Álgebra · Guia do Eqora
Progressão geométrica: preserve a razão
Acompanhe a multiplicação repetida, proteja a razão negativa com parênteses e diferencie um termo de uma soma.
Na lição de progressão geométrica, os números podem alternar de sinal ou diminuir em vez de crescer. Isso pode fazer um multiplicador constante parecer uma regra diferente a cada etapa. Talvez seu quarto termo tenha ficado positivo quando a lista indica um resultado negativo, ou você tenha calculado esse termo quando a questão pedia a soma dos quatro primeiros. Antes de usar uma fórmula, identifique a relação e a grandeza que o enunciado realmente solicita.
Usaremos 6, −12, 24, −48, … para relacionar a razão, o termo geral e uma soma finita. Outro problema com termos desconhecidos mostrará por que dois valores dados nem sempre determinam um único padrão de sinais. Tente a álgebra primeiro no papel. Se uma transformação continuar confusa, examine aquele passo com o Eqora e feche a explicação antes de resolver uma questão diferente. São exemplos didáticos originais, não resultados de testes de desempenho do aplicativo.
O Eqora publica este guia e recomenda seu próprio aplicativo como apoio ao aprendizado. Não apresenta classificação independente, precisão garantida nem promessa de nota. Siga as regras do curso: a ajuda não substitui o trabalho de prova. Confira enunciado, notação, hipóteses e resposta. As fotografias do planetário oferecem uma analogia visual para comparar objetos. Os anéis de latão não são termos medidos nem uma progressão em escala e não comprovam as razões numéricas descritas no texto.
Progressão geométrica: procure uma razão constante
Uma progressão geométrica surge ao multiplicar cada termo pela mesma razão q para encontrar o seguinte. O material de progressões geométricas do IMPA e da OBMEP apresenta essa recorrência e as condições para usar quocientes. Em 6, −12, 24, −48, os quocientes consecutivos são −12/6 = −2, 24/(−12) = −2 e −48/24 = −2. Portanto, os termos mostrados são compatíveis com q = −2. As diferenças não são constantes, então uma regra de progressão aritmética não serve para essa lista.
Nos cálculos por quocientes deste guia, o primeiro termo e a razão são diferentes de zero, mantendo todos os denominadores não nulos. Nunca divida por um termo zero. Uma recorrência pode descrever casos especiais com zeros, mas eles exigem outro raciocínio. Além disso, poucos termos não provam uma continuação infinita única se o enunciado não determinar o modelo geométrico. Em contraste, 6, 12, 18 tem diferenças constantes de 6, mas razões 2 e 1,5: não é uma PG.
Conte as multiplicações na fórmula do termo geral
Se o primeiro termo recebe o índice a_1, então a_2 = a_1q, a_3 = a_1q² e a_4 = a_1q³. Ir do termo 1 ao termo n exige n − 1 multiplicações; assim, a_n = a_1q^(n − 1), com n inteiro positivo. No nosso exemplo, a_n = 6(−2)^(n − 1). Substituir n = 1 deve devolver 6, pois uma base não nula elevada a zero vale 1. Essa é uma verificação rápida do índice inicial.
Para n = 4, calcule 6(−2)³ = 6(−8) = −48. Usar o expoente 4 produziria 96, que é o quinto termo. Se o problema começar com a_0 = 6, a fórmula passa a ser a_n = 6(−2)^n para n ≥ 0. Leia o índice inicial antes de usar um modelo decorado. A mesma lista numérica pode receber rótulos diferentes; mudar um rótulo não pode deslocar silenciosamente todos os valores uma posição.
Mantenha toda a razão negativa entre parênteses
Em (−2)^k, o sinal negativo faz parte da base. As potências pares são positivas e as ímpares negativas. Assim, os sinais de 6(−2)^(n − 1) alternam conforme n muda. Já −2^k costuma significar −(2^k), com o menos fora da potência. Para k = 2, (−2)² = 4, mas −2² = −4. Perder os parênteses modifica a regra, não apenas sua aparência na folha ou na calculadora.
Confira pela recorrência os dois termos seguintes: −48 multiplicado por −2 resulta em 96; 96 multiplicado por −2 resulta em −192. A fórmula dá os mesmos quinto e sexto termos. Nosso guia sobre regras de expoentes explica por que os limites da base e do expoente importam. Uma sequência alternante não é necessariamente decrescente: aqui os módulos dobram enquanto os sinais mudam. Descreva sinal e magnitude separadamente, sem chamar toda a lista de crescente apenas porque os valores absolutos aumentam.
Termos não consecutivos podem admitir duas razões
Para termos não nulos de uma PG, a_j/a_i = q^(j − i). Se a_3 = 24 e a_6 = −192, existem três etapas de multiplicação: q³ = −192/24 = −8. Nos números reais, isso fornece q = −2. Recupere o primeiro termo por a_1 = a_3/q² = 24/4 = 6. Confira as duas posições dadas no enunciado, em vez de aceitar uma razão que funcione apenas para uma delas.
Considere agora outra questão que fornece somente a_2 = −12 e a_4 = −48, sem informar o primeiro termo. Ela leva a q² = 4, portanto q pode ser +2 ou −2. Com q = +2, a_1 = −6 e a_3 = −24; com q = −2, a_1 = 6 e a_3 = 24. As duas opções satisfazem os dados. Uma diferença par entre índices pode esconder o sinal. Não escolha automaticamente a raiz positiva sem uma condição adicional que exija razão positiva.
A soma finita não é o último termo
O quarto termo é a_4 = −48, mas a soma dos quatro primeiros é S_4 = 6 − 12 + 24 − 48 = −30. Para deduzir a soma finita geral, escreva S_n = a_1 + a_1q + … + a_1q^(n − 1). Multiplicar toda a igualdade por q desloca as potências. Subtraia a igualdade deslocada da primeira: (1 − q)S_n = a_1(1 − q^n). Os termos intermediários se cancelam porque aparecem com sinais opostos.
Para q ≠ 1, divida e obtenha S_n = a_1(1 − q^n)/(1 − q). Aqui S_4 = 6[1 − (−2)^4]/[1 − (−2)] = 6(1 − 16)/3 = −30. Preserve os parênteses do numerador e do denominador completos. Para q = 1, dividir por 1 − q é proibido: todos os termos valem a_1 e S_n = na_1. A soma finita não exige |q| < 1; essa condição pertence a outra pergunta, sobre um limite de somas parciais.
Verifique a convergência antes de somar infinitos termos
Em 12, 6, 3, … a razão é 1/2. Os três primeiros termos somam 21, e S_n = 12[1 − (1/2)^n]/(1 − 1/2) = 24[1 − (1/2)^n]. Quando n cresce, (1/2)^n tende a zero e as somas parciais se aproximam de 24. A soma infinita é definida pelo limite das somas finitas; não é o valor de um termo específico. Nenhuma soma parcial finita desse exemplo positivo chega exatamente a 24.
Para um primeiro termo não nulo, a soma geométrica infinita existe quando |q| < 1 e vale a_1/(1 − q). O módulo é essencial: q = −2 é menor que 1, mas seu módulo é 2. A sequência inicial cresce em magnitude e não tem soma infinita convergente. Substituir 6/(1 − (−2)) = 2 seria usar indevidamente a fórmula do limite. Suas somas parciais −6, 18 e −30 já indicam que não estão se estabilizando perto de 2.
Pergunte ao Eqora sobre a primeira razão ou sinal sem justificativa
Comece com sua própria lista de termos, a razão proposta e a primeira fórmula duvidosa. Se o curso permitir ajuda de IA, capture uma questão completa e legível com a tentativa relevante. Preserve índices, um possível índice inicial zero, parênteses e sinais de menos. Evite informações pessoais. Antes de examinar os passos sugeridos no Eqora, confira se a_3 = 24 e a_6 = −192 não viraram termos consecutivos nem perderam os índices. Uma explicação sobre outra tarefa capturada não valida seu trabalho original.
Faça uma pergunta específica: “Por que a_6/a_3 fornece q³ em vez de q², e o que determina o sinal de q?”. Para o exercício com diferença par entre índices, pergunte por que as duas raízes permanecem possíveis e qual informação escolheria uma delas. São sugestões de estudo, não citações de um teste do aplicativo. Nosso guia para fazer perguntas de acompanhamento ajuda a nomear a dúvida, em vez de pedir outra resposta completa sem identificar a transformação que não ficou clara.
Confira qualquer resposta pela recorrência e pelos termos originais. Pare se ela descartar a razão negativa sem justificar, confundir S_n com a_n ou aplicar uma soma infinita a q = −2. Consulte a álgebra ou o método do professor. Os exemplos podem ser resolvidos no papel sem um serviço pago; isso não promete que todos os recursos ou o uso ilimitado do aplicativo sejam gratuitos. Explique a correção com suas palavras e feche a resolução assistida antes da prática independente.
Mude os dados e confira a recorrência sem ajuda
Tente uma nova PG com b_1 = 5 e q = 3. Os quatro primeiros termos são 5, 15, 45, 135. Logo, b_4 = 135, enquanto S_4 = 200. As fórmulas concordam: 5 × 3³ = 135 e 5(1 − 3^4)/(1 − 3) = 200. Escreva cada resposta com a grandeza solicitada. Um número correto associado ao símbolo errado ainda responderia a outra pergunta, mesmo que a aritmética estivesse completamente certa.
Para uma razão fracionária, use c_1 = 18 e q = 2/3. Os quatro primeiros termos são 18, 12, 8 e 16/3; assim, c_4 = 16/3 e a soma é 130/3. Mantenha a fração em vez de arredondar repetidamente. Decida quais exemplos admitem soma infinita convergente: a razão 3 não admite, enquanto 2/3 admite e fornece 18/(1 − 2/3) = 54. Confira multiplicador, índice, sinais e grandeza pedida antes de confiar na expressão final.
