales et l’absence de frais supplémentaires pour les nouveaux participants. Écrivez ces conditions avant de choisir la formule.
Inversez le facteur plutôt que de soustraire un écart
Supposons que x soit multiplié par un facteur positif q. La nouvelle valeur est qx, et l’autre devient k/(qx) = (k/x)/q = y/q. Multiplier une quantité par q revient donc à diviser l’autre par q. Un doublement donne une moitié ; un triplement donne un tiers. Le raisonnement fonctionne aussi avec des facteurs non entiers. Si x est divisé par deux, q = 1/2 : diviser y par 1/2 revient alors à le doubler.
Dans notre partage, passer de huit à douze personnes multiplie l’effectif par 12/8 = 1,5. Divisez la participation par 1,5 : 30/1,5 = 20 euros. Ne retranchez pas quatre euros parce que quatre personnes sont arrivées. Les unités sont différentes et la relation porte sur des facteurs, pas sur des écarts égaux. Écrivez le rapport des effectifs à côté du calcul : cela rend le sens du changement visible et évite de multiplier à tort la participation par 1,5.
Examinez les couples de chaque ligne du tableau
Associons x = 2, 3, 6, 9 à y = 18, 12, 6, 4. Les quatre produits valent 36 : ces couples sont compatibles avec y = 36/x. Les écarts entre valeurs de x ne sont pas égaux, mais ce n’est pas nécessaire. Le test multiplie les deux valeurs d’une même ligne. Ne multipliez pas tous les x ensemble et ne mélangez pas les lignes. Si vous triez le tableau autrement, déplacez toujours chaque couple entier.
Une suite de valeurs décroissantes ne suffit pas. Pour y = 20 − x, les entrées 1, 2 et 3 donnent 19, 18 et 17. Leurs produits valent 19, 36 et 51 : ce n’est pas une proportionnalité inverse. Réciproquement, quelques mesures compatibles ne prouvent pas une loi universelle. Elles soutiennent un modèle dans la plage observée. Un énoncé scolaire peut imposer la relation ; une affirmation expérimentale exige de préciser la quantité fixe et les limites des hypothèses.
Calculez la constante avant de chercher l’inconnue
Un débit régulier de 3 litres par minute remplit un réservoir en 24 minutes. Il commence vide, le volume visé reste fixe et aucune eau ne s’échappe. Pour le débit r et la durée t, le produit rt est le volume livré : k = 3 × 24 = 72 litres. Avec 6 litres par minute, t = 72/6 = 12 minutes ; avec 8 litres par minute, t = 9 minutes. Chaque produit retrouve 72 litres, ce qui contrôle le calcul.
Si la durée demandée est plutôt de 18 minutes, résolvez 18r = 72 : il faut r = 4 litres par minute. Identifiez l’inconnue avant de diviser. Répondre 4 minutes donnerait le bon nombre avec le mauvais sens. Notre guide de conversion des longueurs, aires et volumes aide à séparer changement d’unité et changement de modèle. Passer des minutes aux secondes modifie la valeur numérique du produit si l’unité du débit reste inchangée. Comparez les produits dans un système cohérent.
Proportionnalité inverse ou directe : quel invariant ?
Dans une proportionnalité directe, y = ax et le quotient y/x est constant. Si un objet coûte toujours 6 euros, acheter x objets coûte y = 6x. Doubler le nombre double le prix total. Dans une proportionnalité inverse, y = k/x et le produit xy reste constant. Partager la même facture entre deux fois plus de personnes divise chaque participation par deux. Quelque chose est fixe dans les deux situations, mais ce n’est ni la même quantité ni la même opération.
Certaines relations ne sont ni l’une ni l’autre. La fonction décroissante y = 1/x² donne xy = 1/x, qui varie avec x. Doubler une entrée positive divise la sortie par quatre, pas par deux. C’est une relation en inverse du carré, pas la proportionnalité inverse simple xy = k. De même, y = 20 − x est une droite décroissante. Choisissez le modèle grâce à son équation ou à un invariant justifié, pas seulement grâce aux mots moins, plus vite ou partager.
Séparez préparation et travail réellement divisible
Un lot demande idéalement 24 heures-postes de traitement. Si n postes identiques fonctionnent indépendamment à cadence constante, sans attente et avec un travail répartissable également, t = 24/n heures. Quatre postes demandent six heures ; six postes demandent quatre heures. Les heures-postes mesurent ici une charge de travail modélisée, pas une promesse sur une organisation réelle. Des compétences différentes, un outil partagé ou une tâche indivisible peuvent rendre l’hypothèse de cadences égales et simultanées inadaptée.
Ajoutons une heure de préparation fixe avant le traitement. La durée totale devient T = 1 + 24/n. Quatre postes demandent sept heures, huit postes quatre heures. Plus de postes réduit encore la durée, mais nT = n + 24 n’est pas constant : les produits sont 28 et 32. Doubler les postes ne divise donc pas la durée totale par deux. La proportionnalité inverse peut concerner T − 1, si la préparation reste vraiment fixe, mais pas silencieusement l’ensemble de l’opération.
Les pourcentages ne sont pas des images symétriques
Une hausse de 25 % multiplie x par 1,25. Avec une proportionnalité inverse, le facteur de y vaut 1/1,25 = 0,8 : y diminue de 20 %, pas de 25 %. Porter un débit régulier de 4 à 5 litres par minute fait passer la durée pour 72 litres de 18 à 14,4 minutes. L’écart de 3,6 minutes représente 20 % des 18 minutes initiales. C’est cette durée de départ qui sert de référence au pourcentage.
Plus généralement, une hausse d’une fraction décimale u donne le facteur d’entrée 1 + u et le facteur de sortie 1/(1 + u). La baisse relative de la sortie vaut u/(1 + u). Il faut que 1 + u soit positif ; interprétez soigneusement le signe pour décrire une diminution. Une baisse de 50 % d’une entrée positive la divise par deux et double la sortie, soit une hausse de 100 %. Des sens opposés n’impliquent ni pourcentages égaux ni écarts absolus égaux.
Lisez la courbe et respectez le domaine
Pour k > 0 et x > 0, y = k/x dessine une branche courbe décroissante, pas une droite. Elle s’approche des axes positifs sans les atteindre pour une entrée positive finie. On ne peut pas remplacer x par zéro : la division par zéro n’est pas définie. Dans une situation concrète, augmenter indéfiniment l’entrée peut aussi être impossible. Le matériel disponible, un débit maximal sûr ou d’autres contraintes limitent l’emploi du modèle avant les limites mathématiques.
Représenter y en fonction de 1/x donne au contraire y = k(1/x), une droite passant par l’origine dans ces nouvelles coordonnées. Une tendance rectiligne quelconque ne suffit pas : l’ordonnée à l’origine doit être nulle pour ce modèle exact. Algébriquement, des x négatifs ajoutent une autre branche lorsque k est positif. Mais des personnes ou des durées négatives ne conviennent pas à nos exemples. L’effectif n doit aussi être entier. Distinguez le domaine algébrique des valeurs admissibles dans l’énoncé.
Changez les données puis vérifiez autrement
Essayez seul : livrer une quantité fixe de 90 litres prend 15 minutes à débit régulier. Quel débit permet de la livrer en 12 minutes ? Le débit initial est 90/15 = 6 litres par minute. La durée est multipliée par 12/15 = 0,8 ; divisez donc le débit par 0,8 pour obtenir 7,5 litres par minute. Le calcul indépendant 90/12 donne aussi 7,5. Le contrôle du produit fournit 7,5 × 12 = 90 litres. Une durée plus courte exige bien un débit plus élevé.
Changeons de contexte : partagez 210 euros également entre quatorze personnes, puis entre dix. Les parts valent 15 et 21 euros, avec le même produit 210. Si la facture change aussi, construisez une nouvelle équation au lieu de conserver l’ancienne constante. Notre guide pour vérifier une réponse sans corrigé montre l’intérêt d’une seconde représentation plutôt que de répéter le même calcul. Terminez en nommant l’invariant, le domaine et les hypothèses concrètes : ils expliquent pourquoi votre réponse s’applique à cette question.
