Zahlen und Messen · Ratgeber von Eqora
Absoluter und relativer Fehler: Der Bezugswert zählt
Dieselbe Abweichung kann unterschiedlich groß wirken. Unterscheide Betrag, Vorzeichen, Bezugswert und Rundungsgrenze, bevor du Prozent angibst.
Eine Abweichung von 0,6 kann klein oder groß sein. Ohne Einheit und Bezugswert lässt sich das kaum beurteilen. Absoluter und relativer Fehler beantworten unterschiedliche Fragen: Wie weit liegt eine Näherung von einem festgelegten Referenzwert entfernt, und welchen Anteil macht dieser Abstand am Betrag des Referenzwerts aus? Ob das Ergebnis für eine Aufgabe ausreicht, folgt aus keiner der beiden Formeln allein. Dafür brauchst du zusätzlich die geforderte Genauigkeit und die Bedingungen der Aufgabe.
Wir vergleichen zunächst eine angenäherte Länge von 23,4 cm mit dem Referenzwert 24 cm. Anschließend verändern wir Größenordnung, Einheit und Bezugswert. Alle Zahlen sind konstruierte Lernbeispiele, keine tatsächlichen Messdaten aus einem Labor. Du kannst den gesamten Rechenweg mit Papier und Stift nachvollziehen. Prüfe Aufgabenstellung, Schreibweise, Annahmen und Ergebnis selbstständig. Eqora veröffentlicht diesen Lerntext; eine App ersetzt weder die eigene Prüfungsleistung noch die mathematische Kontrolle und garantiert keine richtigen Antworten oder bestimmten Noten.
Absoluter und relativer Fehler brauchen einen Bezugswert
Bezeichne den Referenzwert mit r und die Näherung mit a. Im ersten Beispiel gilt r = 24 cm und a = 23,4 cm. Die vorzeichenbehaftete Abweichung a − r beträgt −0,6 cm: Die Näherung liegt unter dem Referenzwert. Wir nennen E = |a − r| den absoluten Fehlerbetrag und erhalten E = 0,6 cm. Der Betrag entfernt die Richtung, aber nicht die Einheit. Eine um 0,6 cm zu große Näherung hätte denselben Fehlerbetrag und lediglich ein anderes Vorzeichen der Abweichung.
Die Bezeichnungen sind nicht überall einheitlich. Manche messtechnischen Texte nennen bereits die vorzeichenbehaftete Differenz absoluten Fehler; in der numerischen Mathematik wird häufig deren Betrag verwendet. Lege deshalb deine Konvention ausdrücklich fest. Die Fehlerdarstellung im GEOWiki der LMU unterscheidet die direkte Abweichung in der Einheit der Größe von der auf einen Bezugswert bezogenen Angabe. Hier verwenden wir für die Größenangabe den nichtnegativen Betrag. Verlangt die Aufgabe ausdrücklich eine Abweichung mit Vorzeichen, gib diese zusätzlich und entsprechend beschriftet an, statt beide Angaben unbemerkt zu vermischen.
Erst das Verhältnis bilden, dann in Prozent umrechnen
Für r ≠ 0 ist e = E/|r| der relative Fehlerbetrag. Hier ergibt sich e = 0,6/24 = 0,025. Zentimeter stehen sowohl im Zähler als auch im Nenner und kürzen sich heraus. Das Verhältnis ist daher einheitenlos. Als Prozentangabe entspricht es 2,5 %, denn zur Umrechnung wird mit 100 multipliziert. Die Dezimalzahl 0,025 und die Angabe 2,5 % beschreiben denselben Anteil. Dagegen wäre 0,025 % hundertmal kleiner und damit für dieses Beispiel falsch.
Im Nenner steht der Referenzwert 24 und nicht die Näherung 23,4. Mit 23,4 ergäbe sich ungefähr 2,564 %, also eine andere Bezugsgröße. Übernimm den in der Aufgabe festgelegten Nenner unverändert. Werden zwei Versuchsergebnisse ohne festgelegte Referenz verglichen, musst du zuerst die gewünschte Vergleichsdefinition klären. Eine symmetrische prozentuale Differenz kann beispielsweise einen anderen Nenner besitzen. Tausche solche Definitionen nicht allein deshalb aus, weil beide am Ende ein Prozentzeichen verwenden. Schreibe die Bedeutung des Quotienten möglichst vor dem Einsetzen der Zahlen auf.
Gleicher Abstand bedeutet nicht gleicher relativer Fehler
Vergleiche nun 239,4 cm mit dem Referenzwert 240 cm. Der absolute Fehlerbetrag beträgt wieder 0,6 cm. Relativ erhalten wir jedoch 0,6/240 = 0,0025, also 0,25 %. Derselbe Abstand macht nur noch ein Zehntel des vorherigen Anteils aus. Die physische Abweichung ist dadurch nicht verschwunden: Beide angenäherten Längen sind um 0,6 cm zu kurz. Verändert wurde ausschließlich die Größenordnung des Referenzwerts, auf die wir diesen Abstand beziehen. Genau deshalb können zwei gleiche absolute Fehler unterschiedlich beurteilt werden.
Umgekehrt können gleiche relative Fehler verschiedene absolute Beträge bedeuten. Ein relativer Fehler von 2,5 % bei 240 cm entspricht 0,025 × 240 = 6 cm. Sowohl 234 cm als auch 246 cm liegen um diesen Betrag von der Referenz entfernt. Die Betragsangabe allein verrät nicht, welche Richtung gemeint ist. Prüfe beim Vergleichen zweier Ergebnisse, ob eine feste Längentoleranz, ein proportionaler Anteil oder beides entscheidend ist. Das passende Kriterium folgt aus der Aufgabe; die scheinbar kleinere Zahl ist für sich genommen noch keine Begründung.
Einheitenwechsel und Referenzwechsel auseinanderhalten
In Millimetern lautet das erste Beispiel r = 240 mm, a = 234 mm und E = 6 mm. Der Zahlenwert des absoluten Fehlers verzehnfacht sich, weil ein Zentimeter zehn Millimeter umfasst. Das Verhältnis bleibt dagegen e = 6/240 = 0,025. Diese Unveränderlichkeit ist eine nützliche Gegenprobe. Bei einer gemeinsamen multiplikativen Umrechnung werden Zähler und Nenner mit demselben Faktor verändert, der sich anschließend herauskürzt. Nur einen der beiden Ausgangswerte umzurechnen würde dagegen Werte mit verschiedenen Einheiten in dieselbe Differenz oder denselben Quotienten einsetzen.
Der Ratgeber zum Umrechnen von Einheiten unterscheidet Faktoren für Länge, Fläche und Volumen. Übertrage diese Sorgfalt auf beide Vergleichswerte, bevor du subtrahierst. Der absolute Fehler erhält anschließend die passende Einheit. Die Aussage zum unveränderten relativen Fehler gilt hier für die Multiplikation mit einem gemeinsamen von null verschiedenen Skalierungsfaktor. Sie erlaubt keine beliebige Verschiebung des numerischen Nullpunkts. Bei einer Umrechnung mit zusätzlichem Summanden kann sich der Bezugsquotient verändern. Prozentuale Vergleiche hängen daher auch davon ab, was der Nullpunkt der betrachteten Größe bedeutet.
Negative Referenzen und null ausdrücklich behandeln
Ein negativer Referenzwert verlangt keinen negativen Fehlerbetrag. Für r = −8 und a = −7,8 ist die vorzeichenbehaftete Differenz +0,2. Daraus folgen E = 0,2 und e = 0,2/8 = 0,025, also 2,5 %. Das Pluszeichen der Differenz zeigt, dass die Näherung oberhalb der Referenz liegt. Der positive Quotient beschreibt nur die Größe des Abstands relativ zu |r|. Ohne Betragszeichen im Nenner würdest du Richtungsinformation und Größenmaß vermischen. Gerade bei negativen Zahlen lohnt sich diese getrennte Beschriftung, bevor du eine Prozentangabe formulierst.
Bei r = 0 ist die relative Formel nicht definiert, weil sie durch null teilen würde. Für a = 0,001 beträgt der absolute Fehler 0,001; ein relatives Prozentmaß nach dieser Definition gibt es nicht. Ersetze das Ergebnis weder durch null Prozent noch durch einen erfundenen endlichen Wert oder eine angeblich berechnete Unendlichkeit. Auch nahe null können große Verhältnisse entstehen: r = 0,002 und a = 0,003 ergeben E = 0,001, aber e = 0,5 beziehungsweise 50 %. Nenne dann zusätzlich den absoluten Maßstab, damit die Prozentzahl nicht ohne Zusammenhang stehen bleibt.
Tatsächlichen Fehler von einer Rundungsgrenze unterscheiden
Ein tatsächlicher Fehler lässt sich nur gegenüber einer angegebenen Referenz berechnen. Für den exakten Bruch 1/3 und die Näherung 0,33 gilt E = 1/3 − 33/100 = 1/300. Teilen durch 1/3 liefert e = 1/100 = 0,01, also exakt 1 %. Die Näherung liegt unterhalb des Referenzwerts; der Fehlerbetrag bleibt dennoch nichtnegativ. Rechne möglichst bis zum Schluss mit Brüchen. Sonst ersetzt du die genaue Referenz möglicherweise schon durch eine neue Näherung, bevor der eigentliche Vergleich abgeschlossen ist.
Eine Rundungsgrenze beantwortet eine andere Frage. Beim Runden auf den nächstgelegenen Hundertstelwert verändert sich eine Zahl um höchstens 0,005. Das ist eine obere Schranke, nicht der tatsächliche Fehler jedes gerundeten Werts. Beispielsweise wird 12,346 zu 12,35 gerundet; die tatsächliche Abweichung beträgt hier 0,004. Unterschiedliche Regeln für genau mittig liegende Werte ändern die Zuordnung eines Randpunkts, nicht diese Höchstens-Schranke. Bloßes Abschneiden ist wiederum ein anderes Verfahren und braucht eine eigene Betrachtung. Benenne deshalb immer das verwendete Rundungsverfahren und die betroffene Dezimalstelle, bevor du eine Grenze angibst.
Unbekannte Fehler nicht durch scheinbare Gewissheit ersetzen
Bei echten Messungen ist der wahre Wert häufig nicht exakt bekannt. Auch ein akzeptierter Referenzwert kann selbst unsicher sein. Die Differenz zweier angezeigter Zahlen ist dann eine Abweichung gegenüber dieser Referenz und kein Beweis für den unbekannten wahren Messfehler. Wiederholte ähnliche Ergebnisse zeigen ebenfalls nicht automatisch, dass ihr gemeinsamer Wert richtig ist: Eine systematische Verschiebung könnte bestehen bleiben. Sage, wofür die Referenz steht und welche Informationen tatsächlich gegeben sind, bevor du aus der berechneten Differenz eine allgemeine Genauigkeitsaussage ableitest.
Ein Bereich möglicher Werte ist außerdem etwas anderes als ein einziger bekannter Fehler. Weißt du nur, dass auf Hundertstel gerundet 12,35 herauskam, kannst du den von der Rundungsregel beschriebenen Wertebereich untersuchen. Den ursprünglichen Wert 12,346 kannst du daraus nicht eindeutig zurückgewinnen. Der Ratgeber zur selbstständigen Antwortkontrolle empfiehlt, die Aussagekraft der Angaben zu prüfen. Hier bedeutet das: Unterscheide eine Gleichheit von einer Schranke oder Schätzung. Mehr angezeigte Dezimalstellen ersetzen keine zusätzliche Information. Formuliere den Schlusssatz so, dass er genau die Art von Aussage enthält, die deine Daten erlauben.
Eine Toleranz in einen prüfbaren Bereich übersetzen
Eine Aufgabe erlaube höchstens 1 % relativen Fehler gegenüber der positiven Referenz 80. Dann gilt E/80 ≤ 0,01 und somit E ≤ 0,8. Zulässige Näherungen liegen also im Intervall [79,2; 80,8]. Beide Randwerte erfüllen die Bedingung „höchstens“. Bei „weniger als 1 %“ gehören sie dagegen nicht dazu. Für a = 80,9 erhalten wir E = 0,9 und e = 0,01125 beziehungsweise 1,125 %. Dieser Wert verfehlt beide Varianten der Ein-Prozent-Anforderung, obwohl die Zahl optisch noch recht nahe bei 80 liegt.
Setze zur unabhängigen Kontrolle beide Randwerte wieder in |a − 80|/80 ein. Beachte, dass eine berechnete Prozentzahl noch keine zulässige Toleranz festlegt: Die Anforderung muss aus der Aufgabe stammen. Behalte beim Rechnen genügend Stellen bis nach dem Grenzvergleich. Ein zu grobes Runden von 1,125 % könnte sonst verdecken, dass eine Grenze überschritten wird. Beruht ein vermeintlich exakter Randfall auf bereits gerundeten Eingangsdaten, nenne diese Voraussetzung. Eine eindeutige Entscheidung mit mehr Nachkommastellen ist nicht gerechtfertigt, wenn die Ausgangswerte selbst die erforderliche Genauigkeit nicht hergeben.
Mit neuen Zahlen üben und die Rechnung umkehren
Vergleiche selbstständig 49,75 cm mit der Referenz 50 cm. Die vorzeichenbehaftete Differenz ist −0,25 cm, der absolute Fehlerbetrag E = 0,25 cm. Relativ ergibt sich e = 0,25/50 = 0,005, also 0,5 %. In Millimetern stehen 497,5 mm und 500 mm einander gegenüber; E beträgt 2,5 mm und der Quotient bleibt 0,005. Kehre nun die Frage um: Welche Näherungen haben gegenüber 50 cm genau 0,5 % Fehler? Die Antworten sind 49,75 cm und 50,25 cm. Erkläre selbst, weshalb eine Betragsbedingung zwei Möglichkeiten liefert.
Zum Schluss betrachten wir eine kleine Differenz. Die exakten Werte 12,01 und 12,00 unterscheiden sich um 0,01. Werden beide zuerst auf eine Nachkommastelle gerundet, ergibt die angezeigte Subtraktion 0,0. Bezogen auf die genaue Differenz 0,01 hat das Ergebnis absoluten Fehler 0,01 und relativen Fehler 100 %. Kleine Änderungen der Eingaben können sich also relativ stark auf eine kleine Differenz auswirken. Schreibe beim nächsten Beispiel Referenz, vorzeichenbehaftete Differenz, Betrag, Verhältnis, Prozentangabe und Annahmen getrennt auf. So bleibt nachvollziehbar, welche Frage jede Zahl beantwortet und welche Information sie gerade nicht enthält.
