Nombres et mesures · Guide Eqora
Erreur absolue et relative : choisir la référence
Un même écart peut représenter des précisions très différentes. Gardez la référence, les unités et les hypothèses d’arrondi dans le raisonnement.
Un écart de 0,6 peut sembler petit ou grand selon la quantité comparée. Sans unité ni référence, ce nombre ne suffit pas pour juger la précision. L’erreur absolue et relative répond à deux questions complémentaires : quelle distance sépare une approximation d’une valeur de référence, et quelle proportion cette distance représente-t-elle par rapport à la référence ? Aucune formule ne décide à elle seule si le résultat convient. Il faut aussi connaître l’exigence de l’exercice.
Nous comparerons une longueur approchée de 23,4 cm à une référence de 24 cm, puis changerons l’échelle, les unités et la référence. Tous les nombres sont des exemples pédagogiques construits, pas des mesures recueillies au laboratoire. Vous pouvez suivre chaque calcul sur papier, sans application. Vérifiez l’énoncé, la notation, les hypothèses et le résultat de manière autonome. Eqora publie ce guide d’apprentissage ; un outil ne remplace pas votre travail d’évaluation et ne garantit ni exactitude ni note.
Erreur absolue et relative : nommer la référence
Notons r la référence et a l’approximation. Dans notre exemple, r = 24 cm et a = 23,4 cm. L’écart signé a − r vaut −0,6 cm : l’approximation est inférieure à la référence. Nous appellerons E = |a − r| l’erreur absolue en valeur positive, d’où E = 0,6 cm. La valeur absolue retire le sens de l’écart, mais conserve son unité. Une approximation supérieure de 0,6 cm aurait donc le même E, avec un écart signé de sens opposé.
Les conventions de vocabulaire peuvent varier. En métrologie, certains textes désignent par erreur absolue une différence algébrique ; en analyse numérique, on utilise souvent sa valeur absolue, ou même une borne qui la majore. Précisez la convention avant de calculer. Ici E est la distance effectivement calculée par rapport à la référence donnée. Si l’exercice demande explicitement un écart signé, gardez aussi son signe et son étiquette. Une borne connue, que nous étudierons ensuite, ne devient pas pour autant l’écart exact de chaque approximation particulière.
Former le rapport avant d’écrire un pourcentage
Pour une référence non nulle, posons e = E/|r|. Le premier exemple donne e = 0,6/24 = 0,025. Les centimètres se simplifient puisque les deux membres du quotient sont exprimés dans la même unité et décrivent le même type de grandeur. Le rapport est sans dimension. Pour le présenter en pourcentage, multipliez par 100 : 2,5 %. La valeur décimale 0,025 et l’écriture 2,5 % représentent exactement la même proportion. Écrire 0,025 % donnerait un résultat cent fois trop petit.
Le dénominateur est la référence 24, pas l’approximation 23,4. Diviser par 23,4 donnerait environ 2,564 %, une autre comparaison. Conservez la référence imposée dans l’énoncé. Si vous comparez deux résultats expérimentaux sans référence désignée, commencez par identifier la définition demandée. Une différence relative symétrique peut par exemple employer un autre dénominateur. Ne remplacez pas une formule par l’autre simplement parce que toutes deux aboutissent à un pourcentage. Écrire d’abord la signification du quotient évite de choisir son dénominateur uniquement parce qu’un nombre paraît plus commode.
Comparer les échelles avant de qualifier un écart de petit
Considérons maintenant 239,4 cm pour une référence de 240 cm. L’erreur absolue vaut encore 0,6 cm, mais e = 0,6/240 = 0,0025, soit 0,25 %. Le même écart représente une proportion dix fois plus petite. Cela n’efface pas la différence physique : les deux longueurs approchées restent inférieures de 0,6 cm à leur référence respective. Seule l’échelle du dénominateur a changé. Deux erreurs absolues égales ne permettent donc pas de conclure que les deux approximations ont la même précision relative.
Inversement, une même erreur relative peut correspondre à des distances différentes. Un écart de 2,5 % par rapport à 240 cm représente 0,025 × 240 = 6 cm. Les valeurs 234 cm et 246 cm sont toutes deux à cette distance de la référence. Le montant positif ne dit pas de quel côté se trouve l’approximation. Avant de comparer des résultats, déterminez si l’exercice impose une tolérance absolue, proportionnelle ou les deux. Le critère doit venir du problème, et non de l’impression produite par une petite valeur décimale.
Séparer changement d’unité et changement de référence
Convertissons le premier exemple en millimètres : r = 240 mm, a = 234 mm et E = 6 mm. La valeur numérique de l’erreur absolue est multipliée par dix, car un centimètre contient dix millimètres. En revanche, e = 6/240 = 0,025 reste identique. C’est une vérification indépendante utile : une conversion multiplicative commune modifie le numérateur et le dénominateur par le même facteur, qui se simplifie. Convertir une seule des deux valeurs ferait entrer des unités incompatibles dans la différence ou le quotient.
Le guide pour convertir les unités distingue les facteurs de longueur, d’aire et de volume. Appliquez cette rigueur aux deux valeurs avant de soustraire, puis conservez la bonne unité pour E. L’invariance du rapport suppose ici une multiplication par un même facteur non nul. Elle ne justifie pas de déplacer arbitrairement l’origine numérique d’une échelle. Une conversion comportant l’ajout d’une constante peut modifier la comparaison relative. La signification du zéro de la grandeur compte donc aussi ; notre exemple de longueurs n’autorise pas une généralisation automatique à toutes les échelles.
Traiter les références négatives et nulles explicitement
Une référence négative n’impose pas une erreur positive ou négative au hasard. Avec r = −8 et a = −7,8, l’écart signé est +0,2, l’erreur absolue E vaut 0,2 et e = 0,2/8 = 0,025, soit 2,5 %. Le signe positif de l’écart indique que l’approximation est supérieure à la référence. Le rapport positif indique la taille de la différence comparée à |r|. Oublier la valeur absolue au dénominateur mélangerait ces deux informations, direction et grandeur, alors qu’elles répondent à des questions distinctes.
Pour r = 0, le rapport relatif n’est pas défini puisqu’il faudrait diviser par zéro. Si a = 0,001, E vaut 0,001, mais aucun pourcentage relatif n’existe selon notre définition. Ne le remplacez ni par zéro pour cent, ni par un nombre fini inventé, ni par un infini présenté comme un calcul ordinaire. Près de zéro, le rapport peut aussi devenir grand : r = 0,002 et a = 0,003 donnent E = 0,001 et e = 0,5, soit 50 %. Indiquez alors également l’échelle absolue pour permettre une interprétation raisonnable.
Distinguer une erreur calculée d’une borne d’arrondi
Une erreur connue se calcule par rapport à la référence indiquée. Pour le nombre exact 1/3 approché par 0,33, E = 1/3 − 33/100 = 1/300. En divisant par 1/3, on obtient e = 1/100 = 0,01, soit exactement 1 %. L’approximation est en dessous de la référence, mais la distance E reste non négative. Conserver les fractions jusqu’à la fin empêche de remplacer discrètement la référence exacte par une nouvelle approximation avant même de terminer la comparaison demandée.
Le cours de Grenoble sur les erreurs numériques utilise des majorations pour encadrer les écarts. Cela aide à comprendre la différence entre erreur réelle et borne. Arrondir au centième le plus proche modifie un nombre d’au plus 0,005 ; cela ne signifie pas que chaque résultat a exactement cette erreur. Ainsi, 12,346 devient 12,35 et l’erreur effective vaut 0,004. Les conventions de départage à mi-chemin modifient le choix d’un point frontière, pas la borne « au plus ». Tronquer est une autre opération : ne lui attribuez pas automatiquement la même propriété.
Ne pas transformer une information incomplète en certitude
Dans une mesure réelle, la valeur vraie n’est pas forcément connue exactement. La référence peut elle-même être une valeur acceptée comportant une incertitude. La différence entre deux nombres affichés décrit alors un écart par rapport à cette référence, pas une preuve de l’erreur vraie inconnue de la mesure. Des résultats répétés très proches peuvent aussi partager un biais. Précisez ce que représente la référence et quelles informations sont réellement disponibles avant d’interpréter une différence calculée comme une garantie générale de précision.
Un intervalle de valeurs possibles n’est pas la même chose qu’une erreur unique connue. Savoir qu’un nombre s’arrondit au centième à 12,35 permet d’étudier l’intervalle associé à la règle d’arrondi. Cela ne permet pas de retrouver de manière certaine le nombre initial 12,346. Le guide pour vérifier une réponse sans corrigé encourage à contrôler ce que les données justifient réellement. Demandez-vous ici si votre conclusion est une égalité, une borne ou une estimation. Afficher davantage de décimales ne remplace pas une information absente et ne rend pas une approximation exacte.
Traduire une tolérance en intervalle vérifiable
Supposons qu’un exercice autorise au plus 1 % d’erreur relative par rapport à la référence positive 80. Alors E/80 ≤ 0,01, donc E ≤ 0,8. Les approximations acceptables appartiennent à [79,2 ; 80,8]. Les deux extrémités conviennent à « au plus ». Avec « moins de 1 % », elles seraient exclues. Pour a = 80,9, E = 0,9 et e = 0,01125, soit 1,125 %. Cette valeur échoue dans les deux versions de la condition, même si elle semble visuellement proche de 80.
Vérifiez les extrémités en les remplaçant dans |a − 80|/80. Un pourcentage calculé ne fixe pas lui-même la tolérance admissible : l’exigence doit être fournie par l’énoncé. Gardez suffisamment de chiffres jusqu’après la comparaison avec la limite. Arrondir 1,125 % trop grossièrement pourrait masquer un dépassement. Si un cas apparemment situé exactement à la frontière repose sur des données déjà arrondies, indiquez cette hypothèse. Une décision plus précise ne peut pas être justifiée uniquement par l’affichage de décimales supplémentaires lorsque les entrées ne donnent pas la précision nécessaire.
S’entraîner avec une autre référence, puis inverser la question
Comparez seul 49,75 cm à la référence 50 cm. L’écart signé est −0,25 cm, E = 0,25 cm et e = 0,25/50 = 0,005, soit 0,5 %. En millimètres, la comparaison porte sur 497,5 et 500 ; E vaut 2,5 mm et le rapport reste 0,005. Inversez maintenant la question : quelles approximations ont exactement 0,5 % d’erreur par rapport à 50 cm ? Ce sont 49,75 cm et 50,25 cm. Expliquez pourquoi une condition portant sur une distance peut donner deux valeurs différentes.
Enfin, les nombres exacts 12,01 et 12,00 ont pour différence 0,01. Arrondissez d’abord chaque entrée au dixième : la soustraction affichée donne 0,0. Par rapport à la différence exacte 0,01, ce résultat possède une erreur absolue de 0,01 et une erreur relative de 100 %. De petits changements des entrées peuvent donc avoir un grand effet relatif sur une petite différence. Terminez en notant vous-même référence, écart signé, distance, rapport, pourcentage et hypothèses. Chaque étiquette rend le calcul contrôlable et évite qu’un résultat séduisant réponde à une autre question.
