Algèbre · Guide Eqora
Devoirs de maths : compléter le carré sans deviner
Retrouve le terme manquant à partir du coefficient de x, préserve l'égalité et vérifie seul une nouvelle équation du second degré.
Devoirs de maths : compléter le carré ne consiste pas à deviner le nombre manquant. Dans x² − 8x = 9, faut-il ajouter 4, 8, 16 ou une valeur calculée avec le 9 de droite ? Il faut trouver le terme qui transforme x² − 8x en carré d'un binôme, tout en conservant la même équation. Ce terme est 16, car x² − 8x + 16 = (x − 4)². Une fois cette identité comprise, le calcul devient contrôlable.
Nous allons justifier cette valeur en développant un carré, résoudre l'équation, vérifier ses deux racines, puis traiter un coefficient devant x². Nous distinguerons aussi la résolution d'une équation de la mise sous forme canonique d'une expression. Les carreaux de céramique photographiés suggèrent un angle à remplir ; ils ne représentent pas exactement les aires algébriques. Après l'explication, Eqora peut aider sur une seule étape douteuse : photographier l'énoncé entier, comparer les symboles reconnus, examiner les étapes, poser une question précise et résoudre une variante sans regarder l'écran.
Cet article est publié par l'éditeur d'Eqora ; c'est la seule application recommandée ici. Une application peut expliquer un passage, mais ne garantit ni la lecture d'un signe manuscrit, ni la justesse de chaque calcul, ni le respect de la méthode exigée par ton enseignant. Fais d'abord une tentative personnelle, respecte les règles de ton établissement et contrôle l'énoncé, les hypothèses, les opérations et les réponses. Eqora est une aide à l'apprentissage, pas un remplaçant pour un examen ni une promesse de note.
Devoirs de maths : compléter le carré par l'identité
Développe (x + h)² : on obtient x² + 2hx + h². Le coefficient du terme en x vaut deux fois h. Pour que x² + px devienne le début d'un carré parfait, il faut donc choisir h = p/2. Le terme final est alors h² = (p/2)². Voilà pourquoi on prend la moitié du coefficient de x avant de l'élever au carré. Ce n'est pas une formule sortie de nulle part : elle se déduit de la multiplication et se retrouve chaque fois qu'on développe la parenthèse.
Dans x² − 8x, le coefficient signé est p = −8. Sa moitié vaut −4 et son carré vaut 16. On a bien x² − 8x + 16 = (x − 4)². Développe le membre de droite pour vérifier : x² − 4x − 4x + 16 redonne exactement l'expression complétée. Écrire (x − 8)² serait tentant, mais son terme du milieu serait −16x. Le coin vide visible sur la photographie donne une intuition géométrique ; seule l'identité algébrique permet d'établir la valeur exacte de 16.
Dans une équation, il faut conserver l'équilibre
Reprenons l'exercice x² − 8x = 9. Ajouter 16 seulement à gauche changerait l'ensemble des solutions. Écris donc x² − 8x + 16 = 9 + 16, puis (x − 4)² = 25. En prenant les racines, on obtient deux possibilités : x − 4 = 5 ou x − 4 = −5. Les solutions sont x = 9 et x = −1. Le signe ± n'est pas facultatif : 5 et −5 ont le même carré. La ligne avec 9 + 16 explique à elle seule d'où vient le 25 ; il ne doit pas apparaître mystérieusement dans la copie.
Vérifie dans l'équation de départ, pas seulement dans la dernière ligne. Pour x = 9, 9² − 8·9 = 81 − 72 = 9. Pour x = −1, (−1)² − 8(−1) = 1 + 8 = 9. Les deux valeurs conviennent. Si tu as obtenu x = 4 ± 5 mais n'as gardé que 9, tu as perdu une branche lors de l'extraction de la racine. Si une valeur proposée ne redonne pas 9, remonte jusqu'à la première ligne où un signe ou un seul membre a été modifié.
Le signe du terme en x choisit la parenthèse
Considère maintenant x² + 6x = 7. La moitié de +6 est +3 ; son carré est 9. Ajoute 9 à chacun des membres pour obtenir (x + 3)² = 16. Ainsi x + 3 vaut 4 ou −4, d'où x = 1 ou x = −7. Le signe dans la parenthèse est positif parce que le terme en x est positif. Le nombre ajouté reste lui aussi positif : le carré de +3 comme celui de −3 vaut 9. Il faut séparer mentalement le signe de h dans le binôme et l'opération qui conserve l'égalité.
Deux pièges reviennent dans les exercices corrigés. Le premier consiste à prendre la moitié du nombre de droite, ou à élever 6 au carré sans le diviser par deux. Développe la parenthèse imaginée : (x + 6)² contient 12x, pas 6x. Le second consiste à retrancher 9 à droite parce qu'on voit un plus dans (x + 3)². Pour résoudre une équation, on ajoute 9 des deux côtés. Pour transformer une expression isolée, on ajoute et on retranche 9 à l'intérieur de cette même expression. Les deux gestes ne répondent pas à la même consigne.
Si le coefficient de x² n'est pas 1, commence par normaliser
La règle de la moitié s'applique directement lorsque le coefficient de x² est 1. Dans 2x² + 8x − 10 = 0, divise toute l'équation par 2, y compris le terme constant et le membre de droite. Cela donne x² + 4x − 5 = 0, puis x² + 4x = 5. La moitié de 4 vaut 2 ; ajoute donc 2² = 4 de chaque côté. Tu obtiens (x + 2)² = 9. Il en résulte x + 2 = ±3, puis x = 1 ou x = −5. Chaque opération porte sur une équation complète, pas sur un terme choisi au hasard.
La vérification se fait dans la forme initiale : pour x = 1, 2 + 8 − 10 = 0 ; pour x = −5, 50 − 40 − 10 = 0. Si tu prends la moitié de 8 avant de diviser l'équation, puis ajoutes 16 à la ligne normalisée, tu mélanges les coefficients de deux lignes différentes. On peut aussi factoriser 2 devant les termes en x et compléter un carré dans la parenthèse, mais le facteur extérieur doit alors s'appliquer à tous les termes de cette parenthèse. Diviser d'abord l'équation entière rend souvent la copie plus facile à relire.
Un carré négatif signifie : aucune racine réelle
La complétion du carré permet aussi de conclure qu'une équation n'a pas de solution réelle. Pour x² + 4x + 7 = 0, passe 7 à droite puis ajoute 4 aux deux membres. Il reste (x + 2)² = −3. Or le carré d'un nombre réel ne peut pas être négatif : il n'y a donc aucune racine réelle. Ne remplace pas discrètement −3 par +3 pour écrire x + 2 = ±√3 ; cela résoudrait une autre équation. Si ton cours étudie les nombres complexes, les solutions sont −2 ± i√3. Précise toujours l'ensemble de nombres demandé.
La fonction associée confirme cette conclusion : x² + 4x + 7 = (x + 2)² + 3. Sa valeur minimale réelle est 3 lorsque x = −2 ; sa courbe ne coupe donc pas l'axe horizontal. Le carré le démontre. Relis la consigne : cherche-t-on des racines réelles, des solutions complexes, le sommet ou une nouvelle écriture du trinôme ? Un calcul juste ne répond pas forcément à une demande mal lue.
Mettre sous forme canonique n'est pas résoudre
Si l'on te demande d'écrire x² − 8x + 3 sous forme canonique, il n'y a pas de membre droit à modifier. Introduis +16 et −16 dans la même expression : x² − 8x + 3 = (x² − 8x + 16) − 16 + 3 = (x − 4)² − 13. En développant, tu retrouves le trinôme initial. Tu as changé son écriture, pas cherché des valeurs de x. Cette forme montre que le minimum de la fonction vaut −13 et qu'il est atteint pour x = 4. C'est une information différente d'une liste de racines.
Si la question est au contraire « Résoudre x² − 8x + 3 = 0 », pars de (x − 4)² − 13 = 0. Tu obtiens (x − 4)² = 13, donc x = 4 ± √13. Les mêmes identités interviennent, mais le résultat attendu change selon le verbe : réécrire, donner le sommet ou résoudre. Souligne ce verbe dans l'énoncé avant de solliciter de l'aide. Une réponse numérique sans forme canonique ne satisfait pas une consigne de transformation ; une forme canonique sans interprétation ne donne pas à elle seule l'ensemble des solutions.
Photographier tout l'énoncé du devoir avec Eqora
Avant d'ouvrir l'application, recopie toi-même les éléments essentiels : coefficient de x², coefficient signé de x, signe égal et membre de droite. Prends ensuite une photo nette de l'exercice complet avec Eqora. Les précisions « compléter le carré », « résoudre dans les réels » ou « donner les valeurs exactes » doivent rester visibles. Cadre aussi les exposants, parenthèses, signes moins et barres de fraction. Retire les informations personnelles inutiles, mais ne coupe pas une condition mathématique sous prétexte de serrer le cadrage.
Compare l'expression reconnue à la page avant de lire le raisonnement affiché. Le terme −8x est-il toujours négatif ? Le 2 est-il bien en exposant de x ? Le 9 se trouve-t-il après le signe égal ? L'application a-t-elle gardé la demande de résolution plutôt que de simple réécriture ? Si un symbole diffère, corrige la saisie ou reprends la photo. L'écran du téléphone dans notre image est volontairement vide : ce n'est ni une capture authentique d'Eqora ni une promesse de lecture parfaite. Le guide photo lié à ce passage aide à éviter les reflets et les bords manquants.
Examiner une transition, puis poser une seule question ciblée
Compare ton premier essai aux étapes affichées, ligne par ligne. Pour x² − 8x = 9, le passage décisif est x² − 8x + 16 = 25. Vérifie que 16 résulte bien du développement de (x − 4)² et que 25 provient de 9 + 16. Une autre méthode peut être correcte ; juge l'équivalence des expressions plutôt que leur ressemblance avec la présentation du cours. Si une ligne change le problème, note précisément la première différence. Un résultat final bien présenté ne répare pas une égalité fausse au milieu du calcul.
Une question utile à Eqora serait : « Dans x² − 8x = 9, pourquoi ajouter 16 plutôt que 4, et pourquoi le membre droit devient-il 25 ? » Une explication satisfaisante relie −8 à 2h, identifie h = −4, calcule h² et conserve l'égalité. Si la réponse saute une de ces justifications, développe le binôme toi-même. Tu peux aussi demander pourquoi x − 4 = ±5 produit deux candidats, puis substituer chacun dans l'équation initiale. La question ciblée sert à corriger une incompréhension, pas à fabriquer une copie prête à rendre.
Résoudre seul un exercice voisin
Pose le téléphone face contre la table et essaie x² − 10x = 11. La moitié de −10 est −5 ; son carré vaut 25. Ajoute 25 de chaque côté : (x − 5)² = 36. Les deux cas sont x − 5 = 6 et x − 5 = −6, donc x = 11 ou x = −1. Vérifie directement : 121 − 110 = 11 et 1 + 10 = 11. Si tu avais écrit (x − 10)², développe ce binôme et examine le terme du milieu. Changer le coefficient tout en gardant l'écran fermé vérifie que la méthode a été comprise.
Modifie ensuite la constante : x² − 10x + 30 = 0. La même complétion conduit à (x − 5)² = −5, ce qui exclut toute racine réelle. Explique pourquoi la conclusion diffère malgré le même −10x. Tu peux rouvrir Eqora après avoir terminé, si les règles du devoir l'autorisent. En cas de désaccord, cherche la première ligne différente, puis vérifie les conditions et le résultat dans l'énoncé initial. L'application reste un outil d'apprentissage ; elle ne remplace pas le travail personnel ni la vérification. Une variante résolue sans aide est une preuve plus forte de compréhension.
Passe à la pratique maintenant
Choisis un problème de tes devoirs actuels ou de ta liste de révision. Essaie avant d’ouvrir Eqora et utilise l’application seulement lorsque ton propre raisonnement s’arrête.
- Dis ce que le problème demande avant de résoudre
- Identifie la première étape que tu ne peux pas justifier
- Pose à Eqora une question précise sur cette étape
- Termine avec un problème similaire sans la solution sous les yeux
La séance est terminée lorsque la méthode est plus claire, pas seulement lorsque tu as obtenu une réponse supplémentaire.