Álgebra · Guia do Eqora
Inequação quadrática: intervalos na tarefa
As raízes indicam fronteiras, não a resposta inteira. Confira sinais, extremos e raízes duplas antes de escrever o conjunto solução.
Você fatora corretamente um polinômio, encontra duas raízes e entrega esses números como resposta da tarefa. A conta pode estar certa, mas a pergunta ainda não foi respondida. Uma inequação quadrática pede os valores que tornam uma comparação verdadeira, geralmente intervalos inteiros em vez de dois pontos isolados. As raízes organizam a busca; o símbolo da desigualdade determina quais regiões e quais fronteiras devem permanecer no conjunto solução.
Considere x² − x − 6 ≤ 0. As raízes são −2 e 3, mas 0 também satisfaz a desigualdade, pois −6 ≤ 0. Vamos determinar o conjunto completo, justificar por que basta testar um valor em cada intervalo e analisar casos que mudam o padrão habitual. Se uma passagem continuar confusa depois da sua tentativa, use o Eqora para investigar essa decisão e depois resolva outro problema sem deixar a resposta aberta.
O Eqora publica este guia e recomenda seu próprio aplicativo como apoio ao aprendizado, não como produto classificado por uma avaliação independente. Não apresentamos testes comparativos nem garantias de acerto ou notas. Respeite as regras do curso: o Eqora não substitui o trabalho de prova. Confira enunciado, notação, hipóteses e resultado. As fotografias do aquário são analogias conceituais, não gráficos, desenhos em escala ou modelos numéricos dos exercícios.
Comece a inequação quadrática comparando com zero
Trabalhe nos números reais, salvo quando o enunciado limitar o domínio. Reúna todos os termos no mesmo membro: x² ≤ x + 6 equivale a x² − x − 6 ≤ 0. Chame esse polinômio de f(x). Agora você procura o sinal de f, não o sinal de x isoladamente. Uma entrada negativa pode produzir um valor positivo do polinômio; portanto, não marque automaticamente a parte negativa da reta apenas porque apareceu o símbolo ≤.
A fatoração é f(x) = (x + 2)(x − 3). Desenvolva o produto para recuperar x² − x − 6 e conferir tanto o termo central quanto a constante. Resolver f(x) = 0 fornece as fronteiras −2 e 3. A aula de inequações quadráticas da West Texas A&M, em inglês, separa a localização das fronteiras do teste dos intervalos. Usamos exemplos próprios: as raízes são pontos de referência, não necessariamente a resposta completa.
Determine o sinal em todos os intervalos
As raízes ordenadas dividem a reta em (−∞, −2), (−2, 3) e (3, ∞). Quando x < −2, os fatores x + 2 e x − 3 são negativos, de modo que o produto é positivo. Entre −2 e 3, o primeiro fator é positivo e o segundo negativo, produzindo um resultado negativo. Acima de 3, ambos são positivos. Leia o sinal de cada fator antes de aplicar a regra de sinais da multiplicação.
Escolha representantes convenientes: −3, 0 e 4. A substituição no polinômio original produz 6, −6 e 6, respectivamente, de acordo com os sinais dos fatores. Esses testes ajudam a encontrar erros, mas algumas substituições isoladas não demonstram que a solução está completa. A justificativa é estrutural: cada fator linear conserva seu sinal até passar pelo próprio zero. Por isso o produto mantém um sinal não nulo constante no interior de cada intervalo sem raízes.
Decida os extremos separadamente das regiões abertas
A condição f(x) ≤ 0 aceita valores negativos e também zero. Mantenha o intervalo central e inclua as duas raízes, pois f(−2) = f(3) = 0. A resposta é [−2, 3], ou seja, −2 ≤ x ≤ 3. Se a questão pedisse f(x) < 0, a região aberta seria a mesma, mas as raízes ficariam de fora: (−2, 3). Os colchetes indicam inclusão; eles não determinam o sinal dos valores próximos da fronteira.
Para f(x) > 0, escolha as duas regiões externas: (−∞, −2) ∪ (3, ∞). A união significa que qualquer uma dessas regiões serve; não exige que um número esteja nas duas ao mesmo tempo. Com f(x) ≥ 0, inclua as raízes: (−∞, −2] ∪ [3, ∞). O infinito não é um número real que possa pertencer ao conjunto como extremo. Use sempre parêntese aberto junto de ±∞ e confira a notação com uma frase.
Não divida por um fator de sinal desconhecido
Dividir (x + 2)(x − 3) ≤ 0 por x − 3 sem separar casos é um atalho inválido. Esse fator é negativo abaixo de 3, positivo acima e zero em 3. Conforme o valor de x, a divisão inverteria o sentido da desigualdade, manteria o sentido ou nem estaria definida. O quadro de sinais evita esse raciocínio circular e preserva a possibilidade de incluir x = 3, em vez de descartar essa fronteira sem justificativa.
Uma constante negativa conhecida é outra situação. Em −2x² + 2x + 12 ≥ 0, dividir ambos os membros por −2 inverte o símbolo e resulta em x² − x − 6 ≤ 0. A solução volta a ser [−2, 3]. Você também pode multiplicar o padrão anterior por −2 e selecionar valores não negativos. Os caminhos precisam concordar. Nosso guia para conferir respostas sem gabarito incentiva a comparação de representações diferentes, não a repetição da mesma passagem duvidosa.
Confira raízes duplas e a falta de raízes reais
Um fator ao quadrado não muda de sinal ao passar por zero. Para (x − 1)² ≤ 0, somente x = 1 serve, porque todo quadrado é não negativo. Com (x − 1)² < 0 não existe solução real; com > 0 servem todos os reais, exceto 1; com ≥ 0 servem todos os reais. Os dois lados de uma raiz dupla têm o mesmo sinal. Portanto, não alterne sinais mecanicamente em cada ponto marcado na reta.
Também é possível não haver raízes reais. A inequação x² + 4 < 0 não tem solução real, pois x² + 4 vale pelo menos 4. Já x² + 4 > 0 é verdadeira para todo número real. Um discriminante negativo informa que a equação quadrática não tem raízes reais; não significa que toda desigualdade associada fica sem solução. Ainda é necessário conhecer o sinal constante do polinômio e a comparação solicitada. Completar o quadrado pode deixar esse sinal evidente.
Use o Eqora para investigar uma escolha específica
Faça primeiro sua tentativa, registrando o símbolo original, a comparação com zero, a fatoração, as fronteiras em ordem e os sinais. Se o curso permitir ajuda com IA, capture um exercício completo e legível junto das poucas linhas que contêm sua dúvida. Deixe dados pessoais fora da imagem. Nosso guia de fotos de matemática explica por que cortar o símbolo da desigualdade, perder um expoente ou omitir um sinal de menos já pode transformar a pergunta em outra.
No Eqora, confira se a tarefa capturada realmente diz ≤, e não <, e se o polinômio está inteiro. Examine os passos propostos e compare com sua conta. Faça uma pergunta focada: «Por que o intervalo central serve em (x + 2)(x − 3) ≤ 0 e por que as duas raízes entram?». Peça os sinais dos fatores em x = 0 e uma verificação separada dos extremos. Explique a resposta com suas palavras e confira a justificativa matemática.
Se a explicação entregar apenas as raízes, trocar o sinal numa raiz dupla ou perder um extremo válido, não copie. Volte ao enunciado, ao argumento de sinais ou ao método do professor. Os exemplos podem ser feitos no papel sem ferramenta paga; isso não afirma que todos os recursos de um aplicativo ou o uso ilimitado sejam gratuitos. Quando a decisão estiver clara, feche a resposta e resolva o próximo exercício para testar o que você realmente reteve.
Preserve fronteiras exatas e o domínio solicitado
Nem toda fronteira é inteira. Em x² − 2 < 0, as raízes são −√2 e √2, resultando em (−√2, √2). Conserve as raízes exatas em vez de substituí-las por decimais arredondados. Um esboço ou uma tela podem sugerir a região, mas não decidir com segurança um valor muito perto do extremo. A expressão algébrica e o caráter estrito da comparação original resolvem a questão sem depender da resolução visual de um gráfico.
Quando o problema exige x ≥ 0, faça a interseção da resposta algébrica com [0, ∞). A primeira solução [−2, 3] passa a ser [0, 3]. Se x também precisa ser inteiro, as possibilidades são 0, 1, 2 e 3. Essas restrições vêm do contexto, não da fórmula das raízes. Um intervalo correto nos reais ainda pode exigir uma seleção final em questões de contagem ou de medidas físicas. Escreva explicitamente essa última condição.
Resolva outro polinômio com a resposta fechada
Tente sozinho 2x² − 5x − 3 > 0. A fatoração é (2x + 1)(x − 3); desenvolvê-la recupera o polinômio original. As raízes ordenadas são −1/2 e 3. Use −1, 0 e 4 como representantes: os valores do polinômio são 4, −3 e 9. O padrão positivo, negativo, positivo seleciona (−∞, −1/2) ∪ (3, ∞). Nenhuma fronteira pertence à solução porque o símbolo é estrito e as duas raízes produzem zero.
Justifique os sinais em intervalos completos e substitua as raízes separadamente. Teste um valor rejeitado além de um valor aceito; verificar somente valores da solução pode esconder uma região incluída indevidamente. Por fim, explique por que a resposta tem dois intervalos em vez de duas raízes, por que os extremos são abertos e por que infinito não está incluído. Justificar essas escolhas com coeficientes diferentes é o objetivo do aprendizado, não reproduzir a última linha de uma resposta automática.
