Geometrie · Ratgeber von Eqora
Kreisgleichung: Mittelpunkt und Radius erkennen
Forme die Gleichung mit zwei quadratischen Ergänzungen um und prüfe Radiusquadrat, Randpunkte und die zugehörige Punktmenge.
Eine Kreisgleichung kann ihren Mittelpunkt hinter einem ausmultiplizierten Ausdruck verbergen. Die Terme x² und y² allein reichen nicht, um ihre Bedeutung sicher abzulesen. Koeffizienten, Vorzeichen und Konstante entscheiden darüber, ob die reelle Lösungsmenge ein Kreis, ein einzelner Punkt oder sogar leer ist. Der zuverlässige Weg führt über den Abstand und die quadratische Ergänzung. Damit erhältst du eine geometrische Erklärung, die du prüfen kannst, statt lediglich eine Vorzeichenregel auswendig anzuwenden.
Unser Beispiel lautet x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0. Wir bestimmen Mittelpunkt und Radius, prüfen Randpunkte und unterscheiden die Kreislinie von der gefüllten Kreisscheibe. Dabei verwenden wir senkrechte kartesische Koordinatenachsen mit derselben Längeneinheit. Die begleitenden Fotos zeigen anschauliche Gegenstände, aber keine maßstäblichen Zeichnungen für unsere Zahlenbeispiele. Die Rechnung lässt sich vollständig auf Papier durchführen. Lies zuerst die Bedingungen des Koordinatensystems und des Arbeitsauftrags, bevor du aus einer vertrauten Form eine Schlussfolgerung ziehst.
Eine Kreisgleichung beschreibt einen festen Abstand
Ein Kreis besteht aus allen Punkten, die von einem Mittelpunkt M = (h, k) denselben positiven Abstand r haben. Für einen beliebigen Punkt P = (x, y) lauten die waagerechte und die senkrechte Koordinatendifferenz x − h und y − k. Nach dem Satz des Pythagoras gilt MP² = (x − h)² + (y − k)². Die Bedingung MP = r führt deshalb zur Gleichung (x − h)² + (y − k)² = r². Abstände und der gewählte Radius sind nichtnegativ, sodass das Quadrieren hier keine falsche negative Entfernung einführt.
Diese Herleitung erklärt die Vorzeichen innerhalb der Klammern. Bei der Mittelpunktkoordinate h = 3 lautet die Differenz x − 3. Für k = −2 entsteht y − (−2), also y + 2. Das scheinbare Umdrehen des Vorzeichens folgt schlicht daraus, dass die Mittelpunktkoordinate abgezogen wird. Gleich große Achseneinheiten sind wichtig: Eine Zeichnung mit gestreckter waagerechter Achse kann optisch oval wirken, obwohl die Koordinatengleichung unter den vorausgesetzten Einheiten einen Kreis beschreibt. Verlasse dich deshalb nicht allein auf den Bildeindruck.
Mittelpunkt und Radius aus der Klammerform ablesen
Aus (x − 3)² + (y + 2)² = 25 liest du den Mittelpunkt M = (3, −2) ab. Rechts steht allerdings das Quadrat des Radius, nicht der Radius selbst. Somit ist r = √25 = 5. Die Zahl −5 kommt als geometrischer Radius nicht infrage, und 25 wäre eine Verwechslung von Länge und Längenquadrat. Der Mittelpunkt selbst erfüllt diese Kreisgleichung nicht: Links ergibt sich dort null, rechts steht 25. Er liegt im Inneren der zugehörigen Kreisscheibe, nicht auf der Kreislinie.
Als schnelle Kontrolle eignet sich P = (8, −2). Die Koordinatendifferenzen zum Mittelpunkt sind 5 und 0, deshalb ist die Summe ihrer Quadrate 25. Ebenso liegt (3, 3) genau fünf Einheiten oberhalb des Mittelpunkts auf dem Kreis. Der Punkt (8, 3) gehört dagegen nicht dazu, denn 5² + 5² = 50. Fünf Einheiten in jeder von zwei senkrechten Richtungen ergeben insgesamt einen größeren Abstand als fünf. Gerade diese Kontrolle verbindet das Ablesen wieder mit der ursprünglichen Abstandsbedingung.
Beide Variablen getrennt quadratisch ergänzen
Beginne erneut mit x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0. Bringe die Konstante auf die andere Seite und ordne nach Variablen: x² − 6x + y² + 4y = 12. Die Hälfte von −6 ist −3; ihr Quadrat ist 9. Die Hälfte von 4 ist 2; ihr Quadrat ist 4. Addiere beide Ergänzungen auf beiden Seiten. Es entsteht (x² − 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 12 + 9 + 4.
Links stehen nun die binomischen Quadrate (x − 3)² und (y + 2)². Rechts ergibt sich 25. Die neue Form beschreibt dieselbe Lösungsmenge, weil jede Änderung auf beiden Seiten vorgenommen wurde. Der TU-Berlin-Brückenkurs zu Kreisen behandelt die Koordinatengleichung und das Ablesen geometrischer Größen. In unserer Rechnung bleibt der entscheidende Ausgleich sichtbar: Wer 9 und 4 nur links ergänzt, verändert die Gleichung und damit den Radius. Schreibe die rechte Summe aus, bevor du sie vereinfachst und anschließend die Wurzel ziehst.
Durch Rückwärtsrechnen die vollständige Umformung prüfen
Multipliziere die Klammern wieder aus: (x − 3)² = x² − 6x + 9 und (y + 2)² = y² + 4y + 4. Damit wird aus der neuen Gleichung x² + y² − 6x + 4y + 13 = 25. Nach dem Subtrahieren von 25 steht wieder x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0. Diese Kontrolle überprüft alle Konstanten und nicht lediglich die beiden Vorzeichen des Mittelpunkts. Sie zeigt, dass du wirklich zum Ausgangsausdruck zurückkommst.
Der Leitfaden zum Prüfen ohne Lösungsheft erklärt solche Kontrollen in umgekehrter Rechenrichtung. Zusätzlich kannst du einen bekannten Randpunkt direkt in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Für (8, −2) erhältst du 64 + 4 − 48 − 8 − 12 = 0. Erfüllt ein Punkt nur die neue, aber nicht die ursprüngliche Gleichung, muss eine Umformung falsch sein. Eine grobe Skizze kann die Lage plausibel machen, ersetzt jedoch weder das Ausmultiplizieren noch diese genaue Punktprobe. Nutze beide, wenn dir eine Konstante unsicher erscheint.
Einen gemeinsamen Faktor zuerst vollständig entfernen
Die Gleichung 2x² + 2y² − 12x + 8y − 24 = 0 beschreibt denselben Kreis. Dividiere dafür jeden Term durch 2, nicht nur die beiden Quadrate. Dann erhältst du unser Ausgangsbeispiel. Das Dividieren einer vollständigen Gleichung durch eine von null verschiedene Zahl bewahrt ihre Lösungen. Auch ein negativer gemeinsamer Faktor darf entfernt werden. Entscheidend ist, dass alle Terme einschließlich der Konstante und der rechten Seite gleich behandelt werden. Erst danach hat die normierte Form die erwarteten Koeffizienten.
Bei einer Gleichung ohne gemischten xy-Term deuten gleiche von null verschiedene Koeffizienten vor x² und y² auf eine mögliche Kreisform hin. Unterschiedliche Koeffizienten ergeben im Allgemeinen eine andere Kegelschnittform. So beschreibt x² + 4y² = 16 eine Ellipse: Nach dem Teilen durch 16 sind die waagerechte und die senkrechte quadratische Skalierung verschieden. Dieser Artikel klassifiziert nicht sämtliche gedrehten Kegelschnitte. Taucht ein xy-Term auf, darfst du die hier benutzte einfache Mittelpunktform nicht ohne weitere Untersuchung voraussetzen. Prüfe die Struktur vor dem Rechnen.
Das Radiusquadrat kann positiv, null oder negativ sein
Untersuche nach dem Ergänzen die gesamte rechte Seite. Bei (x − 3)² + (y + 2)² = 25 ergibt der positive Wert einen Kreis mit Radius 5. Steht rechts null, müssen beide reellen Quadrate gleichzeitig null sein. Die Lösungsmenge besteht dann nur aus (3, −2). Manche Kurse nennen das einen entarteten Kreis, andere verwenden das Wort Kreis ausschließlich bei positivem Radius. Beschreibe die tatsächliche Punktmenge, damit eine unterschiedliche Begriffsverwendung nicht das mathematische Ergebnis verdeckt.
Bei einer rechten Seite von −1 existiert kein reeller Punkt. Eine Summe reeller Quadrate kann nicht negativ sein. Aus √(−1) lässt sich hier kein reeller geometrischer Radius gewinnen. Solche Ergebnisse können auf einen Rechenfehler hinweisen, sind aber auch legitime Aufgabenlösungen. Beispielsweise ergibt x² + y² − 6x + 4y + 14 = 0 nach dem Ergänzen (x − 3)² + (y + 2)² = −1. Kontrolliere die Konstanten und benenne anschließend die leere reelle Lösungsmenge, wenn die Rechnung stimmt, statt zwanghaft einen Kreis zeichnen zu wollen.
Kreislinie und Kreisscheibe beantworten verschiedene Fragen
Die Gleichheit (x − 3)² + (y + 2)² = 25 wählt Punkte im Abstand von genau fünf Einheiten aus. Mit dem Zeichen ≤ gehören zusätzlich alle inneren Punkte dazu: Du beschreibst eine abgeschlossene Kreisscheibe. Bei < bleibt nur das Innere ohne Rand. Derselbe Mittelpunkt und derselbe Radius können deshalb in Aufgaben zu einer Kreisumrandung, einer versorgten Fläche oder einem erlaubten Abstand unterschiedliche Punktmengen bestimmen. Lies das Vergleichszeichen als Teil der geometrischen Aussage und nicht als austauschbaren Bestandteil der Schreibweise.
Für P = (4, −1) beträgt der quadrierte Abstand zum Mittelpunkt 1² + 1² = 2 und damit weniger als 25. Der Punkt liegt innerhalb der Kreisscheibe, aber nicht auf der Kreislinie. Bei Q = (9, −2) ergibt sich 36, also eine Lage außerhalb. Für diese Vergleiche sind keine Dezimalnäherungen von Wurzeln nötig. Bei nichtnegativen Abständen bleibt die Größenordnung durch das Quadrieren erhalten. Der Leitfaden zum Lesen geometrischer Figuren zeigt, warum schriftliche Bedingungen und Markierungen Vorrang vor einer nur ungefähr überzeugenden Zeichnung haben.
Die allgemeine Formel aus der Ergänzung herleiten
Für x² + y² + Dx + Ey + F = 0 führt die Ergänzung zu (x + D/2)² + (y + E/2)² = D²/4 + E²/4 − F. Somit lautet der Mittelpunkt (−D/2, −E/2). Die rechte Seite ist das Radiusquadrat, dessen Vorzeichen wie zuvor geprüft werden muss. Die Formel setzt voraus, dass vor beiden Quadraten bereits der Koeffizient eins steht und kein xy-Term vorkommt. Gegebenenfalls musst du die vollständige Gleichung vorher normieren, einschließlich aller linearen Terme und der Konstante.
In unserem Beispiel sind D = −6, E = 4 und F = −12. Daraus folgen der Mittelpunkt (3, −2) und r² = 36/4 + 16/4 − (−12) = 9 + 4 + 12 = 25. Die letzte Subtraktion ist besonders wichtig: Ein negatives F trägt hier positiv bei. Die Formel fasst die quadratische Ergänzung lediglich zusammen. Liefert eine auswendig gelernte Variante ein anderes Ergebnis, multipliziere deine vorgeschlagene Mittelpunktform aus und vergleiche die einzelnen Koeffizienten mit dem ursprünglichen Ausdruck. Damit lässt sich die Abweichung konkret lokalisieren.
Eine veränderte Gleichung selbstständig lösen
Versuche x² + y² + 8x − 2y + 8 = 0 zunächst allein. Nach dem Verschieben der Konstante ergänzt du 16 für die x-Terme und 1 für die y-Terme auf beiden Seiten. Es entsteht (x + 4)² + (y − 1)² = 9. Mittelpunkt und Radius sind daher (−4, 1) und 3. Der Punkt (−1, 1) liegt auf dem Kreis; der Mittelpunkt selbst liegt nicht auf dessen Rand. Prüfe durch Ausmultiplizieren, dass die ursprüngliche Konstante tatsächlich wieder 8 wird.
Begründe anschließend jede Entscheidung: Koordinatendifferenzen erklären die Klammerzeichen, beidseitiges Ergänzen erhält die Gleichung, und die nichtnegative Quadratwurzel liefert den Radius. Eqora veröffentlicht diesen unabhängigen Lernartikel; eine App ist für die Lösung nicht erforderlich. Falls du eine Lernhilfe zur Erklärung nutzt, überprüfe die erkannte Aufgabe, Notation, Voraussetzungen und das Ergebnis selbst. Beachte Prüfungsregeln und erwarte keine Garantie für Richtigkeit oder Noten. Eine abgeschlossene Lösung benennt die tatsächliche reelle Punktmenge und enthält eine Kontrolle, die du eigenständig erklären kannst.
