Álgebra · Guia do Eqora
Progressão aritmética na tarefa: conte os saltos
Encontre um termo sem avançar uma posição a mais. Separe razão, posição e soma, depois confira com a Eqora o passo que gerou a dúvida.
A tarefa apresenta 7, 11, 15, … e pede o décimo segundo termo. Você percebe corretamente que os valores aumentam de quatro em quatro e escreve 7 + 12 × 4 = 55. A conta está certa, mas você avançou uma posição além da pedida. O primeiro termo já existe antes de qualquer salto. Para chegar à posição doze, são necessárias onze mudanças, não doze. Contar os termos e contar os intervalos entre eles são coisas diferentes.
Vamos construir o termo geral da progressão aritmética a partir dessa diferença, trabalhar com razões positivas e negativas e distinguir valor, posição e soma. Os exemplos começam no índice um, exceto quando isso for explicitamente alterado. Primeiro resolveremos o problema no papel. Depois, usaremos a Eqora para examinar o passo que causou a dúvida e faremos um exercício diferente por conta própria, sem copiar uma resposta recebida.
A Eqora publica este guia como apoio ao aprendizado, não como substituto do seu trabalho em provas nem como garantia de acertos ou notas. Confira o enunciado, a notação, as hipóteses e o resultado. As fotos do jardim nevado sugerem objetos separados e espaços entre eles. Não são desenhos em escala: nem a quantidade de pedras nem suas distâncias representam os números dos exemplos. A justificativa deve estar no raciocínio que você escreve.
A progressão aritmética mantém a mesma mudança
Uma progressão aritmética, ou PA, apresenta a mesma diferença entre cada termo e seu antecessor. Faça a subtração nessa ordem: 11 − 7 = 4 e 15 − 11 = 4. No Brasil, essa diferença constante é chamada de razão da PA; usaremos a letra r. A seção sobre sequências aritméticas do OpenStax diferencia mudança constante de quociente constante. Somar quatro repetidamente não é o mesmo que multiplicar cada termo por quatro.
Uma lista curta, sozinha, não determina uma única sequência infinita. Existem muitas regras que podem começar com os mesmos números e mudar depois. Aplique o modelo de PA quando o enunciado disser que ela é aritmética, fornecer uma regra de acréscimo constante ou pedir que você adote essa hipótese. Conferir as diferenças visíveis ajuda a encontrar um erro de cópia, mas não prova o comportamento de todos os termos que ainda não foram mostrados.
Doze termos exigem onze mudanças
Comece na posição um. Para alcançar a dois, some r uma vez; para a três, duas vezes; para a quatro, três vezes. O número de mudanças é sempre uma unidade menor que a posição de chegada. Assim, aₙ = a₁ + (n − 1)r, com n inteiro positivo. Os parênteses indicam que toda a quantidade n − 1 multiplica r. Retirá-los pode alterar a ordem das operações e deixar de representar a contagem dos intervalos.
No exemplo, a₁₂ = 7 + (12 − 1) × 4 = 7 + 44 = 51. Confira valores próximos por outro caminho: a₁₀ = 43, a₁₁ = 47 e a₁₂ = 51. O resultado descartado, 55, é a₁₃. O erro foi uma mudança a mais, não uma multiplicação malfeita. Dar um nome ao erro ajuda você a corrigir o ponto certo, em vez de repetir com mais cuidado uma operação que começou com o índice errado.
Antes de calcular um termo distante, teste n = 1. A fórmula produz 7 + 0 × 4 = 7, exatamente o primeiro valor. Já a expressão incorreta 7 + 4n dá onze na primeira posição. A fórmula correta também pode ser simplificada para aₙ = 4n + 3; substituindo um, ela continua dando sete. Expressões com aparências diferentes podem representar a mesma PA se mantiverem o início e a mudança de quatro entre posições consecutivas.
Razões negativas e nulas também funcionam
Considere 24, 21, 18, … com a₁ = 24. A subtração ordenada é 21 − 24 = −3, portanto r = −3. O nono termo vale a₉ = 24 + (9 − 1)(−3) = 24 − 24 = 0. Oito mudanças para baixo levam da primeira posição à nona. Uma PA decrescente não precisa de outra fórmula. Ela precisa do sinal negativo correto e de parênteses que preservem esse sinal ao multiplicar.
Em alguns contextos, especialmente na computação, os índices começam em zero. Se o valor inicial recebe o nome a₀, a expressão adequada é aₙ = a₀ + nr: existem n mudanças de zero até n. Isso não contradiz a fórmula anterior, pois mudou a posição inicial usada como referência. Leia a definição da tarefa em vez de importar uma convenção de outro exercício. Se a progressão for finita, confira também se a posição pedida existe.
Use os índices para contar intervalos distantes
Suponha que uma PA tenha a₄ = 19 e a₁₀ = 43. A mudança total é 43 − 19 = 24, distribuída por 10 − 4 = 6 intervalos. Logo, r = 24/6 = 4. Dividir por dois porque foram impressos dois valores contaria dados, não mudanças. Dividir por dez começaria o percurso em uma posição errada. A diferença entre os índices identifica quantas mudanças iguais realmente separam os termos conhecidos.
Recupere o primeiro termo a partir do quarto: a₁ = 19 − (4 − 1) × 4 = 7. Confira o outro dado: 7 + (10 − 1) × 4 = 43. Os dois valores fornecidos precisam se ajustar à PA reconstruída. Se isso não acontecer, verifique a subtração dos índices, a ordem da subtração dos valores e os números copiados. Uma razão fracionária também é válida; não arredonde só para obter termos inteiros que pareçam mais familiares.
Uma descrição recursiva seria a₁ = 7 e aₙ = aₙ₋₁ + 4 para n ≥ 2. Ela descreve uma mudança por vez; o termo geral permite ir diretamente a uma posição. As duas descrições precisam do valor inicial. Nosso guia para explicar soluções com suas palavras ajuda a transformar símbolos em justificativa: seis intervalos, cada um com aumento de quatro, produzem vinte e quatro unidades de mudança, independentemente da quantidade de termos impressos no enunciado.
O valor só aparece se o índice for permitido
Para descobrir se 51 aparece em 7, 11, 15, …, resolva 51 = 7 + (n − 1)4. Subtraindo sete, vem 44 = 4(n − 1); dividindo por quatro, onze = n − 1; somando um, n = 12. Esse inteiro positivo é uma posição válida na PA infinita. Substitua o índice na fórmula original para verificar o valor. Uma equação reorganizada não elimina a necessidade de conferir a resposta com o problema que você recebeu.
Para 52, o mesmo processo resulta em n = 12,25. Isso resolve a equação linear no conjunto dos reais, mas não representa uma posição dessa progressão. Não existe um quarto de posição entre a décima segunda e a décima terceira. Se o problema limitar a lista aos primeiros dez termos, até n = 12 estará fora do intervalo permitido. A restrição do índice faz parte da resposta, não é um detalhe opcional depois da conta.
Quando r não é zero, uma forma conveniente é n = 1 + (valor − a₁)/r. Quando r = 0, não divida por zero: compare o valor procurado com o termo constante. Se forem iguais, qualquer posição permitida serve; caso contrário, o valor não aparece. Nosso guia de verificação independente desenvolve o mesmo hábito de conferir condições e valores admissíveis. Uma conta algébrica correta ainda pode não responder à pergunta quando ignora o domínio dos índices.
O último termo não é a soma dos termos
O décimo segundo termo é 51, mas somar os primeiros doze termos produz outra quantidade. Escreva S₁₂ para indicar 7 + 11 + … + 51. Forme pares entre o começo e o fim: 7 + 51 = 58. O segundo e o penúltimo também somam 58, porque um aumenta quatro enquanto o outro diminui quatro. São seis pares, então a soma é 6 × 58 = 348. Não confunda esse total com o valor de um único termo.
Em geral, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 para uma PA. A expressão calcula a média dos extremos e multiplica essa média pelo número de termos. Aqui, 12(7 + 51)/2 = 348. Essa fórmula conta n termos, enquanto o termo geral usa n − 1 mudanças. Não leve a quantidade de intervalos para a fórmula da soma. São contagens com funções diferentes, embora se refiram à mesma progressão e compartilhem alguns símbolos.
Antes de escolher a operação, leia se a tarefa pede um valor, uma posição ou um total. Em um modelo de depósitos mensais, o depósito de certo mês e a soma de vários depósitos não são a mesma coisa. Nosso modelo aritmético simples não inclui juros nem tarifas reais. Mantenha a interpretação ao lado do cálculo: um número correto associado à quantidade errada continua sendo uma resposta inadequada para aquela pergunta específica.
Use a Eqora para investigar o salto extra
Tente primeiro resolver no papel e marque a linha que não consegue justificar, como 7 + 12 × 4. Se usar a Eqora, capture o enunciado completo e legível, incluindo o índice solicitado e a informação de que se trata de uma PA. Evite reflexos, índices cortados e outras tarefas misturadas na foto. Nosso guia de fotos de problemas matemáticos explica como manter a notação legível. A imagem deste trecho usa um caderno em branco para ilustrar o enquadramento, não uma tarefa enviada.
Compare a questão capturada ou digitada com o original antes de avaliar a explicação. Diferencie a₁ de a₀, doze de dois e sinal de menos de traço. Depois confira os passos: identifique o termo inicial, verifique a subtração que determina r e teste a expressão em n = 1. Receber o número 51 não basta. Você precisa entender por que são onze mudanças e se o raciocínio respeita as hipóteses deste exercício.
Faça uma pergunta específica: por que chegar ao décimo segundo termo exige onze adições? Mostre a conferência na primeira posição sem resolver meu próximo exercício. Se a explicação mudar os dados ou ignorar os índices, volte ao enunciado e examine a divergência. A Eqora pode apoiar essa revisão, mas você deve julgar o raciocínio. Respeite as regras do curso sobre ajuda permitida e mantenha seu próprio trabalho nas avaliações em que isso for exigido.
Explique a mudança e pratique com outros números
Antes de continuar, explique em voz alta: o primeiro valor já ocupa uma posição, então doze posições exigem onze transições. Aponte o índice inicial nas suas anotações. Você deve conseguir rejeitar a fórmula com uma mudança extra substituindo n = 1, sem consultar um gabarito. Se ainda não consegue explicar esse passo, pergunte sobre essa dificuldade específica em vez de solicitar mais uma resolução inteira para decorar sem entender a contagem.
Deixe a resposta de lado e tente 5, 8, 11, …, uma PA que começa no índice um. Encontre o décimo quinto termo, decida se cinquenta aparece e some os primeiros quinze termos. Monte as três contas antes de ler a conferência. Aqui, r = 3, então a₁₅ = 5 + 14 × 3 = 47. Resolvendo 50 = 5 + (n − 1)3, você encontra n = 16, uma posição permitida na progressão infinita.
A soma é S₁₅ = 15(5 + 47)/2 = 390. Confira a média: o termo central, o oitavo, vale 26, a média dessa lista simétrica. Associe cada resultado à pergunta correta. Se encontrou cinquenta para o décimo quinto termo, contou uma mudança a mais. Corrija a contagem e tente outro exemplo com início ou razão escolhidos por você.
Leve a conferência para a próxima tarefa
Anote a correção: doze posições exigem onze mudanças porque o início já ocupa a posição um. Acrescente a fórmula e uma substituição que confira o início. Na próxima folha, leia novamente o modelo e os índices. Trabalhe no papel e use ajuda para examinar uma dúvida concreta, não para substituir a sua tentativa.
