Géométrie · Guide Eqora
Équation de cercle : repérer centre et rayon
Complète les deux carrés, interprète le rayon au carré et vérifie les points avant de distinguer cercle et disque.
Une équation de cercle peut cacher son centre dans une expression développée. Reconnaître les termes x² et y² ne suffit pas : leurs coefficients, les signes et la constante déterminent si les solutions réelles forment un cercle, un point isolé ou un ensemble vide. La méthode fiable consiste à repartir de la distance, puis à compléter les carrés en conservant l'égalité. Tu obtiens ainsi une interprétation géométrique vérifiable, plutôt qu'une règle de signes à appliquer sans explication.
Prenons x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0. Nous chercherons son centre et son rayon, vérifierons des points de sa frontière et distinguerons le cercle du disque qu'il délimite. Les coordonnées sont exprimées dans un repère cartésien orthonormé, avec la même unité sur les deux axes. Les photographies servent d'analogies visuelles, sans constituer des figures à l'échelle permettant de lire les résultats numériques. Tous les calculs peuvent être effectués sur papier, sans application ni lecture approximative d'un dessin.
Une équation de cercle exprime une distance fixe
Un cercle rassemble les points situés à une même distance positive r d'un centre C = (h, k). Pour un point P = (x, y), les déplacements horizontal et vertical depuis le centre valent x − h et y − k. Le théorème de Pythagore donne CP² = (x − h)² + (y − k)². La condition CP = r conduit donc à (x − h)² + (y − k)² = r². Les distances et le rayon choisi étant positifs ou nuls, cette mise au carré ne transforme pas une longueur négative en solution géométrique.
Cette origine explique les signes dans les parenthèses. Si l'abscisse du centre est 3, la différence horizontale s'écrit x − 3. Si son ordonnée est −2, la différence verticale devient y − (−2), soit y + 2. Le signe apparemment inversé vient de la soustraction de la coordonnée du centre. Il n'est pas une convention indépendante à retenir mécaniquement. Des unités identiques sur les axes sont nécessaires : un tracé étiré dans une seule direction peut paraître ovale sans traduire correctement les distances du repère annoncé.
Lire la forme centrée sans confondre rayon et carré
Dans (x − 3)² + (y + 2)² = 25, le centre est C = (3, −2). Le membre de droite correspond à r², et non directement à r. On prend donc la racine carrée non négative : r = √25 = 5. Le rayon géométrique n'est ni 25 ni −5. Le centre lui-même ne vérifie pas cette équation de cercle : le membre de gauche y vaut zéro, contre 25 à droite. Il appartient à l'intérieur du disque, pas à sa frontière circulaire.
Le point (8, −2) fournit une vérification simple. Son déplacement horizontal depuis le centre vaut 5 et son déplacement vertical vaut zéro, d'où 5² + 0² = 25. De même, (3, 3) se trouve exactement cinq unités au-dessus du centre. En revanche, (8, 3) donne 5² + 5² = 50 et se situe à l'extérieur. Avancer de cinq unités dans chacune de deux directions perpendiculaires ne conserve pas une distance totale de cinq. La formule de distance permet de voir précisément pourquoi ce point n'appartient pas au cercle.
Compléter séparément les carrés en x et en y
Repartons de x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0. Déplaçons la constante et regroupons : x² − 6x + y² + 4y = 12. La moitié de −6 est −3, dont le carré vaut 9. La moitié de 4 est 2, dont le carré vaut 4. Ajoutons ces deux nombres aux deux membres : (x² − 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 12 + 9 + 4. Chaque groupe de gauche devient alors un carré parfait.
Nous obtenons (x − 3)² + (y + 2)² = 25, sans modifier l'ensemble des solutions. L'explication de l'Oregon State University sur la complétion du carré, en anglais, relie cette technique à la reconnaissance d'un cercle. Dans notre exemple, l'équilibre des deux membres reste essentiel : ajouter 9 et 4 seulement à gauche changerait l'équation et le rayon. Écris la somme correspondante à droite avant de la simplifier. Cette ligne permet de distinguer une vraie transformation équivalente d'une ressemblance visuelle avec une formule connue.
Développer à nouveau pour contrôler les constantes
Développons les deux carrés : (x − 3)² = x² − 6x + 9 et (y + 2)² = y² + 4y + 4. L'équation centrée devient x² + y² − 6x + 4y + 13 = 25. En soustrayant 25, nous retrouvons x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0. Ce retour vérifie toutes les constantes, pas seulement les deux signes qui donnent le centre. Il établit que la nouvelle présentation conserve exactement l'expression initiale.
Le guide pour vérifier une réponse sans corrigé présente cette habitude de contrôler un calcul dans l'autre sens. Tu peux également substituer un point de la frontière dans l'équation de départ. Avec (8, −2), tu trouves 64 + 4 − 48 − 8 − 12 = 0. Si un point vérifie la forme transformée mais échoue dans l'originale, une étape a changé l'équation. Une esquisse peut suggérer une position plausible ; le développement et la substitution exacte apportent une vérification plus solide que cette impression graphique.
Normaliser un coefficient commun avant de lire le centre
L'équation 2x² + 2y² − 12x + 8y − 24 = 0 représente le même cercle. Pour le voir, divise chaque terme par 2 et retrouve notre exemple initial. Diviser uniquement les termes au carré ou oublier la constante modifierait l'égalité. Multiplier ou diviser une équation entière par un nombre non nul préserve ses solutions. Un facteur commun négatif peut également être retiré. L'opération doit concerner tous les termes, afin que la forme normalisée conserve les mêmes relations géométriques.
Dans une équation sans terme xy, des coefficients égaux et non nuls devant x² et y² signalent une possible forme de cercle après normalisation. Des coefficients différents décrivent généralement un autre type de conique. Ainsi, x² + 4y² = 16 représente une ellipse, avec des échelles quadratiques horizontale et verticale différentes après division par 16. Ce guide ne classe pas toutes les coniques tournées. Si un terme xy apparaît, ne suppose pas que la lecture directe d'une forme centrée de cercle reste applicable sans analyse supplémentaire.
Examiner le signe du rayon au carré
Après la complétion, regarde tout le membre de droite avant d'annoncer un cercle. Avec (x − 3)² + (y + 2)² = 25, sa valeur positive donne un cercle de rayon 5. Si le même membre de gauche est égal à zéro, les deux carrés doivent s'annuler simultanément. L'ensemble des solutions est alors le seul point (3, −2). Certains cours parlent d'un cercle dégénéré ; d'autres réservent le mot cercle à un rayon strictement positif. Décris la véritable solution géométrique pour éviter qu'une différence de vocabulaire masque le résultat.
Si le membre de droite vaut −1, aucun point réel ne convient. Une somme de deux carrés réels ne peut pas être négative. La quantité √(−1) ne fournit donc pas un rayon géométrique réel. Cela peut révéler une erreur de calcul, mais peut aussi être la réponse correcte. Par exemple, x² + y² − 6x + 4y + 14 = 0 conduit à (x − 3)² + (y + 2)² = −1. Recontrôle les constantes, puis conclus à l'ensemble vide dans le plan réel si elles sont exactes.
Distinguer la frontière circulaire et le disque
L'égalité (x − 3)² + (y + 2)² = 25 sélectionne les points situés exactement à cinq unités du centre. Avec ≤, elle inclut aussi les points intérieurs : il s'agit du disque fermé. Avec <, seuls les points strictement intérieurs restent. Un exercice portant sur une clôture circulaire, une zone couverte ou une distance autorisée peut donc employer le même centre et le même rayon tout en demandant des ensembles différents. Le symbole de comparaison fait partie du sens de la question.
Pour P = (4, −1), le carré de la distance au centre vaut 1² + 1² = 2, donc moins que 25. P est dans le disque, mais n'appartient pas au cercle. Pour Q = (9, −2), ce carré vaut 36 : Q est à l'extérieur. Aucune approximation décimale de racine n'est nécessaire pour comparer des distances non négatives par leurs carrés. Le guide pour lire une figure géométrique rappelle pourquoi les conditions écrites et les symboles doivent guider l'interprétation, même lorsque le dessin ou la zone colorée semble convaincant.
Retrouver la formule générale par le raisonnement
Pour x² + y² + Dx + Ey + F = 0, compléter les deux carrés donne (x + D/2)² + (y + E/2)² = D²/4 + E²/4 − F. Le centre est donc (−D/2, −E/2), tandis que le membre de droite représente le rayon au carré. Il faut encore distinguer les valeurs positive, nulle et négative. Cette formule suppose des coefficients égaux à un devant les carrés et l'absence de terme xy. Une normalisation complète peut donc être nécessaire avant son utilisation.
Ici, D = −6, E = 4 et F = −12. On obtient le centre (3, −2) et r² = 36/4 + 16/4 − (−12) = 9 + 4 + 12 = 25. La dernière soustraction mérite une attention particulière : un F négatif contribue positivement à cette expression. La formule résume la complétion du carré ; elle ne remplace pas son explication. Si une version mémorisée te donne un autre résultat, développe l'équation proposée et compare chacun de ses coefficients avec ceux de l'originale.
Résoudre une équation modifiée sans modèle ouvert
Essaie d'abord x² + y² + 8x − 2y + 8 = 0 seul. Après avoir déplacé la constante, ajoute 16 pour les termes en x et 1 pour ceux en y, dans les deux membres. Tu dois obtenir (x + 4)² + (y − 1)² = 9. Le centre est (−4, 1) et le rayon vaut 3. Le point (−1, 1) est sur le cercle, contrairement au centre lui-même. Développe une nouvelle fois pour vérifier le retour de la constante initiale 8.
Explique ensuite chaque décision : les différences de coordonnées imposent les signes, l'ajout équilibré préserve l'équation et la racine non négative fournit le rayon. Eqora publie ce guide autonome ; aucune application n'est nécessaire pour le résoudre. Si tu consultes une aide, vérifie toi-même l'énoncé reconnu, la notation, les hypothèses et le résultat. Respecte les règles d'évaluation et ne prends pas une explication pour une garantie d'exactitude ou de notes. Une solution achevée identifie l'ensemble réel demandé et comporte un contrôle que tu peux justifier sans assistance.
