Álgebra · Guía de Eqora
Tarea de sucesiones aritméticas: contar los saltos
Calcula un término sin avanzar una posición de más. Distingue diferencias, posiciones y sumas, y revisa con Eqora el paso que te cuesta explicar.
La tarea presenta 7, 11, 15, … y pide el duodécimo término. Reconoces que cada valor aumenta cuatro unidades y escribes 7 + 12 × 4 = 55. Las operaciones están bien hechas, pero has avanzado una posición de más. El primer término ya está colocado antes de dar ningún salto. Para llegar a la posición doce necesitas once cambios, no doce. Contar términos y contar saltos entre términos son dos acciones distintas.
En estas sucesiones aritméticas construiremos la fórmula a partir de esa diferencia. Veremos ejemplos crecientes y decrecientes, cómo recuperar la diferencia con términos separados y cómo distinguir un valor, su posición y una suma. Supondremos índices que empiezan en uno, salvo indicación contraria. Primero resolveremos en papel; después usaremos Eqora para revisar el paso dudoso y comprobaremos la comprensión con un ejercicio diferente, sin copiar una respuesta.
Eqora publica esta explicación como ayuda para aprender, no como sustituto de tu trabajo en un examen ni como garantía de aciertos o notas. Comprueba el enunciado, la notación, las hipótesis y el resultado. Las fotografías del jardín nevado sugieren objetos separados y espacios entre ellos. No son diagramas a escala: ni la cantidad de piedras ni sus distancias representan los valores de los ejemplos. La justificación está en tu cálculo escrito.
Las sucesiones aritméticas mantienen una diferencia
Una sucesión aritmética mantiene la misma diferencia entre cada término y el anterior. Resta en ese orden: 11 − 7 = 4 y 15 − 11 = 4. Llamaremos d a esa diferencia, con su signo. El material de sucesiones de la UNAM distingue el lugar que ocupa un elemento del valor que tiene y muestra cómo expresar una regla mediante n. Sumar cuatro repetidamente no equivale a multiplicar cada término por cuatro.
Una lista corta no determina por sí sola una única sucesión infinita. Hay muchas reglas que podrían producir los mismos primeros números y cambiar después. Usa el modelo aritmético cuando el enunciado lo indique, dé una regla de incremento constante o pida trabajar bajo esa hipótesis. Revisar las diferencias visibles permite detectar una cifra mal copiada, pero no demuestra cómo se comportan todos los términos futuros si no conocemos la regla.
Doce posiciones requieren once saltos
Empieza en la posición uno. Para alcanzar la dos sumas d una vez; para alcanzar la tres lo sumas dos veces; para la cuatro, tres veces. El número de cambios es siempre uno menos que la posición de destino. Así obtenemos aₙ = a₁ + (n − 1)d, con n entero positivo. Los paréntesis indican que toda la cantidad n − 1 multiplica d. Quitarlos puede cambiar el orden de las operaciones y el significado.
En nuestro ejemplo, a₁₂ = 7 + (12 − 1) × 4 = 7 + 44 = 51. Comprueba los valores cercanos sin repetir exactamente el mismo procedimiento: a₁₀ = 43, a₁₁ = 47 y a₁₂ = 51. El resultado descartado, 55, corresponde a a₁₃. El problema era un salto extra, no una multiplicación incorrecta. Nombrar el error te permite corregir el planteamiento en vez de volver a calcular cuidadosamente una expresión equivocada.
Antes de buscar un término lejano, sustituye n = 1. La fórmula da 7 + 0 × 4 = 7, el valor inicial correcto. La expresión errónea 7 + 4n daría once en la primera posición. También puedes simplificar la fórmula correcta a aₙ = 4n + 3: al sustituir uno sigue dando siete. Dos expresiones distintas a simple vista pueden describir la misma sucesión si conservan el inicio y el cambio entre posiciones consecutivas.
La diferencia puede ser negativa o cero
Considera 24, 21, 18, … con a₁ = 24. La resta ordenada es 21 − 24 = −3, por lo que d = −3. El noveno término es a₉ = 24 + (9 − 1)(−3) = 24 − 24 = 0. Ocho cambios descendentes te llevan de la primera posición a la novena. No necesitas otra fórmula para una sucesión decreciente: necesitas conservar el signo negativo y agruparlo correctamente al multiplicar.
En otros contextos, especialmente informáticos, los índices empiezan en cero. Si el dato inicial se llama a₀, la expresión apropiada es aₙ = a₀ + nd: desde cero hasta n hay n cambios. No contradice la fórmula anterior, porque ha cambiado la etiqueta inicial. Lee la definición de cada tarea en lugar de importar una convención de otro ejemplo. Si la sucesión es finita, comprueba además que existe la posición que te piden calcular.
Entre dos términos separados cuenta los intervalos
Supón que una sucesión aritmética tiene a₄ = 19 y a₁₀ = 43. El cambio total es 43 − 19 = 24 y ocurre en 10 − 4 = 6 saltos. Por tanto, d = 24/6 = 4. Dividir entre dos porque aparecen dos datos contaría información, no intervalos. Dividir entre diez empezaría el recorrido en una posición equivocada. La resta de los índices identifica cuántos cambios iguales separan realmente los valores conocidos.
Recupera el primer término desde el cuarto: a₁ = 19 − (4 − 1) × 4 = 7. Comprueba el otro dato: 7 + (10 − 1) × 4 = 43. Los dos extremos deben ajustarse a la sucesión reconstruida. Si no coinciden, revisa la resta de posiciones, el orden de la resta de valores y las cifras copiadas. Una diferencia fraccionaria también es válida; no la redondees solo para obtener términos enteros más cómodos.
Una descripción recursiva diría a₁ = 7 y aₙ = aₙ₋₁ + 4 para n ≥ 2. Describe un salto cada vez, mientras la fórmula explícita permite ir directamente a una posición. Ambas necesitan el valor inicial. Nuestra guía para explicar soluciones con tus palabras ayuda a traducir símbolos a una razón: seis intervalos con un aumento de cuatro producen veinticuatro unidades de cambio, independientemente de cuántos términos se imprimieron en la tarea.
Comprueba si la posición obtenida está permitida
Para saber si 51 aparece en 7, 11, 15, …, resuelve 51 = 7 + (n − 1)4. Al restar siete obtienes 44 = 4(n − 1); al dividir entre cuatro, once = n − 1; finalmente n = 12. Es un entero positivo y una posición válida de la sucesión infinita. Sustituye ese índice en la expresión original para verificar el valor. El despeje no debe reemplazar la comprobación del enunciado.
Con 52, el mismo procedimiento produce n = 12,25. Es una solución de la ecuación lineal si admitimos números reales, pero no una posición de esta sucesión. No existe un cuarto de posición entre la doce y la trece. Si la tarea restringe la lista a los primeros diez términos, incluso n = 12 queda fuera. La restricción sobre los índices forma parte de la respuesta, no es un comentario opcional al final.
Si d no es cero, puedes usar el despeje n = 1 + (valor − a₁)/d. Si d = 0, no dividas entre cero: compara el valor propuesto con el término repetido. Si son iguales, sirve cualquier posición permitida; si son distintos, no aparece. Nuestra guía de comprobación autónoma desarrolla la misma idea: una operación algebraica puede estar bien hecha y aun así no responder al problema si ignora sus condiciones o sus valores admisibles.
El último término no es la suma
El duodécimo término vale 51, pero la suma de los primeros doce términos es otra cantidad. Escribe S₁₂ para representar 7 + 11 + … + 51. Empareja el primero y el último: 7 + 51 = 58. El segundo y el penúltimo también suman 58, porque uno aumenta cuatro y el otro disminuye cuatro. Hay seis parejas, de modo que la suma total es 6 × 58 = 348, no 51.
En general, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 para una sucesión aritmética. Calcula el promedio de los extremos y lo multiplica por el número de términos. Aquí, 12(7 + 51)/2 = 348. Esta expresión cuenta n términos; la fórmula de aₙ cuenta n − 1 cambios. No traslades el número de saltos a la fórmula de la suma. Son dos conteos con objetivos distintos aunque se refieran a los mismos valores ordenados.
Antes de operar, decide si el enunciado pide un valor, una posición o un total. En un modelo de ahorro, el depósito de un mes y la suma de varios depósitos no son intercambiables. Nuestro modelo simple tampoco incluye intereses ni comisiones reales. Mantén esa interpretación junto al cálculo: un número correcto para una cantidad diferente sigue siendo una respuesta incorrecta a la pregunta concreta que debías resolver en tu tarea.
Revisa con Eqora el salto que sobra
Intenta primero el ejercicio y marca la línea que no sabes justificar, por ejemplo 7 + 12 × 4. Si utilizas Eqora, captura el enunciado completo y legible, con el índice solicitado y la indicación de que la sucesión es aritmética. Evita reflejos, subíndices cortados y ejercicios ajenos en la misma imagen. Nuestra guía de fotos de problemas matemáticos explica cómo preservar la notación. La foto de este apartado ilustra el encuadre con un cuaderno en blanco, no una tarea real enviada.
Compara el problema capturado o introducido con el original antes de valorar una explicación. Distingue a₁ de a₀, doce de dos y un signo menos de un guion. Después examina los pasos: identifica el inicio, comprueba la resta que produce d y prueba la fórmula en n = 1. Ver una respuesta de 51 no basta. Debes entender los once cambios y verificar que la explicación respeta las condiciones de este ejercicio.
Formula una pregunta concreta: ¿Por qué llegar al duodécimo término exige once sumas? Muéstrame la comprobación en la primera posición sin resolver mi siguiente ejercicio. Si la explicación cambia los datos o elude los índices, vuelve al enunciado y localiza esa discrepancia. Eqora puede apoyar la revisión, pero debes evaluar el razonamiento. Respeta las normas de tu curso sobre ayuda permitida y realiza por tu cuenta el trabajo de evaluación que así lo exija.
Explica el paso y prueba otros números
Antes de continuar, expresa la distinción en voz alta: el primer valor ya ocupa una posición, por lo que doce posiciones requieren once transiciones. Señala el índice inicial en tus apuntes. Deberías poder rechazar la fórmula con un salto extra sustituyendo n = 1, sin consultar una solución oficial. Si todavía no puedes explicar ese paso, pregunta por esa dificultad específica en vez de pedir otra resolución completa para memorizarla sin comprenderla.
Aparta la respuesta y trabaja ahora con 5, 8, 11, …, una sucesión aritmética cuyo primer índice es uno. Calcula el término quince, decide si aparece cincuenta y suma los primeros quince términos. Plantea las tres operaciones antes de leer la comprobación. Aquí d = 3, por lo que a₁₅ = 5 + 14 × 3 = 47. Al resolver 50 = 5 + (n − 1)3 obtienes n = 16, una posición válida en la sucesión infinita.
La suma es S₁₅ = 15(5 + 47)/2 = 390. Puedes comprobar el promedio de otra manera: el término central, el octavo, vale 26, y los quince términos de esta lista simétrica tienen ese promedio. Relaciona cada resultado con su pregunta exacta. Si obtuviste cincuenta para el término quince, probablemente diste otro salto de más. Corrige el conteo, explica por qué y termina probando un ejemplo con inicio o diferencia elegidos por ti.
Conserva la comprobación al cambiar de tarea
Anota la corrección: doce posiciones necesitan once cambios porque el inicio ya ocupa la posición uno. Añade la fórmula y una sustitución que compruebe ese inicio. En la próxima hoja lee de nuevo el modelo y los índices. Trabaja en papel y usa ayuda para examinar una duda concreta, no para sustituir tu intento.
