Trigonometrie · Ratgeber von Eqora
Sinussatz: Warum zwei Dreiecke möglich sind
Ordne Seiten ihren Gegenwinkeln zu, prüfe beide Arkussinus-Zweige und verwirf Kandidaten, die kein Dreieck bilden können.
Der Taschenrechner liefert einen Winkel, du ergänzt das Dreieck und bist fertig. Eine andere Lösung verwendet jedoch einen anderen Winkel bei denselben gegebenen Maßen. Beim Sinussatz kann das passieren, wenn zwei Seiten und der Gegenwinkel einer dieser Seiten bekannt sind. Der Hauptwert des Arkussinus ist zunächst nur ein Kandidat. Auch der Ergänzungswinkel kann passen, oder keiner der Kandidaten erfüllt die Geometrie. Die ursprünglichen Angaben entscheiden, wie viele Dreiecke möglich sind.
Wir betrachten euklidische Dreiecke mit positiven Seitenlängen und Winkeln strikt zwischen 0° und 180°. Im Hauptbeispiel gelten A = 30°, a = 5 cm und b = 8 cm; jeder Kleinbuchstabe bezeichnet die dem passenden Großbuchstaben gegenüberliegende Seite. Du kannst alles mit Papier und wissenschaftlichem Taschenrechner unabhängig von einer App lösen. Die Zahlenbeispiele sind eigene Konstruktionen. Die Schnurfotos der Küstenstation sind bildliche Anregungen, keine maßstabsgetreuen Zeichnungen oder Messungen dieser Dreiecke.
Eqora veröffentlicht diesen eigenständig nutzbaren Lernleitfaden. Eqora ist eine Lernhilfe, kein Ersatz für Prüfungsarbeit und keine Garantie für Richtigkeit oder Noten. Beachte die Regeln deines Kurses und prüfe Aufgabe, Notation, Voraussetzungen und Ergebnis. Gezählt werden verschiedene Seiten-Winkel-Lösungen, keine zusätzlichen Kopien durch Drehen oder Spiegeln eines ganzen Dreiecks. Eine überzeugende Skizze oder eine einzelne Taschenrechneranzeige ersetzt nicht die Kontrolle sämtlicher ursprünglicher Bedingungen.
Sinussatz: Ordne Seiten ihren Gegenwinkeln zu
Im Dreieck ABC liegt a gegenüber A, b gegenüber B und c gegenüber C. Der Sinussatz lautet a/sin A = b/sin B = c/sin C. Gleichwertig ist sin A/a = sin B/b = sin C/c. In der Formel steht der Sinus eines Winkels, nicht das Winkelmaß selbst. Verwende für die Seiten dieselbe Längeneinheit und für die trigonometrischen Funktionen eine durchgehend passende Winkeleinheit. Eine vertauschte Zuordnung kann trotz sauberer Arithmetik die falsche Aufgabe lösen.
Die englischsprachige Sinussatz-Darstellung von OpenStax erklärt die möglichen Fälle bei zwei Seiten und einem nicht eingeschlossenen Winkel. Unser A liegt der Seite a gegenüber und ist nicht der Zwischenwinkel der beiden bekannten Seiten a und b. Markiere zunächst die Gegenüber-Paare auf einer eigenen Skizze. Unser anschaulicher Trigonometrie-Leitfaden unterscheidet Seiten und Winkel; nimm hier aber keinen rechten Winkel an, nur weil du die Sinusfunktion ursprünglich an einem rechtwinkligen Dreieck kennengelernt hast.
Bestimme zuerst den Sinus und dann den Winkel
Verwende das bekannte Paar A = 30° und a = 5 cm mit b = 8 cm. Umstellen liefert sin B = b sin A/a = 8 × 0,5/5 = 0,8. Die Längeneinheiten kürzen sich; der Sinuswert ist dimensionslos. Prüfe seinen Wertebereich vor dem Arkussinus: Der Sinus eines inneren Dreieckswinkels muss positiv und höchstens 1 sein. Einen Wert über 1 kannst du nicht durch die Wahl eines anderen Arkussinus-Zweigs reparieren.
Rechne hier im Gradmodus. Der Hauptwert ergibt B_1 = arcsin(0,8) ≈ 53,130102°. Die auf vielen Rechnern verwendete Taste sin⁻¹ meint in diesem Zusammenhang den Arkussinus, nicht 1/sin B. Im Bogenmaß lautet derselbe Hauptwert ungefähr 0,927295 Radiant. Diesen Zahlenwert darfst du nicht als 0,927295° in eine Winkelsumme mit Gradangaben einsetzen. Halte die Winkeleinheit vom ersten Schritt bis zur abschließenden Kontrolle eindeutig fest.
Prüfe den Ergänzungswinkel als eigenen Kandidaten
Für Winkel zwischen 0° und 180° gilt sin B = sin(180° − B). Unser zweiter Kandidat ist deshalb B_2 = 180° − B_1 ≈ 126,869898°. Bestimme für beide den dritten Winkel: C_1 = 180° − 30° − B_1 ≈ 96,869898° und C_2 = 180° − 30° − B_2 ≈ 23,130102°. Beide sind strikt positiv; beide Kandidaten bestehen also die Winkelsummenprüfung. Kombiniere nicht B aus dem einen Zweig mit C aus dem anderen.
Nur den Hauptwert auszugeben würde hier eine gültige Lösung unterschlagen. Einen Ergänzungswinkel ohne Prüfung aufzulisten könnte umgekehrt eine unmögliche Lösung hinzufügen. Ist der Sinus exakt 1, liefern beide Ausdrücke denselben Winkel 90°: Das ist ein Kandidat, nicht zwei. Ein verbleibender Winkel null beschreibt eine entartete Anordnung und kein echtes Dreieck; ein negativer Restwinkel ist unmöglich. Jeder Zweig braucht einen eigenen zusammenpassenden Satz von Seiten und Winkeln.
Vervollständige beide Dreiecke und prüfe die Seitenordnung
Verwende c = a sin C/sin A = 10 sin C in Zentimetern. Der erste Zweig ergibt c_1 ≈ 9,928203 cm, der zweite c_2 ≈ 3,928203 cm. Die exakten Längen sind 4√3 + 3 und 4√3 − 3 cm. Berichte die vollständigen Zweige: (A, B_1, C_1) mit (a, b, c_1) sowie (A, B_2, C_2) mit (a, b, c_2). Zwei isolierte c-Werte sagen noch nicht, welche Winkel zum jeweiligen Dreieck gehören.
Im ersten Zweig ist C_1 der größte Winkel und c_1 die längste Seite. Im zweiten ist B_2 der größte Winkel und b = 8 cm die längste Seite. Beide besitzen positive Seiten und erfüllen die Dreiecksungleichungen. Eine unabhängige Kontrolle nutzt a² = b² + c² − 2bc cos A. Mit unseren Daten wird daraus c² − 8√3c + 39 = 0; die Lösungen sind genau 4√3 ± 3. Damit prüfst du die Längen ohne Wiederholung derselben Arkussinus-Rechnung.
Die Höhe erklärt den mehrdeutigen Fall bei spitzem A
Für das feste spitze A = 30° und b = 8 cm beträgt die relevante Höhe h = b sin A = 4 cm. Lege gedanklich die Seite b auf einen Schenkel von A und suche, wo eine Seite der Länge a von deren entferntem Endpunkt den anderen Schenkel erreicht. Ist a kürzer als die Höhe, reicht sie nicht heran. Bei a = h berührt sie den Schenkel einmal. Für h < a < b sind zwei Schnittpositionen möglich.
Unsere Seite a = 5 liegt zwischen 4 und 8 und erklärt damit die zwei Dreiecke. Der Lotfuß ist 8 cos 30° = 4√3 cm von A entfernt; der seitliche Abstand zu jedem Schnittpunkt beträgt √(5² − 4²) = 3 cm. Daraus folgen die Grundseiten 4√3 ± 3. Diese Fallunterscheidung gilt für einen spitzen gegebenen Winkel. Übertrage sie nicht unverändert auf ein stumpfes A und zähle keine Schnittpunkte hinter dem Ausgangsscheitel als zulässige Dreiecke mit.
Wann dieselbe Anordnung kein oder genau ein Dreieck erlaubt
Behalte A = 30° und b = 8 cm bei und ändere a. Für a = 3 cm erhältst du sin B = 4/3 > 1: Es existiert kein Dreieck. Für a = 4 cm gilt sin B = 1, also B = 90°, C = 60° und c = 4√3 cm: genau ein Dreieck. Arkussinus und Höhenprüfung stimmen überein. Runde 4/3 nicht auf 1 herunter, um aus widersprüchlichen Daten ein rechtwinkliges Dreieck zu erzeugen.
Für a = 8 cm ist sin B = 0,5. Die Kandidaten lauten 30° und 150°; der zweite lässt C = 0° übrig und entfällt. Nur B = 30°, C = 120° und c = 8√3 cm bleiben gültig. Allgemein muss einem gegebenen stumpfen Winkel die längste Seite gegenüberliegen. Schon diese Ordnung kann unmögliche Angaben vor detaillierter Arithmetik ausschließen. Positive Seitenlängen allein garantieren nicht, dass zwei Seiten und der gewünschte Winkel ein nicht entartetes Dreieck bilden.
Wähle die Methode nach den tatsächlich gegebenen Angaben
Bei zwei bekannten Winkeln und einer Seite bestimmst du zuerst den dritten Winkel und nutzt danach ein vollständiges Gegenüber-Paar im Sinussatz. Zulässige Winkel legen die Form fest, die Seite deren Maßstab. Zwei Seiten mit ihrem eingeschlossenen Winkel sind ein anderer Fall: Der Kosinussatz kann zunächst die dritte Seite liefern. Erzwinge keine Sinussatz-Proportion mit zwei unbekannten Größen, nur weil du die Formel wiedererkennst und sofort einsetzen möchtest.
Im SSW-Fall hilft eine Skizze, die Möglichkeiten zu ordnen, entscheidet sie aber nicht nach Augenmaß. Gibt die Aufgabe zusätzlich an, an welcher Ecke das Dreieck stumpfwinklig ist, prüfe diese Bedingung für die gültigen Zweige. Wählt keine Zusatzbedingung einen aus, gib beide an. Eine zufällig spitz aussehende Zeichnung ist kein weiterer Messwert. Das gilt ebenso bei ausdrücklich nicht maßstabsgetreuen Skizzen und bei nur näherungsweise angegebenen Messungen.
Runde erst nach der Prüfung der Kandidaten
Behalte sin B = 0,8 und genügend interne Genauigkeit beim Berechnen beider Zweige. Am Ende kannst du B mit 53,13° oder 126,87° angeben, die passenden C-Werte mit 96,87° oder 23,13° und c mit 9,93 cm oder 3,93 cm. Frühes Runden des ersten Arkussinus-Werts verändert sonst alle Folgeschritte. Nenne die gewählte Genauigkeit, statt gerundete Winkel und Längen als exakte Gleichheiten darzustellen.
Nahe einer Grenze wie a = h können gerundete reale Messwerte offenlassen, ob tatsächlich null, ein oder zwei Schnittpunkte vorliegen. Eine Angabe von 4,00 cm ist nicht automatisch eine mathematisch exakte 4 cm. Trenne exakte Schulaufgabenannahmen von Messunsicherheit. Unser Leitfaden zur Kontrolle ohne Lösungsheft empfiehlt eine zweite Darstellung. Verbinde hier Sinusverhältnisse, Winkelsumme und Seitenordnung und ergänze bei Bedarf die unabhängige Höhen- oder Kosinuskontrolle, statt nur dieselbe Tasteneingabe zu wiederholen.
Ändere die gegenüberliegende Seite und prüfe beide Zweige erneut
Versuche eigenständig A = 30°, a = 6 cm und b = 8 cm. Jetzt gilt sin B = 2/3, also B_1 ≈ 41,810315° und B_2 ≈ 138,189685°. Die Restwinkel sind ungefähr 108,189685° und 11,810315°, beide positiv. Die zugehörigen c-Werte betragen 4√3 + 2√5 ≈ 11,400339 cm und 4√3 − 2√5 ≈ 2,456067 cm. Halte jeden Zweig zusammen und kontrolliere ihn anhand der drei ursprünglichen Angaben, bevor du das Ergebnis übernimmst.
Erkläre vor dem Blick auf die frühere Rechnung, weshalb beide Lösungen existieren: Die Höhe bleibt 4 cm, und 4 < 6 < 8. Beschreibe dann, was sich ändern würde, wenn nur ein Kandidat einen positiven Restwinkel hätte. Die übertragbare Methode lautet nicht bloß Arkussinus drücken. Ordne Gegenüber-Paare zu, prüfe den Sinusbereich, untersuche alle relevanten Zweige und behalte nur vollständige Dreiecke mit sämtlichen geforderten Eigenschaften. So erkennst du sowohl fehlende als auch zusätzlich erfundene Lösungen.
