Statistik · Ratgeber von Eqora
Histogramm: ungleiche Klassenbreiten richtig lesen
Berechne die passende Dichte, gewinne Häufigkeiten aus Flächen zurück und erkenne die Grenzen von Schätzungen innerhalb einer Klasse.
Im Histogramm müssen ungleiche Klassenbreiten berücksichtigt werden. Ein breites Rechteck kann mehr Beobachtungen enthalten, ohne höher als ein schmales zu sein. Zeichnest du echte Klassenbreiten und verwendest zugleich die absoluten Häufigkeiten als Höhen, erhalten breite Klassen einen zusätzlichen optischen Vorteil. Die Korrektur folgt aus der Rechtecksfläche: Teile die Häufigkeit durch die Breite, damit Breite mal Höhe wieder die Häufigkeit ergibt. Nur die Höhe zu vergleichen beantwortet eine andere Frage als der Vergleich der gesamten Klassenbesetzung.
Wir verwenden ein erfundenes Lehrbeispiel mit 100 Bearbeitungszeiten in Minuten. Daraus berechnen wir sowohl absolute als auch relative Häufigkeitsdichten. Es handelt sich nicht um eine Untersuchung von Eqora-Nutzern oder eine Leistungsbehauptung über die App. Die Fotos unterschiedlich breiter Saatgutschalen sind anschauliche Analogien, keine zahlengetreuen Histogramme oder Belege für unsere Daten. Alle Rechnungen lassen sich eigenständig auf Papier lösen. Behalte Achsenbeschriftungen, Einheiten, Klassengrenzen und Gesamtumfang im Blick, bevor du die Bedeutung eines Rechtecks beurteilst.
Ungleiche Klassenbreiten verlangen die passende Dichte
Ein Histogramm fasst die Werte eines numerischen Merkmals zu Intervallen zusammen. Lage und Breite auf der waagerechten Achse entsprechen diesen Intervallen; benachbarte Klassen schließen aneinander an. Anders als bei einem Säulendiagramm für Kategorien trägt die Breite hier eine zahlenmäßige Bedeutung. Bei unterschiedlichen Breiten muss die Fläche die Häufigkeit darstellen. Für die absolute Häufigkeit n und die Klassenbreite w wählen wir deshalb die Höhe d = n/w. Dann gilt w × d = n. Diese Beziehung erklärt die Darstellung unmittelbar durch eine bekannte Flächenformel.
Die HTW-Dresden-Erklärung zur Klassierung behandelt unterschiedliche Klassenbreiten und die Division relativer Häufigkeiten durch diese Breiten. Unser erster Rechengang verwendet dieselbe Flächenidee zunächst für absolute Häufigkeiten. Bei Minuten auf der waagerechten Achse lautet die Einheit dann Beobachtungen pro Minute. Multiplizieren mit einer Breite in Minuten ergibt wieder Beobachtungen. Eine Höhe von 2 über einer Breite von 20 Minuten steht also für 40 Beobachtungen, nicht für zwei im ganzen Intervall. Gerade die Einheiten helfen, einen scheinbaren Widerspruch zwischen Tabelle und Rechteckhöhe aufzulösen.
Die Grenzen müssen jede Beobachtung genau einmal zuordnen
Unsere vier Klassen sind 0 ≤ t < 10, 10 ≤ t < 20, 20 ≤ t < 40 und 40 ≤ t ≤ 60. Ihre absoluten Häufigkeiten lauten 20, 30, 40 und 10. Die ersten drei Intervalle enthalten die linke, aber nicht die rechte Grenze. Das letzte enthält zusätzlich 60, damit der angegebene Wertebereich vollständig abgedeckt ist. Ein Wert von genau 20 gehört somit zur dritten und nicht zugleich zur zweiten Klasse. Andere durchgehend eindeutige Grenzkonventionen sind möglich; entscheidend ist die tatsächlich angegebene Zuordnung.
Die Breiten erhältst du als obere minus untere Grenze: 10, 10, 20 und 20 Minuten. Die Breite ist nicht die Anzahl ganzer Zahlen, die zwischen den Grenzen aufgezählt werden können. Zeiten sind Messwerte und keine bloßen Beschriftungen ganzzahliger Kategorien. Die Häufigkeiten summieren sich zu 100, und die Intervalle überlappen nicht. Enthalten echte Rohdaten Werte außerhalb des gewählten Bereichs, muss die Klassierung angepasst werden. Eine stillschweigende Auslassung wäre keine grafische Vereinfachung, sondern eine Veränderung der Datenbasis, die auch korrekte Dichten nicht reparieren können.
Die Höhen berechnen und die ursprünglichen Häufigkeiten zurückgewinnen
Teile jede Häufigkeit durch ihre eigene Klassenbreite. Es entstehen 20/10 = 2, 30/10 = 3, 40/20 = 2 und 10/20 = 0,5. Zeichne entlang der Zeitachse die wirklichen Intervallbreiten und verwende diese vier Höhen auf der Achse mit der Beschriftung absolute Häufigkeitsdichte in Beobachtungen pro Minute. Das erste und das dritte Rechteck sind gleich hoch, obwohl die dritte Klasse doppelt so viele Werte enthält. Sie ist dafür auch doppelt so breit. Der gesamte Flächeninhalt und nicht nur die Höhe trägt die Anzahl.
Kehre die Rechnung anschließend um: 10 × 2 = 20, 10 × 3 = 30, 20 × 2 = 40 und 20 × 0,5 = 10. Zusammen ergeben die vier Flächen 100, passend zum Stichprobenumfang. Der Leitfaden zum Prüfen ohne Lösungsheft erklärt, weshalb solche Rückrechnungen einen falschen Faktor sichtbar machen. Stimmen die zurückgewonnenen Häufigkeiten nicht, kontrolliere die Breiten und die Division. Vielleicht hast du mit der Breite multipliziert oder für verschieden breite Klassen überall denselben Nenner verwendet. Vier plausibel aussehende Balken allein reichen als Kontrolle nicht aus.
Höchste Dichte und größte Klassenbesetzung unterscheiden
Das höchste Rechteck gehört zur zweiten Klasse von 10 bis unter 20 Minuten: Seine Dichte ist 3. Die größte absolute Häufigkeit besitzt dagegen die dritte Klasse von 20 bis unter 40 Minuten mit 40 Beobachtungen. Beide Aussagen stimmen, weil sie unterschiedliche Größen vergleichen. Die höchste Klasse enthält mehr Beobachtungen je Minute Intervallbreite; die breitere Klasse enthält insgesamt mehr. Fragt die Aufgabe nach der Klasse mit den meisten Stichprobenwerten, vergleiche Flächen oder Tabellenhäufigkeiten und nicht lediglich die Rechteckhöhen.
Der Begriff modale Klasse sollte bei ungleichen Breiten ausdrücklich zur im Kurs verwendeten Dichtekonvention passen. Die höchste Dichte verrät nicht den exakten häufigsten Einzelwert der Bearbeitungszeit. Durch das Zusammenfassen ist die Lage der Werte innerhalb jeder Klasse verloren gegangen. Vierzig Werte über zwanzig Minuten und dreißig Werte über zehn Minuten ergeben unsere Dichten, ohne festzulegen, welche einzelnen Zeiten vorkamen. Sage deshalb genau, ob du die größte Anzahl, die höchste Dichte oder den Modus der Rohdaten meinst. Das Wort häufig kann diese verschiedenen Fragen sonst verdecken.
Auf eine Gesamtfläche von eins normieren
Für ein Histogramm relativer Häufigkeitsdichten teilst du jede bisherige Dichte durch 100. Die Höhen werden 0,02, 0,03, 0,02 und 0,005 pro Minute. Die Flächen lauten dann 10 × 0,02 = 0,20, 10 × 0,03 = 0,30, 20 × 0,02 = 0,40 und 20 × 0,005 = 0,10. Ihre Summe ist eins. Eine vollständige Klassenfläche steht jetzt für den beobachteten Anteil an der Stichprobe. Die dritte Fläche von 0,40 bedeutet 40 Prozent, während zuvor die Fläche 40 die absolute Anzahl angab.
Eine Dichtehöhe ist selbst keine Wahrscheinlichkeit. Sie besitzt die Einheit eins durch Zeit und kann bei einem hinreichend schmalen Intervall auch größer als eins sein. Zwischen null und eins liegen muss die Fläche, die einen Anteil beziehungsweise eine Wahrscheinlichkeit darstellt. Bei unserer absoluten Darstellung beträgt die Gesamtfläche 100, bei der relativen Darstellung eins. Lies die Beschriftung der senkrechten Achse und einen möglichen Skalierungsfaktor, bevor du eine Grafik für falsch normiert hältst. Ohne diese Angaben können identisch geformte Rechtecke verschieden beschriftete Zahlen besitzen.
Eine Teilfläche innerhalb der Klasse benötigt eine Annahme
Aus der gesamten dritten Klassenfläche wissen wir genau, dass 40 unserer konstruierten Werte zwischen 20 und unter 40 Minuten liegen. Wie viele davon zwischen 20 und unter 30 liegen, ist unbekannt. Verwenden wir das flache Rechteck als Näherung einer gleichmäßigen Verteilung innerhalb der Klasse, ergibt die halbe Breite eine geschätzte Anzahl von 10 × 2 = 20. Diese Zahl folgt aus der zusätzlichen Annahme, die Häufigkeit gleichmäßig über das Intervall zu verteilen. Sie ist keine exakte Rekonstruktion der einzelnen Beobachtungen.
Die tatsächliche Anzahl im halben Intervall könnte zwischen null und 40 liegen, ohne die gruppierte Tabelle zu verändern. Alle vierzig Werte könnten unter 30 liegen oder alle ab 30 und unter 40. Für eine genaue Antwort brauchst du Rohdaten oder eine feinere Tabelle mit einer Grenze bei 30. Dieselbe Einschränkung betrifft innerhalb einer Klasse abgelesene Quantile. Das Rechteck stellt die vorhandene Information übersichtlich dar, beweist aber keine Gleichverteilung der Messwerte. Kennzeichne eine solche Flächenschätzung deshalb ausdrücklich als Modellannahme und nicht als neue beobachtete Häufigkeit.
Einheiten umrechnen, ohne die dargestellte Anzahl zu verändern
Wird die Zeitachse von Minuten auf Sekunden umgestellt, multiplizieren sich die Klassenbreiten mit 60. Die absoluten Dichtehöhen müssen sich deshalb durch 60 teilen. Die erste Breite beträgt dann 600 Sekunden und die Höhe 2/60 Beobachtungen pro Sekunde. Ihr Produkt bleibt 20. Für relative Dichten gilt derselbe umgekehrte Faktor. Würdest du die alten Höhenzahlen unverändert lassen und alle Breiten versechzigfachen, würden auch die Flächen um den Faktor 60 wachsen. Das entspräche nicht mehr derselben Häufigkeitsverteilung.
Die Einheitenkontrolle schützt damit die gesamte Darstellung. Minuten mal Beobachtungen pro Minute ergeben Beobachtungen; Sekunden mal Beobachtungen pro Sekunde ebenso. Eine Umrechnung verändert die Zahl der Dichte, nicht die Anzahl oder den Stichprobenanteil. Beim Vergleich zweier Histogramme müssen daher sowohl die waagerechten Einheiten als auch die absolute oder relative Konvention zusammenpassen. Eine höhere Säule in einer anders skalierten Zeitdarstellung bedeutet für sich genommen keine stärkere Konzentration der zugrunde liegenden Daten. Bringe die Angaben zunächst auf dieselbe Bedeutung, bevor du inhaltliche Unterschiede behauptest.
Gruppierung und ursprüngliche Beobachtungen getrennt betrachten
Fassen wir die ersten beiden Klassen zusammen, entsteht das Intervall von 0 bis unter 20 mit Häufigkeit 50 und Breite 20. Seine absolute Dichte beträgt 50/20 = 2,5. Die Fläche bleibt 50, obwohl aus den beiden Höhen 2 und 3 nun eine gemeinsame Höhe geworden ist. Dieses neue Rechteck verdeckt den zuvor sichtbaren Unterschied. Andere Klassengrenzen können somit die Form verändern, ohne eine einzige Beobachtung zu ändern. Nicht jede Spitze einer bestimmten Einteilung ist deshalb schon eine stabile Eigenschaft der Daten.
Mit Klassenmitten lässt sich außerdem ein angenäherter Mittelwert berechnen: 5 × 20 + 15 × 30 + 30 × 40 + 50 × 10 = 2250 und 2250/100 = 22,5 Minuten. Der Leitfaden zu gewichteten Mittelwerten erläutert die Rolle der Häufigkeiten als Gewichte. Hier ersetzt jede Klassenmitte jedoch unbekannte Einzelwerte. Der tatsächliche Stichprobenmittelwert muss deshalb nicht genau 22,5 betragen. Gruppieren erhält die Klassenanzahlen, verliert aber die genaue Lage innerhalb der Intervalle. Diese Einschränkung gehört ebenso zur Grafik wie zu einer daraus gewonnenen Mittelpunktsschätzung.
Eine veränderte Tabelle eigenständig prüfen
Versuche die Klassen 0 ≤ x < 5, 5 ≤ x < 15 und 15 ≤ x ≤ 30 mit Häufigkeiten 10, 20 und 15. Ihre Breiten sind 5, 10 und 15. Die absoluten Dichten ergeben daher 2, 2 und 1. Die ersten beiden Rechtecke sind gleich hoch, besitzen aber die Flächen 10 und 20. Insgesamt erhältst du 45. Nach dem Teilen der Höhen durch 45 ergeben sich relative Dichten mit Klassenflächen 10/45, 20/45 und 15/45, deren Summe eins beträgt.
Erkläre, weshalb die zweite Klasse mehr Beobachtungen enthält, obwohl sie nicht höher ist. Gewinne jede Häufigkeit durch Breite mal Höhe zurück und benenne die Einheit der senkrechten Achse. Eqora veröffentlicht diesen unabhängigen Lernartikel; eine App ist für die Lösung nicht nötig. Wenn du eine Lernhilfe nutzt, überprüfe ursprüngliche Tabelle, Grenzkonventionen, Annahmen und Endsumme selbst. Beachte Prüfungsregeln und betrachte Erklärungen nicht als Garantie für Richtigkeit oder Noten. Eine zuverlässige Deutung sagt, was die Flächen belegen und was innerhalb der Klassen weiterhin unbekannt bleibt.
