Trigonométrie · Guide Eqora
Loi des sinus : pourquoi deux triangles ?
Associez chaque côté à son angle opposé, examinez les deux branches de l’arcsinus et éliminez les candidats géométriquement impossibles.
Votre calculatrice fournit un angle ; vous complétez le triangle et vous vous arrêtez. Pourtant une autre réponse emploie un angle différent avec les mêmes mesures données. La loi des sinus peut produire cette situation lorsque deux côtés et un angle opposé à l’un d’eux sont connus. La valeur principale de l’arcsinus est d’abord un candidat. Un angle supplémentaire peut aussi convenir, ou aucun candidat ne satisfaire la géométrie. Les données initiales déterminent le nombre de triangles possibles.
Nous travaillons dans le plan euclidien, avec des côtés positifs et des angles strictement compris entre 0° et 180°. L’exemple principal donne A = 30°, a = 5 cm et b = 8 cm ; chaque côté minuscule est opposé à l’angle majuscule correspondant. Tout se résout sur papier avec une calculatrice scientifique, indépendamment d’une application. Les exemples sont des constructions originales. Les photos de cordes dans le poste côtier sont conceptuelles, sans échelle ni mesures de ces triangles.
Eqora publie ce guide utilisable de façon autonome. Eqora aide à apprendre, sans remplacer le travail d’examen ni garantir justesse ou notes. Respectez les règles du cours et vérifiez énoncé, notation, hypothèses et résultat. Nous comptons des solutions distinctes en côtés et angles, pas des copies obtenues en tournant ou en réfléchissant tout le triangle. Une esquisse convaincante ou un seul affichage de calculatrice ne remplace pas la vérification de chaque condition initiale.
Loi des sinus : associez côtés et angles opposés
Dans le triangle ABC, a est opposé à A, b à B et c à C. La loi des sinus donne a/sin A = b/sin B = c/sin C, ou encore sin A/a = sin B/b = sin C/c. La formule utilise le sinus de l’angle, pas sa mesure seule. Les longueurs doivent être exprimées dans des unités cohérentes, et les fonctions trigonométriques doivent suivre la convention angulaire choisie. Une association inversée peut résoudre une autre question malgré une arithmétique correcte.
La présentation d’OpenStax sur la loi des sinus, en anglais, décrit les possibilités avec deux côtés et un angle non compris, le cas CCA ambigu. Notre A est opposé à a : ce n’est pas l’angle compris entre les côtés connus a et b. Repérez d’abord les couples opposés sur votre propre esquisse. Notre guide visuel de trigonométrie distingue côtés et angles, mais ne supposez pas ici un angle droit simplement parce que vous avez découvert le sinus dans un triangle rectangle.
Isolez le sinus avant de chercher un angle
Utilisez le couple connu A = 30° et a = 5 cm avec b = 8 cm. On obtient sin B = b sin A/a = 8 × 0,5/5 = 0,8. Les unités de longueur se simplifient ; le sinus est sans dimension. Vérifiez son domaine avant d’appliquer une fonction réciproque : pour un angle intérieur d’un triangle, le sinus doit être positif et inférieur ou égal à 1. Un résultat supérieur à 1 ne se répare pas en choisissant une autre branche.
Ce guide utilise le mode degrés. La valeur principale est B_1 = arcsin(0,8) ≈ 53,130102°. La touche sin⁻¹ de nombreuses calculatrices désigne ici l’arcsinus, pas 1/sin B. En radians, la même valeur principale est environ 0,927295 radian ; il ne faut pas l’insérer comme 0,927295° dans une somme d’angles exprimée en degrés. Gardez une unité angulaire claire du premier calcul jusqu’à la vérification finale, sans changer de convention au milieu d’une branche.
Vérifiez séparément l’angle supplémentaire
Entre 0° et 180°, on a sin B = sin(180° − B). Le second candidat est donc B_2 = 180° − B_1 ≈ 126,869898°. Calculez l’angle restant dans chaque cas : C_1 = 180° − 30° − B_1 ≈ 96,869898° et C_2 = 180° − 30° − B_2 ≈ 23,130102°. Tous deux sont strictement positifs, donc les deux candidats passent le contrôle de la somme des angles. Ne mélangez pas B d’une branche avec C de l’autre.
Donner seulement la valeur principale oublierait ici une solution valide. À l’inverse, ajouter un angle supplémentaire sans le vérifier pourrait inventer une solution impossible. Si le sinus vaut exactement 1, les deux expressions donnent 90° : c’est un seul candidat, pas deux angles distincts. Un angle restant nul correspond à une configuration dégénérée, pas à un triangle ; un angle restant négatif est impossible. Chaque branche doit conserver son propre ensemble cohérent de mesures.
Complétez les deux triangles et comparez côtés et angles
Utilisez c = a sin C/sin A = 10 sin C en centimètres. La première branche donne c_1 ≈ 9,928203 cm ; la seconde, c_2 ≈ 3,928203 cm. Les longueurs exactes sont 4√3 + 3 et 4√3 − 3 cm. Présentez les branches complètes : (A, B_1, C_1) avec (a, b, c_1), puis (A, B_2, C_2) avec (a, b, c_2). Deux valeurs isolées de c ne précisent pas quels angles appartiennent à chaque triangle.
Dans la première branche, C_1 est le plus grand angle et c_1 le plus long côté. Dans la seconde, B_2 est le plus grand angle et b = 8 cm le plus long côté. Les deux ensembles ont des longueurs positives et vérifient les inégalités triangulaires. Un contrôle algébrique indépendant utilise a² = b² + c² − 2bc cos A. Nos données donnent c² − 8√3c + 39 = 0, dont les racines sont précisément 4√3 ± 3. Il vérifie les longueurs sans refaire le même calcul d’arcsinus.
Une hauteur explique le cas ambigu lorsque A est aigu
Pour l’angle aigu fixé A = 30° et b = 8 cm, la hauteur pertinente est h = b sin A = 4 cm. Imaginez b placé sur un côté de l’angle A, puis cherchez où un segment de longueur a partant de son extrémité éloignée rejoint l’autre demi-droite. Si a est plus court que la hauteur, il ne l’atteint pas. Si a égale la hauteur, il la touche une fois. Si h < a < b, deux positions d’intersection sont possibles.
Notre a = 5 se trouve entre 4 et 8, ce qui explique les deux triangles. Le pied de la perpendiculaire est à 8 cos 30° = 4√3 cm de A. Le décalage horizontal vers chaque intersection vaut √(5² − 4²) = 3 cm, d’où les bases 4√3 ± 3. Cette classification est donnée pour un angle connu aigu. Ne l’appliquez pas sans changement à un angle obtus et ne comptez pas les intersections situées derrière le sommet de départ.
Repérez les situations sans triangle ou avec un seul
Gardez A = 30° et b = 8 cm, mais changez a. Avec a = 3 cm, sin B = 4/3 > 1 : aucun triangle n’existe. Avec a = 4 cm, sin B = 1, donc B = 90°, C = 60° et c = 4√3 cm : un seul triangle. Le calcul et le raisonnement par la hauteur concordent. N’arrondissez pas 4/3 à 1 pour fabriquer un triangle rectangle à partir de données incompatibles.
Avec a = 8 cm, sin B = 0,5. Les candidats sont 30° et 150° ; le second laisse C = 0° et doit être rejeté. Seuls B = 30°, C = 120° et c = 8√3 cm subsistent. Plus généralement, un angle obtus connu doit faire face au plus long côté. Cet ordre permet parfois d’écarter des données impossibles avant les calculs détaillés. Des côtés positifs ne garantissent pas à eux seuls que les deux côtés et l’angle demandé forment un triangle non dégénéré.
Choisissez la méthode selon les informations réellement données
Deux angles connus et un côté permettent de trouver d’abord le troisième angle, puis d’utiliser la loi des sinus avec un couple opposé complet. Les angles admissibles déterminent la forme, et le côté fixe l’échelle. Deux côtés avec leur angle compris constituent une autre situation : la loi des cosinus peut d’abord fournir le troisième côté. Ne forcez pas une proportion de sinus contenant deux inconnues uniquement parce que sa formule vous semble familière.
Dans un cas CCA, une esquisse aide à organiser les possibilités, mais ne les tranche pas par l’apparence. Si l’énoncé précise que le triangle est obtus à un sommet donné, appliquez cette condition aux branches vérifiées. Si aucune condition supplémentaire ne choisit une branche, donnez les deux solutions valides. Un dessin qui paraît aigu n’est pas une mesure supplémentaire. Cette discipline vaut aussi pour une figure explicitement sans échelle ou pour des mesures seulement approximatives.
Arrondissez après avoir validé les candidats
Conservez sin B = 0,8 et suffisamment de précision interne pendant les deux branches. Vous pourrez finalement donner B à 53,13° ou 126,87°, les C correspondants à 96,87° ou 23,13°, et c à 9,93 cm ou 3,93 cm. Arrondir trop tôt le premier arcsinus décale les résultats suivants. Indiquez la précision retenue au lieu de présenter des angles et des longueurs approchés comme des égalités exactes.
Près d’une frontière comme a = h, des mesures physiques arrondies peuvent laisser indéterminé le nombre exact d’intersections. Une longueur annoncée de 4,00 cm n’est pas automatiquement un 4 cm mathématiquement exact. Distinguez les hypothèses exactes d’un exercice de l’incertitude de mesure. Notre guide pour vérifier une réponse sans corrigé recommande une seconde représentation : combinez ici rapports de sinus, somme des angles, ordre des côtés et, au besoin, le contrôle indépendant par la hauteur ou les cosinus.
Changez le côté opposé et résolvez encore les deux branches
Essayez seul A = 30°, a = 6 cm et b = 8 cm. Maintenant sin B = 2/3, donc B_1 ≈ 41,810315° et B_2 ≈ 138,189685°. Les angles restants valent environ 108,189685° et 11,810315°, tous deux positifs. Les c associés sont 4√3 + 2√5 ≈ 11,400339 cm et 4√3 − 2√5 ≈ 2,456067 cm. Conservez chaque branche ensemble et confrontez-la aux trois données initiales avant de l’accepter.
Expliquez l’existence des deux réponses avant de relire le calcul précédent : la hauteur reste 4 cm et 4 < 6 < 8. Décrivez ensuite ce qui changerait si un seul candidat avait un angle restant positif. La méthode transférable n’est pas simplement appuyer sur arcsinus. Elle consiste à associer les couples opposés, vérifier le domaine du sinus, examiner toutes les branches pertinentes et conserver seulement les triangles complets satisfaisant toutes les conditions. Ce raisonnement révèle autant une réponse oubliée qu’une solution ajoutée à tort.
