分数 · Eqoraガイド
分数のわり算の宿題：逆数にするのはどちら？
後ろの分数だけを逆数にする理由を、図と逆算で確かめ、Eqoraで一つの疑問を解消した後は自分で解きます。
分数のわり算の宿題で「割り算を掛け算に直し、後ろをひっくり返す」と習っても、なぜ後ろだけなのか分からないままだと、式が少し変わっただけで迷います。たとえば 3/4 ÷ 1/8 は、3/4 の中に 1/8 がいくつ入るかという問いです。3/4 = 6/8 ですから、答えは 6。計算でも 3/4 × 8/1 = 6 になります。図で数えた結果と式が一致するところから、逆数の意味を確かめましょう。
このページでは、最初の分数と割る数の役割を見分け、逆数を使う根拠を説明します。その後、約分を伴う式、帯分数、負の分数、文章題を扱い、答えを掛け算で戻して検算します。途中でつまずいた一行だけを Eqora で確認する手順も示します。宿題を鮮明に撮影し、認識された式と手順を照合し、疑問を一つに絞って質問したら、説明を閉じて似た問題を自分で解く流れです。
この記事は Eqora の発行者が作成しています。ここで勧めるアプリは Eqora だけですが、アプリの表示が常に正しいという意味ではありません。撮影された式の読み取り、記号、前提、計算、単位、最終結果を自分で点検してください。授業や宿題での使用が許されるかどうかも、先生や学校の決まりに従います。学習の補助であり、試験の代行でも成績の保証でもありません。
分数のわり算は割る数を何個集められるか
A ÷ B では、A が最初に持っている量、B が割る数です。3/4 ÷ 1/8 を長さで考えるなら、3/4 の長さに 1/8 の長さが何個入るかを数えます。3/4 を八等分の単位で書き直すと 6/8。したがって 1/8 は六つ入ります。単純な例を絵にできると、後で計算結果が予想と大きくずれたとき、誤りに気づきやすくなります。
後ろの分数だけを逆数にする理由
割り算 A ÷ B の答えを q とすると、q × B = A が成り立ちます。3/4 ÷ 1/8 なら、q × 1/8 = 3/4 です。両辺に 8 を掛けると 1/8 が 1 になり、q = 3/4 × 8 = 6 を得ます。8 は割る数 1/8 の逆数です。最初の量 3/4 を 4/3 に変えると、元の問い自体を別の問いに変えてしまいます。
一般に a/b ÷ c/d を考えます。b、c、d が 0 でなければ、c/d の逆数は d/c で、(c/d) × (d/c) = 1 です。答え q は q × c/d = a/b を満たすので、両辺に d/c を掛ければ q = (a/b) × (d/c) です。つまり「後ろを逆数にする」は暗号のような手順ではなく、割る数との掛け算を 1 に戻す操作です。0 に逆数はないため、0 で割る式には使えません。
文部科学省の教材も、分数の除法を乗法の逆として捉え、逆数を使って乗法の形に直せると説明しています。写真の色紙には数式が印刷されていません。根拠になるのは色や向きではなく、掛けて 1 になるという等式です。
約分が必要な分数のわり算を最後まで解く
5/6 ÷ 10/9 では、5/6 が最初の量、10/9 が割る数です。10/9 だけを 9/10 にして、5/6 × 9/10 = 45/60 = 3/4 と計算します。先に約分するなら、5 と 10 を 1 と 2 に、9 と 6 を 3 と 2 にできます。その結果は (1 × 3)/(2 × 2) = 3/4。先に掛ける方法と同じ答えです。最初の 5/6 を逆数にしていないことを行ごとに見ます。
Eqoraへ送る前に宿題全体を読み取る
アプリを開く前に、割る数だけでも自分で指さしてください。Eqora を使うなら、括弧、マイナス記号、帯分数の整数部分、分母、答えの形式を含む一行全体を明るい場所で撮影します。名前や学籍番号など不要な個人情報は写さず、問題に必要な条件は切り落としません。画面にきれいな解説が出ても、撮影時に分母を読み違えたら別の問題への解説です。
解答を見る前に、認識された式を紙と一文字ずつ比べます。5/6 が左に残っているか、右は 10/9 か、÷ が × に誤読されていないか。分数が重なる場合は主となる分数線も確かめます。判別できなければ撮り直すか、式をはっきり入力します。写真のスマートフォン画面は空白で、実際の Eqora の表示を再現したものではありません。
質問は分からない一行に絞る
「5/6 ÷ 10/9 で、なぜ 10/9 を 9/10 にして、5/6 はそのままですか」と聞くと、確かめたい点が明確です。よい説明なら、10/9 が割る数で、その数に 9/10 を掛けると 1 になることを示すはずです。「そのまま、変えて、ひっくり返す」という標語だけが返ったら、割る数と最初の量の役割をもう一度尋ねるか、自分で等分の図を描いてください。
帯分数と負の数では別の確認を加える
1 と 1/2 ÷ 3/4 では、最初に帯分数 1 と 1/2 を仮分数 3/2 に直します。それから 3/2 × 4/3 = 2。帯分数の記号をそのままひっくり返すことはできません。答えに元の割る数を掛けると 2 × 3/4 = 3/2 で、始めの量に戻ります。3/4 は 1 より小さいので答えが 1 と 1/2 より大きいことも自然です。
負の分数でも規則は同じです。−2/3 ÷ 4/5 は −2/3 × 5/4 = −10/12 = −5/6。正の数で割るので答えは負です。負の量を負の数で割れば答えは正になります。マイナスが分子、分母、分数全体のどこに付いているかを写すときは、括弧で一つの負の割る数だと分かるようにします。符号を落とすと、逆数の取り方が正しくても答えが変わります。
文章題では答えの単位まで読む
練習に 3/4 時間残り、一つの短い練習が 1/8 時間なら、「何回できるか」は 3/4 ÷ 1/8 = 6 回です。時間の単位が打ち消し合い、回数が残ります。一方、3/4 時間を六回の練習に等分するなら 3/4 ÷ 6 = 1/8 時間ずつ。同じ数が出てきても、何で割り、何を答えるかが違います。問題文の量と求めるものに線を引いてから式を作ります。
説明を閉じて似た問題を自力で解く
スマートフォンを伏せて、7/8 ÷ 1/4 を解きます。7/8 が最初の量、1/4 が割る数です。割る数の逆数は 4 なので、7/8 × 4 = 28/8 = 7/2 = 3 と 1/2。検算は 7/2 × 1/4 = 7/8 です。図にするなら、7/8 の中に 1/4 が三つと、さらに 1/4 の半分だけ入ると考えられます。整数にならない答えにも意味があります。
次は 1 より大きい数で割ります。3/5 ÷ 6/5 = 3/5 × 5/6 = 1/2。1/2 × 6/5 = 3/5 で検算できます。6/5 は一つのまとまりとして最初の 3/5 より大きいので、商が 1 より小さいのは自然です。もし 3/5 より大きい商が出たら、細かな掛け算より前に、どの分数を逆数にしたかを調べます。
自分の答えが出てから Eqora を開き、読み取った元の式、逆数の一行、約分、検算の順に比べます。違いがあるなら最初のずれを記録し、新しい式でもう一度自力で試します。宿題の欄を埋められたことより、画面を閉じても割る数を特定できることが次の授業に役立ちます。
次の分数のわり算の宿題に使える順序
まず問題をそのまま写し、割る数に印を付けます。答えが最初の量より大きくなりそうかを見当づけ、帯分数を仮分数へ直し、0 で割っていないか確認します。割る数だけを逆数にして掛け算に書き換え、分子と分母の共通因子を約分して計算します。最後に答えに元の割る数を掛けて初めの量へ戻るか確かめます。文章題なら単位と答えの文まで書きます。
今すぐ実践する
今日の宿題や復習リストから一問を選びます。まず自分で取り組み、考えが止まった箇所を確認するときだけEqoraを使いましょう。
- 解く前に、問題が何を求めているかを口に出す
- 理由を言えない最初の一歩を指し示す
- その一歩についてEqoraに的を絞った追加の質問をする
- 解答を見ない似た問題で締めくくる
学習の流れは、紙に答えがあるから終わるのではなく、やり方がより明確になったから終わります。