Komplexe Zahlen · Ratgeber von Eqora
Komplexe Zahlen: Quadrat oder Betragsquadrat?
Unterscheide ein komplexes Produkt von einem reellen Abstand. Erkläre Betragsquadrat und Division mit der Konjugierten und prüfe selbstständig.
Für z = 3 + 4i erhältst du beim Quadrieren z² = −7 + 24i. Eine andere Rechnung liefert 3² + 4² = 25. Widersprechen sich diese Ergebnisse? Nein: Die erste Rechnung bestimmt das Quadrat von z, die zweite das Betragsquadrat |z|². Komplexe Zahlen machen diese Unterscheidung unverzichtbar. Eine Zahl mit sich selbst zu multiplizieren und ihren Abstand vom Ursprung zu bestimmen sind verschiedene Vorgänge, auch wenn beide Schreibweisen ein Quadrat enthalten.
Wir leiten den Unterschied mit Algebra und der Zahlenebene her. Du bestimmst Realteil und Imaginärteil, multiplizierst ein Quadrat aus, bildest die Konjugierte, dividierst durch eine von null verschiedene komplexe Zahl und prüfst einen Abstand zu einem verschobenen Mittelpunkt. Alles lässt sich ohne App oder Löser auf Papier bearbeiten. Es gilt i² = −1; die Koeffizienten sind reell und beide Koordinatenachsen verwenden denselben Maßstab.
Eqora veröffentlicht diesen Lerntext, ersetzt aber weder deine eigene Prüfungsarbeit noch garantiert es richtige Ergebnisse oder Noten. Prüfe Aufgabenstellung, Notation, Voraussetzungen und Resultat. Die Poolfotos veranschaulichen Spiegelung, getrennte Gegenstände und Abstände. Sie sind keine maßstäblichen Darstellungen der Gaußschen Zahlenebene. Reifengröße, Fliesenanzahl und Wasserspiegelung stehen für keine Zahlenwerte unserer Beispiele. Die mathematische Begründung liefern deine Formeln und unabhängigen Kontrollen, nicht das Aussehen der Bilder.
Komplexe Zahlen besitzen zwei reelle Koordinaten
Schreibe z = a + bi mit reellen Zahlen a und b. Der Realteil Re(z) ist a, der Imaginärteil Im(z) ist b und nicht bi. Bei 3 + 4i lauten diese Teile drei und vier, bei 2 − 3i zwei und minus drei. Die Bezeichnung Imaginärteil macht den Koeffizienten b nicht selbst zu einer imaginären Zahl. Er gibt als reelle Zahl an, wie viel von der Einheit i vorkommt.
Der Zahl a + bi entspricht der Punkt (a, b). Die waagerechte Achse trägt den Realteil, die senkrechte den imaginären Koeffizienten. Der Ursprung stellt null dar. Ein negatives b setzt den Punkt unter die reelle Achse, erzeugt aber keinen negativen Abstand zum Ursprung. Unser Leitfaden zum Lesen geometrischer Figuren erklärt, warum angegebene Koordinaten und Beziehungen zuverlässiger sind als das Ausmessen eines Bildes, das nicht maßstäblich sein muss.
Beim Quadrieren bleiben die gemischten Produkte erhalten
Das Quadrat z² bedeutet z mal z. Multipliziere aus: (a + bi)² = a² + 2abi + b²i². Wegen i² = −1 folgt (a² − b²) + 2abi. Das Minus gehört zum Realteil, weil die beiden Faktoren i miteinander minus eins ergeben. Der gemischte Summand verschwindet nicht. Er entsteht aus den zwei Produkten, in denen jeweils ein reeller und ein imaginärer Summand miteinander multipliziert werden.
Bei z = 3 + 4i lautet die Rechnung 9 + 24i + 16i² = −7 + 24i. Wer nur 9 + 16 = 25 schreibt, lässt den gemischten Summanden weg und behandelt i² fälschlich als plus eins. Das ist nicht das Quadrat dieser komplexen Zahl. Kontrolliere durch getrenntes Ausmultiplizieren beider Faktoren: neun, zwölf i, zwölf i und minus sechzehn. Fasse erst danach gleiche Arten von Summanden zusammen.
Schon z = i zeigt den Unterschied: z² = −1, obwohl der Abstand zum Ursprung eins ist. Dieses kleine Beispiel widerlegt die Behauptung, jedes komplexe Quadrat sei nichtnegativ. Nichtnegativität gilt für reelle Quadrate und für Betragsquadrate, nicht für beliebige komplexe Quadrate. Die übliche Ordnung der reellen Zahlen lässt sich nicht unter Beibehaltung aller Regeln eines geordneten Körpers auf ganz C übertragen. Ein nichtreelles Produkt ist daher kein positiver oder negativer reeller Abstand.
Der Betrag misst einen Abstand und keinen neuen Punkt
Der Betrag |a + bi| ist √(a² + b²). Er misst den euklidischen Abstand des Punktes (a, b) vom Ursprung. Das rechtwinklige Dreieck der Koordinatenprojektionen erklärt die Quadratsumme: Die Kathetenlängen sind die Beträge der Koordinaten, und das Quadrieren beseitigt deren Vorzeichen. Bei 3 + 4i folgt |z| = √(9 + 16) = 5. Das Ergebnis ist eine nichtnegative reelle Zahl und kein neues Koordinatenpaar.
Wenn du diesen Abstand quadrierst, erhältst du |z|² = a² + b² = 25. Lass die Betragsstriche beim Schreiben stehen. z² und |z|² beantworten verschiedene Fragen; das Entfernen der Striche ändert den Rechenauftrag. Unterscheide außerdem |z| von |z|²: Fünf ist der Abstand, fünfundzwanzig sein Quadrat. Fragt eine Aufgabe nach einer Länge, musst du die Wurzel ziehen statt das einfachere Betragsquadrat als fertige Antwort stehen zu lassen.
Viele Zahlen besitzen denselben Betrag. Sowohl 3 + 4i als auch −3 + 4i liegen fünf Einheiten vom Ursprung entfernt, obwohl ihre Realteile verschieden sind. Ein festgelegter positiver Betrag beschreibt einen Kreis, keinen einzelnen Punkt. Nur null hat Betrag null. Beide Achsen müssen für den gezeichneten Abstand denselben Maßstab verwenden. Unterschiedlich gestreckte Achsen verändern den optischen Eindruck, aber nicht die mathematische Betragsformel oder die angegebenen Koordinaten.
Die Konjugierte spiegelt den imaginären Koeffizienten
Zu z = a + bi gehört die konjugiert komplexe Zahl z̄ = a − bi. a bleibt unverändert, b wechselt sein Vorzeichen. Die Konjugierte von 3 + 4i ist also 3 − 4i; zu 2 − 3i gehört 2 + 3i. Zweimaliges Konjugieren liefert wieder die Ausgangszahl. In der Zahlenebene entspricht dies einer Spiegelung an der reellen Achse. Der Abstand zum Ursprung bleibt erhalten, obwohl ein von null verschiedener imaginärer Koeffizient das Vorzeichen wechselt.
Die Erläuterung der Universität Stuttgart beschreibt genau diese geometrische Bedeutung von Betrag und Konjugation. Konjugieren ist nicht dasselbe wie das Bilden der Gegenzahl: −3 − 4i kehrt beide Koeffizienten von 3 + 4i um. Die Konjugierte ist auch nicht automatisch der Kehrwert. Sie hilft, weil sich imaginäre Summanden in bestimmten Paarungen aufheben. Daraus folgt jedoch nicht, dass jeder Ausdruck, in dem eine Konjugierte auftaucht, reell werden muss.
Addiere z und z̄: (a + bi) + (a − bi) = 2a. Subtrahiere sie: z − z̄ = 2bi. Diese Rechnungen prüfen das Vorzeichen und zeigen, welchen Teil jede Operation isoliert. Bei reellen Zahlen gilt z̄ = z, denn b = 0. Bei rein imaginären Zahlen gilt z̄ = −z. Übertrage diese Sonderfälle nicht auf eine allgemeine Zahl, deren beide Koeffizienten von null verschieden sind.
Das konjugierte Paar liefert das Betragsquadrat
Multipliziere diesmal unterschiedliche Faktoren: z z̄ = (a + bi)(a − bi). Die gemischten Summanden −abi und abi heben sich auf. Übrig bleibt a² − b²i² = a² + b², also z z̄ = |z|². Der zweite Faktor muss für diese Identität die Konjugierte sein. Bei z² haben die gemischten Summanden dagegen dasselbe Vorzeichen und ergeben zusammen 2abi. Der ausgetauschte Faktor erklärt den Unterschied der Resultate.
Für 3 + 4i ergibt das konjugierte Produkt (3 + 4i)(3 − 4i) = 25, das gewöhnliche Quadrat aber −7 + 24i. Dessen Betrag ist √(49 + 576) = 25. Somit gilt |z²| = |z|², obwohl z² nicht |z|² ist. Achte auf die Position der Striche: Sie verwandeln das Produktresultat in einen Abstand. Sie entfernen nicht nachträglich den Imaginärteil aus der Zahl, die beim ursprünglichen Multiplizieren entstanden ist.
Für reelles z stimmen Quadrat und Betragsquadrat überein. Für nichtreelles z nicht: Die Gleichheit der Imaginärteile würde 2ab = 0 verlangen. Die Gleichheit der Realteile würde a² − b² = a² + b² und damit b = 0 erzwingen. Ein zufälliges Übereinstimmen in einem ausschließlich reellen Beispiel begründet also keine allgemeine Regel für komplexe Zahlen. Prüfe beide Teile, bevor du zwei komplexe Ausdrücke gleichsetzt.
Bei der Division veränderst du Zähler und Nenner
Für eine Division durch c + di ≠ 0 erweiterst du den ganzen Bruch mit (c − di)/(c − di). Dieser Faktor ist eins; der Quotient bleibt unverändert. Der neue Nenner lautet c² + d² und ist positiv, weil c und d nicht beide null sind. Würdest du nur den Nenner konjugieren, bekämst du einen anderen Bruch statt einer gleichwertigen Darstellung des bisherigen Quotienten.
Bei (3 + 4i)/(1 − 2i) ist die Nennerkonjugierte 1 + 2i. Der Zähler wird (3 + 4i)(1 + 2i) = 3 + 6i + 4i + 8i² = −5 + 10i. Der Nenner wird (1 − 2i)(1 + 2i) = 5. Teile beide Zählersummanden durch fünf: Das Resultat lautet −1 + 2i. Wähle also die Konjugierte des Nenners, nicht einfach die Zahl, deren Schreibweise dir besonders vertraut vorkommt.
Kontrolliere auf einem anderen Weg: (−1 + 2i)(1 − 2i) = −1 + 2i + 2i − 4i² = 3 + 4i. Das vorgeschlagene Ergebnis mal ursprünglicher Nenner ergibt den ursprünglichen Zähler. Unser Leitfaden zur eigenständigen Ergebniskontrolle betont diese Rückkehr zur Ausgangsbeziehung. Eine Dezimalnäherung kann plausibel aussehen; die exakte Rückmultiplikation prüft Realteil und Imaginärteil getrennt und findet auch einen übersehenen Vorzeichenwechsel zuverlässig.
Der Kehrwert braucht ein Betragsquadrat ungleich null
Setze den Zähler auf eins. Für z ≠ 0 gilt 1/z = z̄/|z|². Bei 3 + 4i erhältst du (3 − 4i)/25 = 3/25 − (4/25)i. Die Konjugierte allein ergäbe beim Multiplizieren mit z fünfundzwanzig, nicht eins. Erst die Division durch das Betragsquadrat liefert die nötige Normierung für den Kehrwert. Klammern um den Zähler zeigen, dass beide Koeffizienten durch fünfundzwanzig geteilt werden.
Für null ist |z|² = 0, und der Ausdruck ist nicht definiert. Kürze diesen Nenner nicht weg und erfinde keine Grenzwertanweisung, die im Problem gar nicht steht. Keine komplexe Zahl ergibt beim Multiplizieren mit null den Wert eins. Für ein reelles z ungleich null reduziert sich dieselbe Formel auf den bekannten reellen Kehrwert. Der vorab festgelegte Definitionsbereich verhindert, dass du eine richtige Identität an einer ausgeschlossenen Stelle verwendest.
Ein verschobener Mittelpunkt steht innerhalb der Striche
Der Abstand von z zu einem anderen Punkt c lautet |z − c| und im Allgemeinen nicht |z| − |c|. Nimm z = 3 + 4i und c = 1 + i. Subtrahiere entsprechende Koeffizienten: z − c = 2 + 3i. Der Abstand ist √(2² + 3²) = √13. Die Differenz der Ursprungsabstände, 5 − √2, beschreibt etwas anderes und verliert die Richtungsinformation der beiden Punkte.
Die Gleichung |z − c| = r beschreibt für r > 0 einen Kreis mit Mittelpunkt c, für r = 0 einen einzelnen Punkt und für r < 0 keine Punkte. Mit z = a + bi wird |z − (1 + i)| = 2 zu (a − 1)² + (b − 1)² = 4. Der Mittelpunkt ist (1, 1), der Radius zwei. Vier ist das Radiusquadrat und nicht der Radius selbst.
Dies sind Abstände des mathematischen Koordinatenmodells. Wenn Koordinaten physikalische Größen darstellen, müssen Bedeutung und passende Einheiten zusätzlich angegeben sein. Eine Poolspiegelung bestimmt weder Vorzeichen noch Maßstab oder Mittelpunkt. Rechne mit Differenz und Betragsformel und teste einen bekannten Punkt: z = 3 + i liegt zwei Einheiten von 1 + i entfernt. Damit kontrollierst du Mittelpunkt und Radius, ohne der scheinbaren Größe einer Skizze zu vertrauen.
Übertrage die Unterscheidung auf eine neue Zahl
Bearbeite w = 2 − 3i ohne die bisherigen Zahlenresultate nachzuschlagen. Bestimme w², w̄, |w|, |w|², 1/w und w/(1 + i). Sage vorher, welche Ergebnisse reell sein müssen und welche komplex bleiben dürfen. Rechne erst selbst, bevor du die Kontrollen liest. Der imaginäre Koeffizient hat nun ein anderes Vorzeichen als im Hauptbeispiel; das bloße Übernehmen dessen Pluszeichen würde noch kein Verständnis der Operation zeigen.
Das Quadrat lautet w² = 4 − 12i + 9i² = −5 − 12i. Die Konjugierte ist 2 + 3i, und w w̄ = 13. Somit gelten |w| = √13 und |w|² = 13. Der Kehrwert lautet (2 + 3i)/13. Beim letzten Quotienten ergibt die Multiplikation des Zählers mit 1 − i den Wert −1 − 5i, der Nenner wird zwei: w/(1 + i) = −1/2 − (5/2)i.
Prüfe, dass (−1/2 − (5/2)i)(1 + i) wieder 2 − 3i ergibt und der Betrag von −5 − 12i dreizehn ist. Erkläre die verschiedenen Rollen von dreizehn, √13 und dem komplexen Quadrat. Falls sie in deinen Notizen austauschbar wurden, ergänze Betragsstriche und Faktorbezeichnungen. Wähle anschließend eine weitere Zahl und wiederhole den Vergleich. Verständnis heißt, den Rechenauftrag begründen zu können, nicht nur ein bekanntes Ergebnis wiederzuerkennen.
