Stochastik · Ratgeber von Eqora
Wahrscheinlichkeit ohne Zurücklegen berechnen: Was ändert sich?
Verstehe, wie sich nach dem ersten Zug die Brüche ändern. Rechne mit Baumdiagramm, Gegenwahrscheinlichkeit und Kombinationen.
Wer die Wahrscheinlichkeit ohne Zurücklegen berechnen will, muss nach jedem Zug neu zählen. In einem Beutel liegen drei türkisfarbene und zwei ockerfarbene Spielsteine. Du ziehst einen Stein, legst ihn beiseite und ziehst einen zweiten. Wie wahrscheinlich sind zwei türkisfarbene Steine? Und wie wahrscheinlich ist je ein Stein von jeder Farbe? Die Fragen klingen ähnlich, meinen aber unterschiedliche Ereignisse. Vor allem enthält der Beutel beim zweiten Zug nur noch vier Steine. Genau diese Änderung ist der Kern beim Ziehen ohne Zurücklegen.
Ein zuverlässiger Weg beginnt nicht mit einer auswendig gelernten Formel. Beschreibe zuerst, welche Steine nach dem ersten Ergebnis übrig bleiben. Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang eines vollständigen Pfades. Addiere mehrere Pfade nur dann, wenn die Frage tatsächlich mehrere Reihenfolgen zulässt. An einem Beispiel mit fünf Steinen lässt sich das mit einer Skizze nachvollziehen, bevor du Kombinationen als zweite Kontrolle benutzt.
Wir behalten in diesem Ratgeber die Ausgangslage mit drei türkisfarbenen und zwei ockerfarbenen Steinen bei. So siehst du genau, wie sich nur die Fragestellung verändert: zweimal dieselbe Farbe, je eine Farbe oder mindestens ein türkisfarbener Stein. Du lernst außerdem, warum ein Nenner von fünf beim zweiten Zug falsch ist und wann eine Gegenwahrscheinlichkeit kürzer ist. Die Rechnung gelingt vollständig ohne App; zum Einordnen in weitere Stochastikthemen findest du bei uns auch einen allgemeinen Statistikratgeber.
Wahrscheinlichkeit ohne Zurücklegen berechnen: erst zählen
Alle fünf Spielsteine sollen gleich wahrscheinlich gezogen werden. Vor dem ersten Zug liegen drei türkisfarbene und zwei ockerfarbene im Beutel. Für Türkis im ersten Zug gilt daher 3/5, für Ocker 2/5. Die beiden Brüche ergeben zusammen 1. Schreibe diese Bestandsaufnahme neben die Aufgabe. Wer nur die Farben notiert und die Anzahl der einzelnen Steine vergisst, kann später scheinbar plausible, aber falsche Wahrscheinlichkeiten erhalten.
Ohne Zurücklegen bedeutet wörtlich: Der gezogene Stein kommt nicht wieder in den Beutel. Nach einem türkisfarbenen Stein bleiben zwei türkisfarbene und zwei ockerfarbene übrig. Nach einem ockerfarbenen Stein bleiben drei türkisfarbene und ein ockerfarbener übrig. In beiden Fällen beträgt die Gesamtzahl beim zweiten Zug vier. Der Zähler hängt dagegen vom ersten Ergebnis ab. OpenStax beschreibt solche Ziehungen als abhängig, weil der erste Zug die Chancen des zweiten verändert.
Markiere nun, was genau gesucht wird. Bei „zwei türkisfarbene Steine“ gibt es eine Farbfolge. „Von jeder Farbe einen“ lässt zwei Reihenfolgen zu. „Mindestens einen türkisfarbenen“ umfasst sogar drei der vier möglichen Farbfolgen. Das Übersetzen der Wörter in zulässige Ergebnisse ist keine Nebensache. Häufig entscheidet es darüber, ob du nach dem Multiplizieren fertig bist oder noch verschiedene Pfade addieren musst.
Für einen festgelegten Pfad die Brüche multiplizieren
Gesucht seien zuerst zwei türkisfarbene Steine. Für Türkis beim ersten Zug beträgt die Wahrscheinlichkeit 3/5. Danach liegen nur noch zwei türkisfarbene unter vier Steinen. Für Türkis im zweiten Zug, nachdem schon Türkis gezogen wurde, gilt deshalb 2/4. Entlang dieses Pfades multiplizierst du: P(Türkis, dann Türkis) = 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10. Das sind 30 Prozent und nicht 9/25.
Die Multiplikation passt, weil beide Teilereignisse in genau dieser Reihenfolge eintreten müssen. Der erste Bruch beschreibt die Wahl eines der drei türkisfarbenen Steine aus fünf. Der zweite beschreibt die Wahl eines der zwei verbliebenen türkisfarbenen Steine aus vier. In der Fachsprache ist 2/4 eine bedingte Wahrscheinlichkeit: Sie gilt unter der Bedingung, dass der erste Stein türkisfarben war. Du musst also nicht eine neue Rechenart lernen, sondern den veränderten Bestand beachten.
Rechne zum Vergleich Ocker, dann Ocker. Zuerst gilt 2/5. Danach bleibt nur ein ockerfarbener Stein unter vier. Somit ist P(Ocker, dann Ocker) = 2/5 × 1/4 = 2/20 = 1/10. Dass dieses Ergebnis kleiner ist als 3/10 für zweimal Türkis, passt zur Ausgangslage mit weniger ockerfarbenen Steinen. In einem Baumdiagramm wird dieselbe Pfadregel verwendet: Die Brüche entlang eines Weges werden multipliziert.
Im Baumdiagramm passende Pfade addieren
Die Formulierung „ein Stein von jeder Farbe“ legt keine Reihenfolge fest. Türkis, dann Ocker hat die Wahrscheinlichkeit 3/5 × 2/4 = 3/10. Ocker, dann Türkis hat die Wahrscheinlichkeit 2/5 × 3/4 = 3/10. Beide Wege erfüllen die Frage, können aber nicht gleichzeitig in derselben Ziehung auftreten. Deshalb addierst du ihre Ergebnisse: P(je eine Farbe) = 3/10 + 3/10 = 6/10 = 3/5, also 60 Prozent.
Wer nur den ersten Weg betrachtet, gibt 30 Prozent an und beantwortet damit eine andere Frage: „erst Türkis, dann Ocker“. Umgekehrt wäre es falsch, bei zweimal Türkis noch einmal mit zwei zu multiplizieren. Durch Vertauschen zweier türkisfarbener Züge entsteht keine zusätzliche Farbfolge. Schreibe vor dem Rechnen die vier möglichen Farbfolgen TT, TO, OT und OO auf. Umkreise anschließend nur die Folgen, die zum gesuchten Ereignis gehören.
Ein Baumdiagramm hält die bedingten Brüche fest. Der erste Ast führt mit 3/5 zu Türkis und mit 2/5 zu Ocker. Nach Türkis folgen Äste mit 2/4 zu Türkis und 2/4 zu Ocker. Nach Ocker folgen 3/4 zu Türkis und 1/4 zu Ocker. Für die vier vollständigen Pfade erhältst du 3/10, 3/10, 3/10 und 1/10. Ihre Summe ist 1. So erkennst du, ob ein Pfad fehlt oder doppelt gezählt wurde.
Bei „mindestens einmal“ die Gegenwahrscheinlichkeit prüfen
„Mindestens ein türkisfarbener Stein“ umfasst TT, TO und OT. Du könntest die drei Pfadwahrscheinlichkeiten addieren: 3/10 + 3/10 + 3/10 = 9/10. Schneller ist das Gegenereignis. Kein einziger türkisfarbener Stein bedeutet, dass beide Steine ockerfarben sind. Dafür hast du bereits 1/10 berechnet. Also gilt P(mindestens einmal Türkis) = 1 − P(kein Türkis) = 1 − 1/10 = 9/10.
Das Wort „mindestens“ schließt höhere Anzahlen ausdrücklich ein. Bei zwei Zügen bedeutet mindestens einmal Türkis also auch zweimal Türkis. „Genau einmal Türkis“ umfasst hingegen nur TO und OT; seine Wahrscheinlichkeit beträgt 6/10. Die Verwechslung macht in diesem Beispiel einen Unterschied von 3/10. Schreibe deshalb erst alle zulässigen Ergebnisse auf. Unser Ratgeber zu Mathetextaufgaben zeigt, wie du solche sprachlichen Bedingungen systematisch in Ereignisse übersetzt.
Die Gegenwahrscheinlichkeit lohnt sich besonders, wenn viele Ziehungen und damit viele günstige Pfade vorkommen. Das Gegenereignis „kein Treffer“ kann dann mit nur einem Pfad beschrieben werden. Formuliere es trotzdem präzise: Das Gegenteil von „mindestens einmal Türkis“ ist „kein Türkis“, nicht „einmal Ocker“. Neben die Rechnung 1 − P(kein Türkis) gehört dieser Satz, damit du nicht aus Versehen ein Ereignis abziehst, das teilweise auch zur Frage passt.
Mit Kombinationen ein Ergebnis ohne Reihenfolge prüfen
Wenn die Reihenfolge der beiden Steine für die Frage keine Rolle spielt, kannst du Paare zählen. Aus fünf einzelnen Steinen lassen sich „5 über 2“ = 10 ungeordnete Paare bilden. Die zwei ockerfarbenen Steine bilden genau ein ockerfarbenes Paar. Drei türkisfarbene Steine bilden „3 über 2“ = 3 türkise Paare. Für ein gemischtes Paar kannst du jeden der drei türkisfarbenen mit jedem der zwei ockerfarbenen verbinden: Das sind 3 × 2 = 6 Paare.
Damit folgt P(zweimal Türkis) = 3/10, P(zweimal Ocker) = 1/10 und P(je eine Farbe) = 6/10. Alle drei Ergebnisse stimmen mit dem Baumdiagramm überein. Die beiden Methoden betrachten dieselbe Ziehung aus unterschiedlicher Sicht: Beim Baumdiagramm bleiben erster und zweiter Zug unterscheidbar; bei Kombinationen zählt nur die ausgewählte Zweiermenge. Nach der Kombinationsrechnung darfst du das gemischte Ergebnis nicht noch einmal verdoppeln, denn die sechs möglichen Paare sind bereits vollständig gezählt.
Die Zählmethode setzt voraus, dass jeder einzelne Stein mit derselben Chance ausgewählt wird und damit alle Zweiermengen gleich wahrscheinlich sind. Die drei bloßen Farbbezeichnungen „zweimal Türkis“, „gemischt“ und „zweimal Ocker“ sind dagegen nicht gleich wahrscheinlich. Sie stehen für drei, sechs beziehungsweise ein tatsächliches Steinpaar. Wer jede dieser Kategorien mit 1/3 bewertet, verwechselt Kategorien mit gleich wahrscheinlichen Elementarereignissen. Das Abzählen realer Steine verhindert diesen Fehler.
Mit Zurücklegen vergleichen und selbstständig kontrollieren
Würde der erste Stein wieder in den Beutel gelegt und alles erneut gemischt, lägen vor dem zweiten Zug wieder drei türkisfarbene und zwei ockerfarbene Steine bereit. Dann wäre P(zweimal Türkis) = 3/5 × 3/5 = 9/25, also 36 Prozent. Ohne Zurücklegen betrug die Wahrscheinlichkeit 3/10 beziehungsweise 30 Prozent. Der Unterschied entsteht allein dadurch, dass beim Ziehen ohne Zurücklegen der erste Stein die Ausgangslage des zweiten Zuges verändert.
Abhängige Ziehungen bedeuten nicht, dass du keine Brüche multiplizieren darfst. Du multiplizierst den ersten Bruch mit dem Bruch, der nach dem konkreten ersten Ergebnis gilt. Der erste Nenner ist fünf, der nächste vier. Nach Türkis sinkt auch die Zahl der türkisen Steine auf zwei; nach Ocker bleiben drei türkise Steine. Typische Fehler ändern nur den Nenner, vergessen aber den Zähler, oder verwenden zweimal unverändert 3/5. Frage daher vor jeder zweiten Stufe: Was liegt jetzt wirklich noch im Beutel?
Probiere zuletzt eine neue Aufgabe ohne Vorlage: Vier grüne und drei weiße Steine liegen in einem Beutel. Zweimal wird ohne Zurücklegen gezogen. Für genau einen Stein jeder Farbe sind die Wege 4/7 × 3/6 und 3/7 × 4/6 jeweils 12/42; zusammen sind das 24/42 = 4/7. Als Kontrolle gibt es „7 über 2“ = 21 mögliche Paare und 4 × 3 = 12 gemischte Paare, also 12/21 = 4/7. Falls beide Verfahren nicht übereinstimmen, prüfe den verbleibenden Bestand und die zugelassenen Pfade. Weitere unabhängige Kontrollen findest du in unserem Ratgeber zum Prüfen von Matheergebnissen ohne Lösungsschlüssel.
Jetzt in die Praxis bringen
Wähle eine Aufgabe aus deinen aktuellen Hausaufgaben oder deinem Wiederholungssatz. Versuche sie, bevor du Eqora öffnest, und nutze die App erst an dem Punkt, an dem deine eigene Begründung endet.
- Sage, was die Aufgabe verlangt, bevor du löst
- Identifiziere den ersten Schritt, den du nicht begründen kannst
- Stelle Eqora eine gezielte Rückfrage zu diesem Schritt
- Schließe mit einer ähnlichen Aufgabe ohne Lösung vor Augen ab
Die Lerneinheit ist abgeschlossen, wenn die Methode klarer ist, nicht nur, wenn das Arbeitsblatt eine weitere Antwort hat.