Statistiques · Guide Eqora
Histogramme à classes inégales : lire les aires
Calcule les densités avec les vraies amplitudes et distingue les effectifs exacts des estimations à l’intérieur des classes.
Un histogramme à classes inégales utilise la densité pour comparer correctement des intervalles d'amplitudes différentes. Un rectangle large peut contenir davantage d'observations sans être plus haut qu'un rectangle étroit. Si tu utilises les effectifs comme hauteurs tout en conservant les vraies largeurs, tu avantages visuellement les classes larges. La correction découle de l'aire du rectangle : divise l'effectif par l'amplitude pour que largeur multipliée par hauteur restitue cet effectif. Comparer seulement les hauteurs répond à une autre question que comparer les quantités totales.
Nous utiliserons un exemple construit de 100 durées de réalisation, mesurées en minutes. Nous calculerons une densité d'effectif puis une densité de fréquence. Ces nombres sont pédagogiques : ils ne proviennent pas d'une étude des utilisateurs d'Eqora et ne décrivent pas les performances de l'application. Les photographies de plateaux à graines de tailles différentes sont des analogies, pas des histogrammes numériques. Tu peux effectuer tous les calculs sur papier. Conserve les unités, les bornes, les noms des axes et l'effectif total pour interpréter chaque rectangle.
Un histogramme à classes inégales fait compter les aires
Un histogramme regroupe les valeurs d'une variable numérique dans des intervalles. Les positions et les largeurs horizontales correspondent à ces intervalles : deux classes voisines sont représentées par des rectangles adjacents. Contrairement à un diagramme en barres pour des catégories, la largeur a ici un sens numérique. Lorsque les amplitudes diffèrent, c'est l'aire qui doit représenter l'effectif. Pour un effectif n et une amplitude w, on choisit la hauteur d = n/w. On retrouve alors w × d = n, directement grâce à la formule d'aire.
La ressource de Lionel Blin sur les histogrammes et amplitudes relie la hauteur à cette densité d'effectif. Si la variable est une durée en minutes, l'unité verticale est observations par minute. En multipliant par une amplitude exprimée en minutes, on retrouve des observations. Une hauteur de 2 sur une largeur de 20 minutes représente donc 40 observations, pas deux dans toute la classe. La hauteur n'est pas l'effectif total de l'intervalle. Vérifier les unités aide à résoudre un désaccord apparent entre le tableau et la forme des rectangles.
Choisir des bornes qui comptent chaque valeur une seule fois
Nos classes sont 0 ≤ t < 10, 10 ≤ t < 20, 20 ≤ t < 40 et 40 ≤ t ≤ 60. Leurs effectifs sont respectivement 20, 30, 40 et 10. Les trois premiers intervalles incluent leur borne gauche et excluent leur borne droite. Le dernier inclut aussi 60 pour couvrir tout l'intervalle annoncé. Une durée exactement égale à 20 appartient donc à la troisième classe, sans être également comptée dans la deuxième. D'autres conventions cohérentes sont possibles : lis celle qui accompagne les données.
Les amplitudes se calculent par borne supérieure moins borne inférieure : 10, 10, 20 et 20 minutes. Ce ne sont pas les nombres d'entiers que l'on pourrait énumérer entre les bornes. Les durées sont des mesures numériques, pas simplement des étiquettes entières. Les effectifs totalisent 100 et les classes ne se chevauchent pas. Si de véritables données contiennent une observation hors de l'intervalle annoncé, il faut revoir le regroupement. Une omission silencieuse changerait les données, et aucune formule de densité ne pourrait corriger ensuite cette erreur de comptage.
Calculer les hauteurs puis retrouver les effectifs
Divise chaque effectif par sa propre amplitude. Tu obtiens 20/10 = 2, 30/10 = 3, 40/20 = 2 et 10/20 = 0,5. Place les vraies largeurs sur l'axe des durées et ces quatre hauteurs sur un axe nommé densité d'effectif, en observations par minute. Le premier et le troisième rectangles ont la même hauteur, alors que la troisième classe contient deux fois plus de valeurs. Sa largeur est également deux fois plus grande, ce qui lui donne une aire double.
Refais ensuite le calcul à l'envers : 10 × 2 = 20, 10 × 3 = 30, 20 × 2 = 40 et 20 × 0,5 = 10. La somme des aires est 100, égale à l'effectif total. Le guide pour vérifier une réponse sans corrigé explique l'intérêt de revenir sur une transformation par l'opération inverse. Si tu ne retrouves pas les effectifs initiaux, vérifie les amplitudes et la division. Tu as peut-être multiplié au lieu de diviser ou appliqué une largeur commune à des classes inégales. Quatre rectangles plausibles ne constituent pas à eux seuls une vérification.
Séparer la classe la plus haute et le plus grand effectif
Le rectangle le plus haut correspond à la deuxième classe, de 10 à moins de 20 minutes, avec une densité de 3. Le plus grand effectif appartient à la troisième, de 20 à moins de 40 minutes, avec 40 observations. Ces deux affirmations sont compatibles parce qu'elles comparent des quantités différentes. La classe la plus haute contient plus d'observations par minute d'intervalle ; la classe plus large en contient davantage au total. Si la question porte sur le plus grand effectif, compare les aires ou les nombres du tableau.
Avec des amplitudes inégales, l'expression classe modale doit être reliée explicitement à la convention de densité utilisée dans ton cours. La classe de densité maximale ne révèle pas la durée individuelle la plus fréquente. Le regroupement a supprimé les positions des observations à l'intérieur des intervalles. Quarante valeurs réparties sur vingt minutes et trente sur dix minutes peuvent produire nos densités, sans préciser les durées réellement mesurées. Indique si tu compares effectif, densité ou mode des données brutes, plutôt que de laisser le mot fréquent désigner plusieurs questions différentes.
Normaliser lorsque l'aire totale doit être égale à un
Pour obtenir une densité de fréquence, divise chaque densité d'effectif par 100. Les hauteurs deviennent 0,02, 0,03, 0,02 et 0,005 par minute. Les aires sont 10 × 0,02 = 0,20, 10 × 0,03 = 0,30, 20 × 0,02 = 0,40 et 20 × 0,005 = 0,10. Leur somme vaut un. Une aire de classe représente maintenant la proportion observée dans l'échantillon. Pour la troisième classe, 0,40 signifie 40 %, alors que l'aire 40 de la version précédente représentait l'effectif.
La hauteur d'une densité n'est pas elle-même une probabilité. Elle possède une unité inverse du temps et peut dépasser un si une proportion importante se concentre dans un intervalle assez étroit. C'est l'aire représentant une proportion ou une probabilité qui doit rester entre zéro et un. L'aire totale vaut 100 dans notre version en effectifs et un dans la version normalisée. Lis le titre de l'axe vertical et son éventuel facteur d'échelle avant de décider qu'un graphique est incorrectement normalisé ou qu'une hauteur supérieure à un est impossible.
Une aire partielle suppose une répartition dans la classe
L'aire complète de la troisième classe indique exactement que 40 observations construites se situent de 20 à moins de 40 minutes. Elle ne dit pas combien sont comprises entre 20 et moins de 30. En utilisant le rectangle plat comme approximation uniforme à l'intérieur de la classe, la moitié de la largeur donne un effectif estimé de 10 × 2 = 20. Ce résultat repose sur une hypothèse supplémentaire de répartition régulière. Il ne reconstitue pas exactement les observations d'origine à partir du seul tableau regroupé.
Le véritable effectif de cette moitié pourrait aller de zéro à 40 sans modifier le tableau. Les quarante valeurs pourraient toutes être inférieures à 30, ou toutes se trouver entre 30 inclus et 40 exclu. Pour une réponse exacte, il faut les données brutes ou un tableau plus fin qui distingue la borne 30. La même limite concerne les quantiles lus à l'intérieur d'une classe. Le rectangle représente utilement l'information disponible, sans démontrer que les mesures sont uniformément distribuées. Présente donc cette lecture partielle comme une estimation et nomme l'hypothèse utilisée.
Changer d'unité sans modifier les quantités représentées
Convertissons l'axe des durées des minutes vers les secondes. Chaque amplitude est multipliée par 60, donc les hauteurs de densité d'effectif doivent être divisées par 60. La première largeur devient 600 secondes, avec une hauteur de 2/60 observations par seconde. Leur produit reste 20. Les densités de fréquence changent par le même facteur inverse. Conserver les anciennes hauteurs numériques tout en multipliant les largeurs par 60 multiplierait aussi les aires par 60. Le graphique ne représenterait plus le même effectif total.
La vérification des unités protège ainsi l'ensemble de la représentation. Minutes multipliées par observations par minute donnent des observations, tout comme secondes multipliées par observations par seconde. Une conversion change le nombre indiquant la densité, sans changer l'effectif ni la proportion. Pour comparer deux histogrammes, vérifie leurs unités horizontales et leur convention verticale, en effectifs ou en fréquences. Un rectangle plus haut sur un axe utilisant une autre unité de durée ne prouve pas à lui seul une concentration plus forte des données. Mets d'abord les deux lectures sur une base comparable.
Distinguer le regroupement et les données brutes
Fusionner les deux premières classes produit l'intervalle de 0 à moins de 20, avec effectif 50 et amplitude 20. Sa densité d'effectif vaut 50/20 = 2,5. L'aire reste 50, mais les deux hauteurs précédentes 2 et 3 deviennent une seule hauteur moyenne. Le nouveau rectangle plat masque la différence entre ces intervalles. Changer les bornes peut donc modifier la silhouette du graphique sans changer une observation. Une pointe visible avec un découpage donné n'est pas nécessairement une propriété stable de la série.
Les centres de classes permettent aussi un calcul séparé de moyenne approchée : 5 × 20 + 15 × 30 + 30 × 40 + 50 × 10 = 2250, puis 2250/100 = 22,5 minutes. Le guide sur l’espérance mathématique explique aussi comment des poids interviennent dans une moyenne. Ici, chaque centre remplace cependant des valeurs individuelles inconnues. La véritable moyenne de l'échantillon n'est donc pas forcément 22,5. Le regroupement conserve les effectifs des classes et perd les positions exactes ; le graphique comme le résumé par centres doivent reconnaître cette perte d'information.
Vérifier un tableau modifié sans aide
Essaie les classes 0 ≤ x < 5, 5 ≤ x < 15 et 15 ≤ x ≤ 30, d'effectifs 10, 20 et 15. Leurs amplitudes sont 5, 10 et 15, donc les densités d'effectif valent 2, 2 et 1. Les deux premiers rectangles ont la même hauteur, mais des aires de 10 et 20. L'aire totale est 45. Diviser les hauteurs par 45 fournit des densités de fréquence dont les aires sont 10/45, 20/45 et 15/45, de somme égale à un.
Explique pourquoi la deuxième classe contient davantage d'observations sans être plus haute. Retrouve chaque effectif par largeur multipliée par hauteur et donne l'unité verticale. Eqora publie ce guide autonome ; aucune application n'est nécessaire pour le résoudre. Si tu consultes une aide, vérifie toi-même le tableau initial, les conventions de bornes, les hypothèses et les totaux. Respecte les règles d'évaluation et ne prends pas une explication pour une garantie d'exactitude ou de notes. Une interprétation fiable indique ce que prouvent les aires et ce qui reste inconnu dans chaque classe.
