Cálculo · Guía de Eqora
Derivada por definición: h no es cero
Construye el cociente incremental, cancela con h distinto de cero y comprueba ambos lados antes de aceptar la derivada.
La derivada por definición puede parecer imposible cuando sustituir al principio produce 0/0. Esa expresión no es una respuesta ni significa que la derivada sea cero. El cociente incremental compara dos entradas próximas, pero distintas. Primero se simplifica para un incremento no nulo y después se estudia su límite. Separar esos momentos explica por qué podemos cancelar un factor sin afirmar que está permitido dividir entre cero. La dificultad suele estar en esa justificación, además de en desarrollar correctamente un cuadrado.
Calcularemos la derivada de f(x) = x² + 3x en a = 2, revisaremos errores frecuentes y terminaremos con un ejercicio modificado sin ayuda. Si consultas Eqora, intenta antes el planteamiento, captura la función completa y el punto solicitado, examina los pasos y pregunta por una transición concreta. Comprueba el enunciado reconocido, la notación, las hipótesis y el resultado. Respeta las normas de evaluación: una herramienta de aprendizaje no sustituye el trabajo exigido sin asistencia ni garantiza aciertos o calificaciones.
La derivada por definición empieza con dos entradas
Fija a = 2 y elige un incremento h distinto de cero. Las entradas son 2 y 2 + h, no 2 y h. Su diferencia es (2 + h) − 2 = h. La variación de la salida es f(2 + h) − f(2). El cociente [f(2 + h) − f(2)]/h representa la pendiente de la secante entre los dos puntos de la gráfica. Un h positivo sitúa la segunda entrada a la derecha; uno negativo la sitúa a la izquierda.
El libro de cálculo de la Universidad de Cantabria relaciona el cociente incremental con la razón de cambio media y su límite con la derivada. Para la derivada ordinaria bilateral en un punto interior, las entradas próximas deben pertenecer al dominio y ambos sentidos deben conducir al mismo límite finito. Nuestro polinomio está definido en todos los números reales, así que admite incrementos pequeños positivos y negativos. No supongas lo mismo para cualquier función por reconocer una fórmula conocida: registra el punto y el dominio antes de simplificar.
Sustituye en toda la función antes de restar
Primero, f(2) = 2² + 3 × 2 = 10. Para calcular f(2 + h), reemplaza cada aparición de x: f(2 + h) = (2 + h)² + 3(2 + h). El cuadrado afecta a la suma completa y da 4 + 4h + h². El término lineal aporta 6 + 3h. Por tanto, f(2 + h) = 10 + 7h + h². Mantener los paréntesis hasta terminar las dos sustituciones protege los términos que necesitarás en la diferencia.
Forma ahora la resta completa: f(2 + h) − f(2) = (10 + 7h + h²) − 10 = 7h + h². El signo menos afecta a todo f(2). En otro ejercicio, si ese valor fuera negativo, tendrías que cambiar también ese signo. Escribir f(2 + h) como f(2) + h supondría sin motivo que la salida cambia exactamente lo mismo que la entrada. Esa propiedad no vale para funciones en general y eliminaría precisamente el comportamiento que estamos intentando medir.
Cancela un factor no nulo después de factorizar
El cociente queda (7h + h²)/h. Factoriza el numerador completo como h(7 + h). Como h ≠ 0, puedes dividir por el factor común y obtener 7 + h. La igualdad vale para todos los incrementos no nulos permitidos. No asigna un valor al cociente original en h = 0. La expresión simplificada sí está definida allí, y eso facilita estudiar su comportamiento cercano. El límite utiliza ese comportamiento, no una autorización oculta para dividir entre cero.
Un error tentador consiste en cancelar h solo en h² y dejar el otro término intacto, o en tachar símbolos a través de una suma sin factorizar. Cancelar significa dividir un producto por un factor común no nulo. Aquí ambos sumandos del numerador contienen h, por eso funciona. Si uno no lo contuviera, la operación sería diferente. La guía para comprobar respuestas sin solucionario recomienda invertir una operación: multiplica 7 + h por h y verifica que recuperas todo el numerador, 7h + h².
Calcula el límite e interpreta la pendiente
Cuando h tiende a cero, 7 + h tiende a 7 tanto por la derecha como por la izquierda. Por ello, f′(2) = 7. La derivada describe la pendiente o razón de cambio local en la entrada indicada; f(2) = 10 es el valor de la función. No responden a la misma pregunta. La tangente en ese punto es y − 10 = 7(x − 2), equivalente a y = 7x − 4. Sustituir x = 2 devuelve y = 10 y confirma que pasa por el punto correcto.
El cociente original sigue indefinido en h = 0. Decir «h se hace cero y entonces se cancela» no expresa el argumento válido. Para cada h no nulo cercano a cero, el cociente coincide con 7 + h, cuyo límite es 7. En un punto general a, la misma expansión da [(a + h)² + 3(a + h) − (a² + 3a)]/h = 2a + 3 + h, para h ≠ 0. Así, f′(a) = 2a + 3; evaluarlo en a = 2 confirma la pendiente obtenida.
Usa valores numéricos como apoyo y no como demostración
Con h = 0,1, el cociente simplificado vale 7,1; con h = 0,01, vale 7,01. Para h = −0,1 y h = −0,01, los resultados son 6,9 y 6,99. Se acercan a 7 desde sentidos opuestos. Esta tabla ayuda a interpretar el límite y detectar errores de expansión, pero no demuestra el comportamiento de todos los incrementos próximos. La fórmula 7 + h permite esa conclusión aquí porque describe exactamente el cociente para cualquier h suficientemente pequeño y no nulo.
Elegir un incremento diminuto en la calculadora no mejora siempre la comprobación. Restar salidas casi iguales y redondeadas puede perder precisión, y la división posterior amplifica el problema. Para este polinomio, calcular la expresión simplificada evita esa resta concreta. Si solo dispones de datos medidos, una diferencia finita es una estimación afectada por el espaciado y los errores de medición. No presentes una tabla corta como una derivada exacta sin justificar el modelo. Distingue lo que demuestra el cálculo de lo que únicamente sugiere el patrón numérico.
Captura función, punto y método solicitado juntos
En una sesión con Eqora, fotografía el enunciado completo, incluidos f(x), a = 2 y cualquier indicación de usar la definición. Una respuesta calculada solo mediante una regla de derivación puede ser numéricamente correcta sin demostrar el método pedido. Busca iluminación uniforme, conserva exponentes y paréntesis y compara la lectura reconocida con el original. Un cuadrado mal leído o una constante perdida cambia el ejercicio antes de empezar el cálculo. Corrige la transcripción en lugar de estudiar una solución convincente de otra tarea.
Examina tres momentos: sustitución completa en f(2 + h), resta de todo f(2) y factorización antes de cancelar. Localiza el primero que no puedas explicar. La guía para aprender de ejemplos resueltos muestra por qué anticipar el paso siguiente resulta más útil que leer pasivamente la solución terminada. Tapa esa línea e inténtala en papel. Las fotografías de una rampa y una sesión de estudio son analogías conceptuales: no son gráficas a escala, tareas reales capturadas ni pantallas de Eqora que prueben un resultado.
Pregunta por la conexión lógica que falta
Dos preguntas útiles son «¿Por qué h debe seguir siendo distinto de cero al cancelar el factor?» y «¿Cómo puede tener límite finito un cociente que no está definido en cero?». Si la dificultad es algebraica, pregunta «¿De dónde sale el término 4h al desarrollar (2 + h)²?». Cada consulta identifica una transición que puedes justificar y verificar. Pedir únicamente otro resultado final puede mantener intacta la duda, aunque la nueva explicación cambie de vocabulario o presente las ecuaciones con más orden.
Después de leer la respuesta, ciérrala y reconstruye el paso en tu cuaderno. Escribe la condición h ≠ 0 junto a la cancelación y conserva el símbolo de límite en la última transición. Si Eqora propone un resultado, compruébalo por expansión y recomposición, sin tomar un tono seguro como prueba. Es una ayuda de aprendizaje, no una garantía de exactitud o notas. Revisa tarea, notación, dominio y conclusión. Si tu curso define de otro modo las derivadas en extremos del dominio, solicita una aclaración docente antes de aplicar esa convención.
Comprueba un caso donde los dos lados discrepan
Considera p(x) = |x| en cero. El cociente incremental es (|h| − 0)/h. Si h es positivo, vale 1; si h es negativo, vale −1. Los límites laterales son diferentes y no existe la derivada bilateral ordinaria en cero. La función sí está definida y es continua allí, pero eso no obliga a que sea derivable. Una figura simétrica o una lectura numérica central no reemplaza el examen de ambas direcciones. La esquina marca una diferencia matemática real respecto al polinomio anterior.
En particular, [p(h) − p(−h)]/(2h) vale cero para cualquier h no nulo. Ese cociente simétrico no demuestra que p′(0) sea cero: es otra expresión y su límite no basta para establecer la derivada ordinaria. El ejemplo advierte del peligro de escoger una comprobación numérica sin entender qué mide. El procedimiento debe corresponder a la definición utilizada. Conserva el punto base y ambas direcciones permitidas, en lugar de sustituir la tarea por un cálculo simétrico que resulte más cómodo.
Resuelve una función modificada por tu cuenta
Prueba g(x) = 3x² − x en a = −1 con la explicación tapada. Primero, g(−1) = 4. La entrada desplazada da g(−1 + h) = 3(−1 + h)² − (−1 + h) = 4 − 7h + 3h². Al restar 4 y dividir entre h no nulo, obtienes −7 + 3h. Su límite bilateral es −7, así que g′(−1) = −7. Multiplica de nuevo por h y verifica que recuperas el numerador completo antes de cerrar el ejercicio.
La expresión general g′(a) = 6a − 1 confirma −7 en a = −1. Explica el signo: una derivada negativa indica que la salida disminuye ante incrementos positivos pequeños cerca del punto; no significa distancia negativa ni valor negativo de la función. Si puedes plantear el cociente, justificar la cancelación y separar límite de sustitución, dispones de un método reutilizable. Termina con el punto solicitado, la derivada exacta y una comprobación propia, en vez de una secuencia de símbolos que solo reconoces al verla escrita.
