Álgebra · Guía de Eqora
Inecuaciones cuadráticas: intervalos en tu tarea
Las raíces marcan fronteras, no toda la respuesta. Comprueba signos, extremos y raíces dobles antes de escribir el conjunto solución.
Factorizas bien un polinomio, encuentras sus dos raíces y escribes esos números como respuesta de la tarea. El álgebra puede estar correcta, pero falta contestar la pregunta. Las inecuaciones cuadráticas piden los valores que hacen verdadera una comparación, normalmente intervalos enteros y no solo dos puntos. Las raíces organizan la búsqueda; el símbolo de desigualdad determina qué regiones y qué fronteras conservar.
Considera x² − x − 6 ≤ 0. Sus raíces son −2 y 3, pero 0 también satisface la desigualdad, porque −6 ≤ 0. Determinaremos el conjunto completo, justificaremos por qué basta probar un valor de cada intervalo y revisaremos casos donde cambia el patrón habitual. Si después de intentarlo queda una duda, Eqora puede ayudarte a examinar ese paso. La comprobación final será resolver otro ejercicio con la respuesta cerrada.
Eqora publica esta guía y recomienda su propia aplicación como apoyo al aprendizaje, no como producto clasificado por una evaluación independiente. No afirmamos haber realizado pruebas comparativas ni garantizamos exactitud o notas. Respeta las reglas del curso: Eqora no sustituye el trabajo de examen. Verifica el enunciado, la notación, las hipótesis y el resultado. Las fotografías del acuario son analogías conceptuales, no gráficas, dibujos a escala ni modelos numéricos de los ejercicios.
Empieza las inecuaciones cuadráticas comparando con cero
Trabaja en los números reales salvo que el enunciado limite el dominio. Reúne todos los términos en un miembro: x² ≤ x + 6 equivale a x² − x − 6 ≤ 0. Llama f(x) a ese polinomio. Ahora buscas el signo de f, no el signo de x por separado. Un número negativo puede producir un valor positivo del polinomio; por eso no debes marcar automáticamente la parte negativa de la recta al ver el símbolo ≤.
La factorización es f(x) = (x + 2)(x − 3). Desarrolla el producto para recuperar x² − x − 6 y comprobar el término central y la constante. Resolver f(x) = 0 da las fronteras −2 y 3. Las notas de intervalos y desigualdades de la UNAM relacionan la forma factorizada con el estudio de signos y la notación de intervalos. Nuestros ejemplos son propios: hallar las raíces es una etapa del razonamiento, no necesariamente la respuesta final.
Determina el signo en cada región
Ordena las raíces y escribe los tres intervalos abiertos: (−∞, −2), (−2, 3) y (3, ∞). Cuando x < −2, tanto x + 2 como x − 3 son negativos, de modo que su producto es positivo. Entre −2 y 3, el primer factor es positivo y el segundo negativo: el producto es negativo. Por encima de 3 ambos factores son positivos. Examina cada factor antes de combinar los signos de la multiplicación.
Puedes usar −3, 0 y 4 como representantes. Sustituidos en el polinomio original dan 6, −6 y 6, respectivamente. Sirven para detectar errores, pero tres sustituciones aisladas no demuestran por sí solas que encontraste todas las soluciones. La justificación es estructural: cada factor lineal mantiene su signo mientras no atraviese su único cero. Por eso el producto conserva un signo no nulo constante dentro de cada intervalo que no contiene raíces.
Decide por separado si entran los extremos
La condición f(x) ≤ 0 admite los valores negativos y el cero. Conserva el intervalo central e incluye ambas raíces porque f(−2) = f(3) = 0. La respuesta es [−2, 3], equivalente a −2 ≤ x ≤ 3. Si el problema dijera f(x) < 0, serviría la misma región abierta, pero no sus extremos: (−2, 3). Los corchetes comunican inclusión; no sustituyen el estudio del signo de los valores cercanos.
Para f(x) > 0 se eligen las dos regiones exteriores: (−∞, −2) ∪ (3, ∞). La unión significa que sirve cualquiera de las dos, no que un número deba pertenecer a ambas simultáneamente. Para f(x) ≥ 0 se agregan las raíces: (−∞, −2] ∪ [3, ∞). El infinito no es un número real que pueda incluirse como extremo. Usa siempre un paréntesis abierto junto a ±∞ y traduce tu notación a una frase.
No dividas entre un factor de signo desconocido
Dividir (x + 2)(x − 3) ≤ 0 entre x − 3 sin separar casos no es válido. Ese factor es negativo por debajo de 3, positivo por encima y cero en 3. Según el valor de x, la división invertiría la desigualdad, mantendría su sentido o no estaría definida. La tabla de signos evita ese atajo circular y conserva la posibilidad de incluir x = 3 en lugar de perderla sin explicación.
Una constante negativa conocida plantea otra situación. En −2x² + 2x + 12 ≥ 0, dividir ambos miembros entre −2 invierte el símbolo y deja x² − x − 6 ≤ 0. La solución vuelve a ser [−2, 3]. También puedes multiplicar por −2 el patrón anterior y elegir valores no negativos. Las dos rutas deben coincidir. Nuestra guía para verificar respuestas sin solucionario propone comparar representaciones distintas en vez de repetir una transformación dudosa.
Revisa raíces dobles y ausencia de raíces reales
Un factor al cuadrado no cambia de signo al pasar por cero. Para (x − 1)² ≤ 0, la única solución es x = 1 porque cualquier cuadrado es no negativo. Con (x − 1)² < 0 no hay solución real; con > 0 sirven todos los reales salvo 1; con ≥ 0 sirven todos los reales. A los dos lados de una raíz doble aparece el mismo signo. No alternes signos mecánicamente en cada punto señalado.
También puede no haber raíces reales. La desigualdad x² + 4 < 0 no tiene solución real, pues x² + 4 es al menos 4. En cambio, x² + 4 > 0 se cumple para todo número real. Un discriminante negativo indica que la ecuación cuadrática no tiene raíces reales; no dice que cualquier desigualdad asociada carezca de solución. Aún debes conocer el signo constante del polinomio y compararlo con lo pedido. Completar el cuadrado puede hacer visible ese signo.
Pregunta a Eqora por una decisión concreta
Haz primero tu intento, conservando el símbolo original, el paso a cero, la factorización, las fronteras ordenadas y los signos. Si tu curso permite ayuda con IA, captura un ejercicio completo y legible junto con las pocas líneas donde aparece la duda. Deja los datos personales fuera de la imagen. Nuestra guía para fotografiar matemáticas explica por qué recortar un símbolo, perder un exponente u omitir un signo menos puede cambiar el problema desde el comienzo.
En Eqora, comprueba que la captura diga realmente ≤ y no <, y que aparezca todo el polinomio. Revisa los pasos propuestos y compáralos con tu trabajo. Una pregunta útil es: «¿Por qué sirve el intervalo central en (x + 2)(x − 3) ≤ 0 y por qué se incluyen ambas raíces?». Pide los signos de cada factor en x = 0 y una revisión separada de los extremos. Explica la respuesta con tus palabras y verifica la justificación.
Si una explicación solo entrega las raíces, cambia de signo en una raíz doble o elimina un extremo válido, no la copies. Vuelve al enunciado, al argumento de signos o al método de tu profesor. Los ejemplos pueden resolverse en papel sin herramientas de pago; eso no afirma que todas las funciones de una aplicación ni el uso ilimitado sean gratuitos. Cuando entiendas la decisión, cierra la respuesta y comprueba lo aprendido con un problema nuevo.
Conserva fronteras exactas y el dominio del problema
No todas las fronteras son enteras. En x² − 2 < 0, las raíces son −√2 y √2 y la respuesta es (−√2, √2). Conserva los radicales exactos en vez de sustituirlos por decimales redondeados. Un boceto o una pantalla pueden sugerir la región, pero no decidir con fiabilidad un valor muy cercano al extremo. La forma algebraica y el carácter estricto de la comparación original resuelven esa cuestión sin depender de la resolución de una gráfica.
Si el enunciado exige x ≥ 0, intersecta la respuesta algebraica con [0, ∞). El primer resultado [−2, 3] se convierte entonces en [0, 3]. Si además x debe ser entero, las posibilidades son 0, 1, 2 y 3. Estas restricciones vienen del contexto, no de la fórmula cuadrática. Una respuesta correcta sobre los reales todavía puede necesitar una última selección cuando el problema describe cantidades contables o medidas físicas.
Resuelve otro ejemplo con la respuesta cerrada
Intenta por tu cuenta 2x² − 5x − 3 > 0. La factorización es (2x + 1)(x − 3); al desarrollarla recuperas el polinomio original. Las raíces ordenadas son −1/2 y 3. Los representantes −1, 0 y 4 producen los valores 4, −3 y 9. El patrón es positivo, negativo, positivo, por lo que la desigualdad estricta selecciona (−∞, −1/2) ∪ (3, ∞). Ninguna raíz entra: en ambas el polinomio vale cero.
Justifica los signos sobre intervalos completos y sustituye los extremos aparte. Prueba un valor excluido además de uno aceptado; comprobar únicamente valores de la solución podría ocultar una región elegida de más. Finalmente explica por qué respondes con dos intervalos, por qué sus extremos son abiertos y por qué el infinito no se incluye. Saber justificar esas decisiones con coeficientes distintos demuestra más aprendizaje que reproducir la última línea de una aplicación.
