Dénombrement et probabilités · Guide Eqora
Combinaisons : quand l’ordre change-t-il le résultat ?
Choisir une équipe et lui attribuer des rôles ne revient pas au même. Retrouvez la formule et vérifiez les sélections soumises à des conditions.
Huit volontaires sont disponibles et vous devez former une équipe de trois personnes. Le produit 8 × 7 × 6 donne 336, alors qu’il n’existe que 56 équipes différentes. Ces deux calculs ne comptent pas le même objet : le produit distingue une première, une deuxième et une troisième personne, tandis qu’une équipe ne conserve que ses membres. Les combinaisons permettent de retirer les ordres répétés sans supprimer de groupe réellement différent. Commencez donc par définir un résultat complet.
Nous compterons d’abord les choix ordonnés, puis nous montrerons pourquoi chaque équipe apparaît six fois. La formule du coefficient binomial découlera de ce raisonnement. Nous modifierons ensuite les règles : rôles nommés, qualifications exigées, choix répétés et stocks limités. Tous les exemples se résolvent sur papier, sans application. La compétence essentielle n’est pas de reconnaître un mot associé à une touche de calculatrice, mais de décider si deux descriptions désignent ou non la même possibilité.
Eqora publie ce guide comme aide à l’apprentissage, et non comme remplacement du travail d’examen ou garantie de résultat ou de note. Vérifiez l’énoncé, la notation, les hypothèses et la réponse. Les photographies du désert illustrent le choix, le regroupement et la disposition d’objets. Ce ne sont pas des schémas numériques : ni le nombre ni la couleur des mousquetons visibles ne définissent les données. Les calculs utilisent uniquement les personnes et objets fictifs explicitement annoncés.
Les combinaisons comptent des groupes, pas leur histoire
Supposons les huit volontaires distincts, sans possibilité de choisir deux fois la même personne dans une équipe. Notons A, B et C trois membres sélectionnés. Les listes ABC et BAC décrivent la même équipe si tous les membres ont le même statut. Changer leur ordre d’écriture ne change pas leur appartenance. Même si le choix se déroule successivement, le résultat final peut rester un ensemble non ordonné. La chronologie du geste ne suffit donc pas à choisir le modèle de dénombrement.
Demandez-vous quelle information doit subsister. Une équipe conserve ses membres ; un podium conserve aussi leurs places. Un comité avec une présidence conserve encore un rôle particulier. Le verbe « choisir » peut figurer dans les trois énoncés et ne tranche donc pas la question. Notre guide pour interpréter un problème rédigé aide à séparer le résultat demandé des détails du récit. Décrivez une seule possibilité admissible avant de chercher combien de possibilités existent au total.
Des rôles distincts rendent les places importantes
Trois volontaires différents doivent maintenant assurer la navigation, le compte rendu et la coordination. Il existe huit choix pour la navigation, sept choix restants pour le compte rendu, puis six pour la coordination. Le principe multiplicatif donne 8 × 7 × 6 = 336 affectations. Échanger les deux premiers rôles change le résultat, même si les membres restent identiques. En français, on parle d’arrangements sans répétition ; une permutation désigne généralement l’ordre de tous les éléments disponibles.
Pour remplir k places distinctes à partir de n objets distincts sans réutilisation, le produit est n(n − 1)…(n − k + 1). Il comporte k facteurs, et non n facteurs. L’écriture n!/(n − k)! abrège ce produit. Si tous les objets sont placés, k = n et le résultat vaut n!. Ici, employer 8! compterait aussi les ordres des cinq volontaires non sélectionnés. Ces ordres supplémentaires ne font pourtant pas partie des trois rôles demandés dans l’énoncé.
Pourquoi diviser par la factorielle du nombre choisi
L’équipe fixe formée de A, B et C apparaît dans six listes : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB et CBA. Il existe 3 × 2 × 1 = 3! ordres. Chaque équipe de trois personnes distinctes produit exactement autant de listes. Les 336 arrangements se répartissent donc en groupes de six : C(8,3) = 336/6 = 56. La division se justifie par une multiplicité uniforme, pas par l’impression qu’un résultat est trop grand ou qu’une question sans ordre nécessite toujours une correction.
Pour des entiers tels que 0 ≤ k ≤ n, on obtient C(n,k) = n!/[k!(n − k)!]. Cette quantité est aussi notée par un coefficient binomial, lu « k parmi n ». Le cours MathSV de Lyon 1 présente la distinction entre arrangements et combinaisons. Dans notre exemple, k! retire les ordres des membres choisis, tandis que (n − k)! simplifie les facteurs inutiles de n!. Nous utilisons ici k pour la taille de sélection ; d’autres cours emploient p pour la même quantité.
Simplifiez les factorielles et testez les cas limites
Pour choisir trois objets distincts parmi dix, simplifiez avant de calculer : C(10,3) = (10 × 9 × 8)/(3 × 2 × 1) = 120. Il est inutile de développer deux longues factorielles. Un nombre de combinaisons est un entier positif ou nul. Une fraction finale signale une erreur de calcul ou un modèle inadapté. Gardez le dénominateur groupé : diviser seulement le dernier facteur par trois n’équivaut pas à diviser tout le numérateur par six.
Il existe une seule manière de ne rien sélectionner et une seule manière de tout prendre : C(n,0) = C(n,n) = 1. Il ne s’agit pas de zéro possibilité. La convention 0! = 1 rend la formule cohérente avec ces cas. Si k > n et qu’aucune réutilisation n’est permise, la sélection est impossible et son nombre vaut zéro ; n’introduisez pas une factorielle négative dans cette formule élémentaire. Vérifiez également que n et k sont bien des nombres entiers d’objets.
Comptez les exclus pour vérifier autrement
Choisir trois volontaires parmi huit détermine exactement les cinq personnes écartées. Réciproquement, connaître les cinq exclus détermine l’équipe. Ainsi C(8,3) = C(8,5) = 56. Cette égalité repose sur une correspondance un à un, et non sur une coïncidence numérique. Pour simplifier les produits, vous pouvez souvent utiliser le plus petit des nombres k et n − k. Cela ne signifie pas qu’une équipe de trois et son groupe complémentaire de cinq contiennent les mêmes personnes.
Une autre vérification distingue les équipes selon la présence d’une personne A. Si A participe, il reste à choisir deux personnes parmi sept : C(7,2) = 21. Si A ne participe pas, on en choisit trois parmi sept : C(7,3) = 35. Ces cas sont disjoints et couvrent toutes les équipes, donc 21 + 35 = 56. Notre guide pour vérifier une réponse sans corrigé encourage ces raisonnements différents plutôt que la répétition d’une même saisie de factorielles sur une calculatrice.
Respectez les conditions avant de réunir les cas
Trois des huit volontaires possèdent maintenant une certification, les cinq autres non. Pour une équipe comprenant exactement deux personnes certifiées, choisissez deux personnes dans le premier groupe et une dans le second. On obtient C(3,2) × C(5,1) = 3 × 5 = 15 équipes. On multiplie parce que chaque paire admissible peut être associée à chacune des cinq autres personnes. Ne multipliez pas encore par trois pour placer cette dernière : aucune position n’appartient à la définition de l’équipe.
Pour au moins une personne certifiée, le complément est plus court : C(8,3) − C(5,3) = 56 − 10 = 46. Vérifiez avec des cas sans chevauchement. Exactement une personne certifiée donne C(3,1)C(5,2) = 30 ; exactement deux donnent 15 ; exactement trois donnent une équipe. La somme vaut 46. « Au moins une » diffère donc de « exactement une » : une équipe avec deux personnes certifiées satisfait la première condition, mais pas la seconde.
Les répétitions changent le modèle
La formule ordinaire C(n,k) suppose que chaque objet distinct est choisi au plus une fois. Pour trois places ordonnées et quatre symboles réutilisables, il existe 4³ = 64 suites. Si seules les quantités des quatre types comptent, on obtient plutôt C(6,3) = 20 sélections non ordonnées avec répétition. Imaginez trois marques identiques et trois séparateurs : les quatre espaces déterminent les quantités des quatre types. Un espace vide correspond à une quantité nulle, ce qui reste autorisé.
Ne cherchez pas ces 20 sélections en divisant 64 par 3!. Trois symboles différents possèdent six ordres, deux identiques et un différent en possèdent trois, trois identiques n’en possèdent qu’un. Il n’existe pas de multiplicité commune à supprimer. Des types réutilisables sans limite diffèrent aussi d’objets physiques pris dans un stock limité. Si l’énoncé plafonne certaines quantités ou rend des objets indiscernables, écrivez ces règles et construisez les cas correspondants au lieu d’appliquer une formule par habitude.
Un dénombrement ne garantit pas l’équiprobabilité
Si chacune des 56 équipes de trois personnes est équiprobable, la probabilité d’obtenir exactement deux personnes certifiées est 15/56. Le numérateur et le dénominateur comptent la même sorte de résultat : des équipes non ordonnées. Écrire 15/336 mélangerait équipes et affectations ordonnées. On peut choisir de compter des triplets ordonnés, mais il faut alors compter aussi les triplets favorables : 15 × 6 = 90. On retrouve ainsi 90/336 = 15/56.
L’équiprobabilité est une hypothèse supplémentaire, pas une conséquence du total. Une procédure qui inclut systématiquement une personne nommée ne donne pas les mêmes chances aux 56 équipes. En revanche, tirer successivement trois personnes distinctes avec des chances égales à chaque étape rend les équipes équiprobables : chacune possède six histoires ordonnées de même probabilité. Si les poids ou les règles de sélection diffèrent, utilisez le mécanisme aléatoire annoncé. Compter les possibilités ne permet pas d’inventer les probabilités manquantes.
Recommencez avec sept personnes et une autre règle
Sans regarder l’exemple précédent, formez une équipe de deux personnes parmi sept volontaires distincts. Sans rôle ni réutilisation, C(7,2) = 7 × 6 / 2 = 21. Avec deux rôles nommés, il existe 42 affectations. Expliquez le facteur deux en échangeant les deux membres. Si deux volontaires sont certifiés et cinq ne le sont pas, exactement une personne certifiée donne C(2,1)C(5,1) = 10 équipes ; au moins une donne 21 − C(5,2) = 11.
La paire de personnes certifiées explique la différence entre dix et onze. Pour un petit effectif, une liste complète fournit encore une vérification : avec quatre personnes, AB, AC, AD, BC, BD et CD sont les six équipes de deux. Si inverser les noms double votre liste, revenez à la définition du résultat. Terminez par une phrase précisant population, taille du choix, rôles, réutilisation et contraintes. Cette phrase justifie la formule plus clairement qu’une abréviation de calculatrice laissée seule.
