Analyse · Guide Eqora
Dérivée d’une fonction composée : suivre chaque couche
Repérez les fonctions extérieure et intérieure, dérivez de l’extérieur vers l’intérieur, contrôlez le facteur intérieur et transférez la méthode.
Une dérivée d’une fonction composée exige de suivre chaque couche exactement une fois. L’expression y = (3x² + 1)⁴ ressemble à une simple puissance quatrième, mais sa base n’est pas x. La fonction 3x² + 1 se trouve à l’intérieur d’une autre fonction qui élève son entrée à la puissance quatre. Écrire 4(3x² + 1)³ puis s’arrêter revient à dériver la couche extérieure tout en oubliant la vitesse de variation de l’intérieur. Le facteur manquant est 6x : la dérivée complète vaut donc 24x(3x² + 1)³.
Ce guide établit d’abord la méthode sur papier, puis utilise Eqora dans un parcours d’apprentissage limité : photographier l’expression entière, comparer la reconnaissance à l’original, examiner une transition, poser une question ciblée et fermer l’explication avant de résoudre seul un exercice voisin. Eqora édite cet article et constitue la seule application recommandée ici. C’est une aide à l’apprentissage, pas une garantie d’exactitude ou de note, ni un substitut au travail personnel exigé en examen.
OpenStax énonce que la dérivée d’une composée est la dérivée de la fonction extérieure, évaluée sur la fonction intérieure, multipliée par la dérivée de cette dernière. En notation compacte, d/dx[f(g(x))] = f′(g(x))g′(x). Les exemples ci-dessous développent cette formule. Gardez l’écriture initiale visible, contrôlez parenthèses et exposants, puis vérifiez chaque résultat à partir de l’énoncé au lieu de faire confiance automatiquement à une photo, un modèle mémorisé ou une réponse d’IA.
Dérivée d’une fonction composée : reconnaître les couches
Une composition apparaît lorsque la sortie d’une fonction devient l’entrée d’une autre. Dans (3x² + 1)⁴, posez u = 3x² + 1 ; la fonction extérieure est alors f(u) = u⁴. L’opération extérieure ne signifie pas « multiplier par quatre », mais « élever l’entrée actuelle à la puissance quatre ». Nommer les deux couches rend le plan de dérivation visible avant tout calcul. Les cercles de pâtisserie de la photo ne sont qu’une analogie, jamais un diagramme mathématique à mesurer.
Une puissance autour de parenthèses, une fonction trigonométrique contenant une expression, une exponentielle dont l’exposant dépend de x ou une racine appliquée à un terme non trivial signalent souvent une composition. C’est le cas de sin(5x), e^(x²) et √(2x + 3). En revanche, x⁴ + 3x² est une somme de termes, non une seule fonction imbriquée ; elle se dérive terme à terme. Repérez toutes les paires de parenthèses pour ne pas confondre composition, addition et multiplication voisines.
Dériver l’extérieur en gardant l’intérieur intact
Reprenez y = (3x² + 1)⁴ et appelez provisoirement u toute la parenthèse. La dérivée de u⁴ par rapport à u est 4u³. Remplacez ensuite u par l’expression intérieure inchangée : 4(3x² + 1)³. Pendant cette étape extérieure, 3x² + 1 n’est ni développé, ni simplifié, ni dérivé. Le conserver tel quel empêche de modifier deux couches à la fois et de perdre la structure de la composition.
Dérivez maintenant l’intérieur : d/dx(3x² + 1) = 6x. Ce facteur se multiplie, il ne s’additionne pas : y′ = 4(3x² + 1)³ · 6x = 24x(3x² + 1)³. Le produit relie la variation de l’entrée intérieure à la réaction de la fonction extérieure. Écrivez d’abord les deux facteurs séparément. Regrouper ensuite 4 et 6x est possible, mais la forme factorisée rend souvent le raisonnement plus facile à contrôler.
Photographier toute l’expression avant de demander de l’aide
Si l’exercice vient d’une feuille ou d’un cahier, la photo doit inclure l’expression complète : nom de la fonction, parenthèses, exposant, variable de dérivation et éventuelle consigne de simplification ou d’évaluation. Retirez nom, numéro d’étudiant, visage et toute donnée personnelle inutile, sans couper une parenthèse fermante ni un petit exposant. Oublier le 4 transforme (3x² + 1)⁴ en un autre problème, même si le reste de l’image est net.
Avant de lire la solution, comparez caractère par caractère l’expression reconnue par Eqora avec la source. Le x est-il toujours au carré ? Le +1 reste-t-il à l’intérieur de la puissance quatre ? Cherche-t-on y′ ou une valeur numérique ? Reprenez une photo floue ou inclinée. Cette vérification appartient aux mathématiques, puisque toutes les étapes suivantes dépendent de l’entrée. Notre guide photo donne des conseils pratiques ; l’image ci-dessous ne montre volontairement aucune formule réelle ni interface d’application.
Examiner une transition et poser une question précise
Lisez la proposition ligne après ligne. Pour l’exemple principal, identifiez trois affirmations : la puissance extérieure descend à trois, l’expression intérieure originale reste sous cette puissance et le facteur 6x apparaît quand on dérive 3x² + 1. Si une transition pose problème, interrogez seulement celle-ci : « Pourquoi faut-il le facteur 6x ? » ou « Pourquoi 3x² + 1 reste-t-il dans le cube ? » Une question précise se compare directement à votre propre raisonnement.
Ne demandez pas simplement la répétition du résultat final. Indiquez ce que vous pensez être les fonctions extérieure et intérieure, puis demandez une correction de cette décomposition. Reformulez ensuite la règle : dériver l’extérieur sur l’intérieur inchangé, puis multiplier par la dérivée intérieure. La scène de pâtisserie représente l’examen d’une seule couche ; les cartes sont vierges et la photographie ne prouve en rien qu’une réponse générée est exacte.
Appliquer la règle aux fonctions usuelles
Pour y = sin(5x), l’extérieur sin(u) a pour dérivée cos(u), tandis que l’intérieur 5x a pour dérivée 5. On obtient y′ = 5cos(5x). Pour y = e^(x²), la dérivée extérieure reste e^u et la dérivée intérieure vaut 2x, donc y′ = 2xe^(x²). À chaque fois, conservez l’expression intérieure originale dans la dérivée extérieure et placez sa propre dérivée comme facteur séparé.
Écrivez y = √(2x + 3) sous la forme (2x + 3)^(1/2). La règle des puissances extérieure donne (1/2)(2x + 3)^(-1/2), puis l’intérieur donne 2. Les facteurs se réduisent à y′ = (2x + 3)^(-1/2) = 1/√(2x + 3). La fonction initiale est réelle lorsque 2x + 3 ≥ 0, mais cette formule de dérivée exige 2x + 3 > 0. Une simplification algébrique n’efface pas le domaine.
Distinguer composition et produit
Des parenthèses ne suffisent pas à annoncer une composition. La fonction (x² + 1)(x³ − 2) est, au niveau supérieur, le produit de deux facteurs dépendant de x : elle demande la règle du produit. La fonction (x² + 1)³ applique au contraire une puissance à une fonction intérieure et demande la règle de la chaîne. Le guide Eqora consacré au produit montre pourquoi multiplier les deux dérivées serait faux. Commencez toujours par identifier l’opération supérieure : somme, produit, quotient ou composition.
Plusieurs règles peuvent intervenir ensemble. Pour y = x²sin(3x), le niveau supérieur est un produit. On écrit d’abord 2x·sin(3x) + x²·d/dx[sin(3x)]. Dans le second terme, la chaîne donne 3cos(3x). Ainsi y′ = 2xsin(3x) + 3x²cos(3x). Progressez de la structure extérieure vers l’intérieur et terminez une règle à la fois, au lieu de choisir une formule d’après l’apparence générale de l’expression.
Suivre trois couches sans oublier celle du milieu
Considérez y = [1 + (2x − 1)²]³. Trois couches apparaissent : mettre le crochet au cube, ajouter 1 à un carré, puis former 2x − 1. De l’extérieur vers l’intérieur, les facteurs sont 3[1 + (2x − 1)²]², puis 2(2x − 1), puis 2. Leur produit se simplifie en y′ = 12(2x − 1)[1 + (2x − 1)²]².
Une liste de couches placée à côté d’une liste de facteurs est efficace. Couches : cube ; 1 plus un carré ; expression linéaire. Facteurs : 3[1 + (2x − 1)²]² ; 2(2x − 1) ; 2. La couche intermédiaire ne peut alors plus disparaître. Ne simplifiez qu’après avoir représenté toutes les couches. Pour contrôler une explication d’IA, associez chaque couche originale à un facteur dérivé et questionnez toute absence.
Fermer l’explication et réussir un exercice de transfert
Masquez maintenant la solution et dérivez y = (2x³ − 5)⁶ sur papier. L’extérieur fournit 6(2x³ − 5)⁵ ; l’intérieur fournit 6x². Le produit est y′ = 36x²(2x³ − 5)⁵. Vérifiez que l’exposant a diminué d’une unité, que l’expression intérieure entière est restée en place et que sa dérivée figure exactement une fois. La réponse 6(2x³ − 5)⁵ aurait une étape extérieure correcte, mais une chaîne incomplète.
Ne rouvrez Eqora qu’après votre tentative. Comparez la structure avant les différences de mise en forme et demandez pourquoi au premier désaccord. Vous pouvez aussi estimer numériquement un taux de variation près d’une valeur de x ou développer un petit cas polynomial comme contrôle indépendant. Respectez les règles de votre formation sur les outils autorisés. Eqora peut mal lire une notation ou se tromper : vérifiez vous-même l’énoncé, les hypothèses, chaque facteur et la forme finale.
Passe à la pratique maintenant
Choisis un problème de tes devoirs actuels ou de ta liste de révision. Essaie avant d’ouvrir Eqora et utilise l’application seulement lorsque ton propre raisonnement s’arrête.
- Dis ce que le problème demande avant de résoudre
- Identifie la première étape que tu ne peux pas justifier
- Pose à Eqora une question précise sur cette étape
- Termine avec un problème similaire sans la solution sous les yeux
La séance est terminée lorsque la méthode est plus claire, pas seulement lorsque tu as obtenu une réponse supplémentaire.