Nombres complexes · Guide Eqora
Nombres complexes : carré ou module au carré ?
Distingue un produit complexe d’une distance réelle. Le conjugué explique le module au carré, la division et une vérification indépendante.
Pour z = 3 + 4i, tu calcules z² = −7 + 24i. Une autre opération donne 3² + 4² = 25. Ces réponses se contredisent-elles ? Non : la première est le carré de z, la seconde son module au carré, |z|². Avec les nombres complexes, cette distinction est essentielle. Multiplier une valeur par elle-même et mesurer sa distance à l’origine sont deux opérations différentes, même si leurs écritures contiennent toutes les deux un carré.
Nous expliquerons la différence par l’algèbre et le plan complexe. Tu identifieras les parties réelle et imaginaire, développeras un carré, formeras le conjugué, diviseras par un complexe non nul et vérifieras une distance à un centre déplacé. Tout se fait sur papier, sans application ni solveur. Nous utilisons l’unité imaginaire i telle que i² = −1, des coefficients réels et des axes cartésiens de même échelle.
Eqora publie cette explication comme aide à l’apprentissage, sans remplacer ton travail en examen ni garantir un résultat juste ou une note. Vérifie l’énoncé, les notations, les hypothèses et la réponse. Les photos de piscine évoquent un reflet, des objets séparés et leur éloignement. Ce ne sont pas des dessins à l’échelle du plan complexe : les anneaux, les carreaux et les reflets ne codent aucune valeur de nos exemples. La justification vient des calculs.
Les nombres complexes possèdent deux coordonnées réelles
Écris z = a + bi avec a et b réels. La partie réelle Re(z) est a ; la partie imaginaire Im(z) est b, pas bi. Pour 3 + 4i, ces parties valent trois et quatre. Pour 2 − 3i, elles valent deux et moins trois. Appeler b partie imaginaire ne rend pas ce coefficient imaginaire lui-même. C’est un nombre réel qui indique la quantité de l’unité i présente dans l’écriture.
Associe a + bi au point (a, b). L’axe horizontal porte la partie réelle ; l’axe vertical porte le coefficient imaginaire. L’origine représente zéro. Un b négatif place le point sous l’axe réel, sans créer une distance négative à l’origine. Notre guide de lecture des figures géométriques explique pourquoi les coordonnées et les relations données sont plus fiables que des mesures sur une illustration qui n’est pas forcément à l’échelle.
Le carré conserve les produits croisés et utilise i² = −1
Le carré z² signifie z multiplié par z. Développe : (a + bi)² = a² + 2abi + b²i². Comme i² = −1, tu obtiens (a² − b²) + 2abi. Le signe moins appartient à la partie réelle parce que les deux facteurs i produisent moins un. Le terme croisé ne disparaît pas. Il provient des deux produits entre un terme réel et un terme contenant l’unité imaginaire.
Pour z = 3 + 4i, le développement donne 9 + 24i + 16i² = −7 + 24i. Écrire seulement 9 + 16 = 25 supprime le terme croisé et remplace i² par un. Ce n’est pas le carré de ce complexe. Vérifie par une distribution séparée des deux facteurs : neuf, douze i, douze i et moins seize. Regroupe ensuite les contributions réelles et imaginaires, après avoir conservé leurs signes respectifs.
Le cas z = i suffit à montrer le piège : z² = −1 alors que sa distance à l’origine vaut un. Tout carré complexe n’est donc pas positif ou nul. Cette propriété concerne les carrés réels et les modules au carré, pas les carrés complexes quelconques. L’ordre usuel des réels ne s’étend pas à tout C en conservant les règles ordinaires d’un corps ordonné. Un produit non réel n’est pas une distance réelle positive ou négative.
Le module est une distance, pas un nouveau point
Le module |a + bi| vaut √(a² + b²). C’est la distance euclidienne entre (a, b) et l’origine. Le triangle rectangle des projections explique la somme des carrés : chaque longueur est la valeur absolue de sa coordonnée, et le carré élimine le signe. Pour 3 + 4i, |z| = √(9 + 16) = 5. Le résultat est un réel positif ou nul, pas un nouveau couple de coordonnées.
En élevant cette distance au carré, tu obtiens |z|² = a² + b² = 25. Garde les barres dans l’écriture. z² et |z|² répondent à deux questions distinctes ; retirer les barres change l’opération. Distingue aussi |z| de |z|² : cinq est la distance, vingt-cinq son carré. Si l’exercice demande une longueur, termine par la racine au lieu de donner une distance au carré parce qu’elle semble plus simple.
Plusieurs nombres peuvent avoir le même module. 3 + 4i et −3 + 4i sont tous deux à cinq unités de l’origine, mais leurs parties réelles diffèrent. Un module strictement positif fixé décrit un cercle, pas un point unique. Zéro est le seul complexe de module nul. Les axes doivent avoir la même échelle pour lire la distance dessinée ; des axes étirés différemment changent l’aspect, pas la formule du module.
Le conjugué reflète la coordonnée imaginaire
Le conjugué de z = a + bi est z̄ = a − bi. Garde a et change le signe de b. Le conjugué de 3 + 4i est donc 3 − 4i ; celui de 2 − 3i est 2 + 3i. Deux conjugaisons successives redonnent le nombre initial. Dans le plan, c’est une symétrie par rapport à l’axe réel. La distance à l’origine reste identique, même si une coordonnée imaginaire non nulle change de signe.
Le cours de nombres complexes de Lyon 1 définit le conjugué et le module puis leur relation multiplicative. Conjuguer n’est pas prendre l’opposé : l’opposé de 3 + 4i est −3 − 4i et change les deux coefficients. Ce n’est pas non plus prendre automatiquement l’inverse. Le conjugué est utile parce que des termes imaginaires s’annulent dans certaines associations ; sa présence ne rend pas toute expression réelle par magie.
Additionne z et z̄ : (a + bi) + (a − bi) = 2a. Soustrais-les : z − z̄ = 2bi. Ces calculs contrôlent les signes et montrent la partie isolée par chaque opération. Pour un réel, z̄ = z puisque b = 0. Pour un imaginaire pur, z̄ = −z. Ne transpose pas ces cas particuliers à un nombre général dont les deux coefficients sont non nuls.
Le produit avec le conjugué donne le module au carré
Multiplie cette fois deux facteurs différents : z z̄ = (a + bi)(a − bi). Les termes croisés −abi et abi s’annulent. Il reste a² − b²i² = a² + b², donc z z̄ = |z|². Pour cette identité, le second facteur doit être le conjugué. Dans z², les termes croisés ont au contraire le même signe et donnent 2abi. Changer un facteur explique pourquoi les deux résultats ne coïncident pas.
Pour 3 + 4i, le produit (3 + 4i)(3 − 4i) vaut 25, tandis que z² vaut −7 + 24i. Le module de ce dernier est pourtant √(49 + 576) = 25. Ainsi |z²| = |z|², alors que z² n’est pas |z|². La position des barres est décisive : elles transforment le résultat du produit en distance. Elles n’effacent pas la partie imaginaire du produit complexe initial lui-même.
Les deux carrés sont égaux si z est réel. Ils ne le sont pas pour un z non réel : l’égalité des parties imaginaires demanderait 2ab = 0, et celle des parties réelles demanderait a² − b² = a² + b², donc b = 0. Une coïncidence dans un exemple réel ne constitue pas une règle complexe générale. Compare les deux parties avant de déclarer deux expressions complexes égales.
Pour diviser, transforme le numérateur et le dénominateur
Pour diviser par c + di non nul, multiplie toute la fraction par (c − di)/(c − di). Ce facteur vaut un, donc la valeur du quotient ne change pas. Le dénominateur devient c² + d², strictement positif car c et d ne sont pas tous deux nuls. Conjuguer uniquement le dénominateur changerait la fraction au lieu de créer une expression équivalente. La transformation concerne bien les deux étages du quotient.
Dans (3 + 4i)/(1 − 2i), le conjugué du dénominateur est 1 + 2i. Le numérateur devient (3 + 4i)(1 + 2i) = 3 + 6i + 4i + 8i² = −5 + 10i. Le dénominateur devient (1 − 2i)(1 + 2i) = 5. Divise les deux termes du numérateur par cinq : le résultat est −1 + 2i. Choisis le conjugué du dénominateur, pas celui du nombre le plus facile à reconnaître.
Vérifie autrement : (−1 + 2i)(1 − 2i) = −1 + 2i + 2i − 4i² = 3 + 4i. Le quotient proposé multiplié par le dénominateur initial retrouve le numérateur initial. Notre guide de vérification autonome insiste sur ce retour à la relation de départ. Une approximation décimale peut sembler plausible ; la multiplication inverse exacte vérifie séparément les coefficients réel et imaginaire et révèle un signe oublié.
L’inverse exige un module au carré non nul
Prends un numérateur égal à un. Pour z ≠ 0, 1/z = z̄/|z|². Avec z = 3 + 4i, cela donne (3 − 4i)/25 = 3/25 − (4/25)i. Le conjugué seul donnerait un produit de vingt-cinq avec z, pas un. Diviser par le module au carré fournit la normalisation nécessaire à l’inverse multiplicatif. Les parenthèses précisent que les deux coefficients du numérateur sont divisés par vingt-cinq.
À zéro, |z|² = 0 et l’expression n’est pas définie. Ne supprime pas ce dénominateur et n’invente pas une consigne de limite absente de l’énoncé. Aucun complexe multiplié par zéro ne donne un. Pour un réel non nul, la formule retrouve l’inverse réel habituel. Annoncer le domaine permis évite d’appliquer une identité symbolique correcte à une valeur interdite. La restriction appartient au calcul dès le départ, pas à une note facultative.
Un centre déplacé change l’expression entre les barres
La distance de z à un autre point c est |z − c|, et non généralement |z| − |c|. Prends z = 3 + 4i et c = 1 + i. Soustrais les coefficients correspondants : z − c = 2 + 3i. La distance vaut √(2² + 3²) = √13. Soustraire les distances à l’origine, 5 − √2, donne une autre quantité et perd l’information sur la direction des deux points.
L’équation |z − c| = r décrit un cercle centré en c si r > 0, un seul point si r = 0, et aucun point si r < 0. Écrire z = a + bi transforme |z − (1 + i)| = 2 en (a − 1)² + (b − 1)² = 4. Le centre est (1, 1) ; le rayon vaut deux. Quatre est le carré du rayon, pas le rayon lui-même.
Ces distances appartiennent au modèle des coordonnées. Pour des grandeurs physiques, précise l’interprétation et les unités compatibles. Un reflet ne fixe ni signes, ni échelle, ni centre. Teste un point connu : z = 3 + i est à deux unités de 1 + i. Tu vérifies ainsi centre et rayon sans mesurer le dessin.
Transfère la distinction à un nouveau nombre
Essaie w = 2 − 3i sans consulter les résultats numériques précédents. Trouve w², w̄, |w|, |w|², 1/w et w/(1 + i). Prévois quels résultats doivent être réels et lesquels peuvent rester complexes. Effectue les opérations avant de lire les vérifications. Le coefficient imaginaire change de signe par rapport à l’exemple principal : copier sa succession de signes plus ne montre pas que tu as compris les opérations.
Le carré est w² = 4 − 12i + 9i² = −5 − 12i. Le conjugué vaut 2 + 3i et w w̄ = 13, donc |w| = √13 et |w|² = 13. L’inverse est (2 + 3i)/13. Pour le quotient, multiplier le numérateur par 1 − i donne −1 − 5i et le dénominateur devient deux : w/(1 + i) = −1/2 − (5/2)i.
Vérifie que (−1/2 − (5/2)i)(1 + i) redonne 2 − 3i et que le module de −5 − 12i vaut treize. Explique les rôles différents de treize, √13 et du carré complexe. S’ils sont devenus interchangeables dans tes notes, rétablis les barres et le nom des facteurs. Choisis ensuite un autre nombre et recommence. Comprendre consiste à justifier l’opération, pas seulement à reconnaître une réponse familière.
