Álgebra · Guía de Eqora
Fracciones parciales: revisa cada denominador
Asocia las constantes a sus factores, justifica la identidad y comprueba una tarea nueva sin copiar la explicación.
Las fracciones parciales parecen un ejercicio de adivinar dos números hasta que uno de ellos termina encima del denominador equivocado. La respuesta puede resultar convincente y, aun así, cambiar la función. Para comprobarla necesitas volver a sumar las fracciones y recuperar el numerador original. Ese criterio permite evaluar tanto tu propio procedimiento como una explicación que consultes en una aplicación. Lo esencial es entender qué representa cada constante y qué valores siguen excluidos del dominio.
Trabajaremos con (5x + 1)/((x − 1)(x + 2)). Resolveremos la descomposición, justificaremos el uso de raíces excluidas dentro de una identidad polinómica y terminaremos con un ejercicio diferente. Si recurres a Eqora, úsala para examinar un paso concreto después de intentarlo por tu cuenta. Comprueba la tarea reconocida, los signos, las hipótesis y el resultado. Respeta también las normas de tu curso: una ayuda de aprendizaje no sustituye el trabajo que debe realizarse sin asistencia en una evaluación.
Fracciones parciales: lee los factores y el dominio
El numerador tiene grado uno y el denominador grado dos. Por eso estamos ante una fracción racional propia y no hace falta una división polinómica inicial. Además, el denominador ya aparece como producto de dos factores lineales distintos. Ambas observaciones determinan la forma de la descomposición. No son simples detalles de presentación: una potencia repetida o un término de grado mayor exigirían otro planteamiento. Comprueba los paréntesis antes de copiar un procedimiento conocido.
El denominador se anula cuando x = 1 o x = −2. Anota, por tanto, x ≠ 1 y x ≠ −2. Ninguna reescritura de la expresión concede un valor nuevo a la función original en esos puntos. El recurso de la UAEH sobre factores lineales distintos presenta la descomposición como la conversión de un cociente propio en una suma de fracciones más sencillas. Esa es la idea que utilizaremos aquí; la integración posterior es otro problema y no hace falta para justificar esta igualdad algebraica.
Asigna una constante a cada factor concreto
Escribe (5x + 1)/((x − 1)(x + 2)) = A/(x − 1) + B/(x + 2). La letra A queda asociada al factor x − 1 y B al factor x + 2. Mantén esa correspondencia en todas las líneas. Las constantes no se leen directamente como los coeficientes 5 y 1 del numerador inicial. Al sumar las fracciones, cada numerador debe multiplicarse por el factor que le falta para alcanzar el denominador común.
La suma de la derecha es [A(x + 2) + B(x − 1)]/[(x − 1)(x + 2)]. Observa el cruce: A se multiplica por x + 2, porque su fracción ya tenía x − 1. La fracción de B necesita x − 1 por la misma razón. Multiplicar cada constante por el factor que ya tenía debajo no reproduce la suma habitual de fracciones. Si pierdes el hilo más adelante, esta es la primera igualdad que conviene reconstruir sin mirar una solución.
Iguala coeficientes para encontrar las constantes
Para los valores permitidos de x, multiplica por el denominador común, que es distinto de cero. Obtienes 5x + 1 = A(x + 2) + B(x − 1). Al desarrollar, queda 5x + 1 = (A + B)x + (2A − B). Para que los polinomios coincidan como identidad, sus coeficientes deben ser iguales: A + B = 5 y 2A − B = 1. Sumando ambas ecuaciones se obtiene 3A = 6, de donde A = 2 y B = 3.
No estamos buscando un valor aislado de x que haga verdadera una ecuación. Buscamos constantes que permitan escribir la misma expresión para todos los valores admisibles. Al comprobar ambos coeficientes verificamos la identidad completa. La descomposición resultante es 2/(x − 1) + 3/(x + 2), todavía con x ≠ 1 y x ≠ −2. Conserva el pequeño sistema junto al resultado: explica de dónde salen los números y facilita localizar un signo incorrecto cuando revises tus deberes.
Distingue una identidad polinómica de la fracción original
Existe un atajo útil en la igualdad 5x + 1 = A(x + 2) + B(x − 1). Si tomas x = 1, desaparece el término de B y queda 6 = 3A. Si tomas x = −2, desaparece el de A y queda −9 = −3B. Recuperas A = 2 y B = 3 sin resolver el sistema completo. La aparente dificultad es que esos dos valores estaban prohibidos en la fracción inicial.
La respuesta está en qué objeto evalúas. La igualdad anterior compara polinomios, que sí están definidos en esos puntos. Una vez que la igualdad vale para todos los valores permitidos, expresa una identidad polinómica y puede comprobarse también en los dos puntos retirados. No estás sustituyendo en una fracción con denominador cero ni ampliando su dominio. Si esa justificación todavía no se ha trabajado en clase, usa la igualación de coeficientes. El resultado final conserva las restricciones originales con cualquiera de los dos métodos.
Captura la tarea completa antes de pedir una explicación
Con Eqora, empieza por tu intento escrito: identifica los factores, anota los valores excluidos y plantea las dos fracciones. Fotografía después toda la expresión con buena luz, sin cortar la barra de fracción ni el último paréntesis. Revisa lo que la aplicación ha reconocido antes de seguir sus pasos. Confundir x − 1 con x + 1 o perder un exponente produce una tarea diferente, aunque la explicación posterior esté bien ordenada y parezca coherente.
Busca el primer paso que no puedes justificar. Quizá no sea resolver el sistema, sino saber por qué aparece A(x + 2) en el numerador común. La guía para comprobar respuestas sin solucionario desarrolla la idea de verificar por un camino independiente. Aquí ese camino consiste en volver a sumar las piezas. La explicación de una aplicación puede orientarte hacia la comprobación, pero debes poder repetirla con papel y lápiz, sin depender de que la pantalla permanezca abierta.
Formula una pregunta que señale la duda exacta
Una consulta concreta sería: «¿Por qué A se multiplica por x + 2 al poner las fracciones sobre el mismo denominador?». Otra sería: «¿En qué igualdad se sustituye x = 1 y por qué eso no define la fracción original allí?». Ambas preguntas identifican una conexión que falta. Pedir únicamente otra respuesta completa puede dejar intacta esa dificultad, aunque cambien las palabras o el orden de los pasos. Examina la razón matemática que recibas y contrástala con tu planteamiento.
Después aparta la explicación e intenta expresar el paso con tus propias palabras. Señala qué factor falta en cada denominador o desarrolla ambos miembros de la identidad. Si Eqora propone dos constantes, compruébalas: el tono seguro de una explicación no demuestra su exactitud. Eqora es una ayuda de aprendizaje, no una garantía de aciertos o calificaciones. Revisa el enunciado, la notación, las condiciones y el resultado; cuando una convención del curso siga siendo ambigua, solicita una aclaración a tu docente.
Vuelve a sumar para detectar un intercambio de constantes
Con las constantes correctas, el numerador común queda 2(x + 2) + 3(x − 1) = 2x + 4 + 3x − 3 = 5x + 1. Recuperar exactamente el numerador inicial demuestra la igualdad para todos los valores permitidos, porque el denominador tampoco ha cambiado. Si intercambias las constantes y escribes 3/(x − 1) + 2/(x + 2), el numerador sería 5x + 4. Los mismos números dejan de representar la función al cambiar su asociación.
Una sustitución numérica sirve como alarma rápida. Para x = 0, la fracción inicial vale −1/2 y la suma propuesta vale −2 + 3/2 = −1/2. Evita los valores excluidos. Una coincidencia numérica aislada no demuestra una identidad: expresiones distintas pueden coincidir en algunos puntos. Utiliza la recomposición simbólica como prueba y las sustituciones como apoyo para detectar errores de cálculo. Si ambas comprobaciones no concuerdan, retrocede hasta la primera línea donde cambiaste un signo o asignaste un factor.
Reconoce cuándo este planteamiento necesita ampliarse
Si el grado del numerador alcanza o supera al del denominador, realiza primero la división polinómica. Por ejemplo, (x² + 5x + 1)/(x² + x − 2) = 1 + (4x + 3)/(x² + x − 2). Ahora sí queda una fracción propia que puede descomponerse. Ignorar el término polinómico 1 daría una representación incompleta. La guía de división polinómica con términos ausentes ayuda a ordenar la operación cuando falta alguna potencia en uno de los polinomios.
Un factor repetido también cambia la forma. Ante (x − 1)², contempla A/(x − 1) + B/(x − 1)². No basta con una única constante sobre el factor al cuadrado para representar cualquier numerador propio. Un factor cuadrático irreducible sobre los reales requiere, en general, un numerador lineal, como (Cx + D)/(x² + 1). Son límites del ejemplo de hoy: identifica primero la estructura y después decide las incógnitas, en vez de aplicar el mismo molde a cualquier denominador.
Cambia el numerador y resuelve sin consultar los pasos
Prueba ahora (7x − 1)/((x − 1)(x + 2)). Conserva el dominio y escribe C/(x − 1) + D/(x + 2). Al sumar e igualar coeficientes obtendrás C + D = 7 y 2C − D = −1. La suma de ecuaciones da 3C = 6, por lo que C = 2 y D = 5. Comprueba que 2(x + 2) + 5(x − 1) = 7x − 1 antes de considerar terminado el ejercicio.
Explica qué se mantiene y qué cambia. Los factores siguen fijando los denominadores y los valores prohibidos, mientras el nuevo numerador modifica el sistema. Si puedes reconstruir esa cadena y justificar el atajo de las raíces, has adquirido un procedimiento reutilizable. Si solo recuerdas los dos números del primer ejercicio, vuelve al denominador común y razona qué factor falta en cada fracción. Entrega una descomposición exacta, sus restricciones y una comprobación que realmente hayas realizado tú.
