図形 · Eqoraガイド
相似な三角形：辺の比と面積の比が違う理由
対応する頂点を確認し、拡大の向きを決めてから計算します。辺の比、周の長さの比、面積の比を例題で整理しましょう。
相似な三角形の辺を3倍にすると、面積も3倍になるのでしょうか。底辺6 cm、高さ4 cmの面積は12 cm²です。すべての長さを3倍にすると底辺18 cm、高さ12 cmになり、面積は108 cm²です。長さは3倍ですが面積は9倍です。底辺だけでなく高さも変わるためです。どの量が何回掛けられたかを見ましょう。
紙と鉛筆で相似の根拠、対応する辺、比の向き、長さと面積、面積からの逆算を確認します。数値は説明用です。凧の写真は比較や学習のイメージで、正確な図形の図ではありません。写真の見た目から寸法を読まず、問題文の条件を使ってください。図も縮尺どおりとは限りません。
発行者はEqoraですが、例題はアプリなしで解けます。支援を使う場合も問題文、記号、仮定、結果を確認し、授業や試験の規則に従いましょう。ツールは正解や成績を保証せず、試験で本人が行う作業の代わりにはなりません。途中の式を残し、解答を見ずに理由を説明できることを目指します。
相似な三角形には見た目以外の根拠が必要
相似な三角形では対応する角が等しく、対応する辺は同じ正の倍率で変わります。回転、裏返し、移動で関係は変わりません。合同は倍率1の場合です。相似条件は、2組の角が等しい、3組の辺の比が等しい、または2組の辺の比とその間の角が等しい、のいずれかです。使う条件を先に確認しましょう。
内角の和は180°なので、両方に35°と65°の角があれば残りも80°です。ただし共通の角一つでは足りません。2組の辺の比を使う場合は、その間の角が重要です。金沢工業大学の相似条件の解説では条件と面積比を確認できます。答案でも角の印や文字と根拠を結び付け、見た目だけで判断しないでください。
対応する頂点を書いてから辺を組にする
△ABC ∽ △DEFなら、AとD、BとE、CとFが対応します。辺はABとDE、BCとEF、ACとDFの組です。図が上下逆でも対応は変わりません。描き直す場合も文字は元の頂点に付けます。左側に見える辺どうしが対応するとは限らないので、辺の両端を確かめましょう。
AB = 6 cm、BC = 8 cm、AC = 10 cm、DE = 9 cmとします。ABCからDEFへの倍率はk = 9/6 = 3/2です。EF = 12 cm、DF = 15 cmとなり、9/6 = 12/8 = 15/10で確認できます。答えではなく方法を理解するガイドのように、自分の言葉で辺の対応を説明してから計算しましょう。
相似比の順序と倍率の向きをそろえる
小さい三角形から大きい方への倍率は3/2ですが、戻るなら2/3です。どちらも向きに合えば正しい数です。kの横に「変化後の長さ÷変化前の長さ」と書きましょう。1より大きければ拡大、0と1の間なら縮小です。通常の三角形の倍率は正で、座標の負の倍率を負の辺の長さと解釈してはいけません。
単位は比を作る前にそろえます。元の辺60 mm、対応する辺9 cmなら、60 mmを6 cmに直して9/6を計算します。9/60ではありません。同じ単位で比較すると単位が消えます。続けて面積を計算するなら分数を残しましょう。3/2は1.5と正確に書けますが、4/3を途中で丸めると後の計算に誤差が入ります。
面積比が相似比の2乗になる理由
面積はS = bh/2で、hは底辺bに垂直な高さです。長さをk倍にすると、新しい面積は(kb)(kh)/2 = k²Sです。2で割る部分は変わりません。2乗するのは面積そのものではなく長さの倍率です。k = 3/2なら面積の倍率は9/4で、24 cm²は54 cm²になります。36 cm²は倍率を一回しか掛けていない誤答です。
辺6、8、10は6² + 8² = 10²を満たす直角三角形です。元の面積は6 × 8/2 = 24 cm²、拡大後は9 × 12/2 = 54 cm²で、比の方法と一致します。直角ではない場合、任意の二辺を底辺と高さにしてはいけません。高さは底辺に垂直で、必要なら別に求めます。相似ではこの高さも同じ倍率で変わります。
周の長さの比と面積の単位を区別する
周の長さは辺の和なので、ka + kb + kc = k(a + b + c)となりk倍です。例の小さい三角形の周は24 cm、大きい方は36 cmです。周の比は3/2ですが面積の比は9/4です。辺、周、面積の比に名前を付けましょう。意味を省いた比を使い回すと、正しい数でも別の量に適用してしまいます。
1 cm = 10 mmなので1 cm² = 100 mm²です。54 cm²は5,400 mm²になります。10倍は長さの換算で、面積には使えません。面積どうしは同じ平方単位に直して比較します。k²には単位がなくても面積の結果には平方単位が残ります。cmとcm²を区別し、求める量と合う単位まで答えに書きましょう。
面積比から辺の倍率を逆算する
相似な三角形の面積が20 cm²と45 cm²なら、最初から次への面積の倍率は45/20 = 9/4です。長さの倍率は正の平方根でk = √(9/4) = 3/2です。最初の8 cmの辺に対応する辺は12 cmです。8 × 9/4 = 18 cmでは、面積の倍率を長さに使っています。求めた比に名前を付けると防げます。
面積比だけでは相似と判断できません。違う形も同じ面積や同じ面積比を持てます。平方根で辺の比を求めるには、相似が与えられるか証明される必要があります。面積比が小：大 = 4：9なら辺の比は小：大 = 2：3です。小さい辺に2/3を掛けると大きくなるわけではありません。順序と未知の辺の位置を確認しましょう。
影を使う測定では仮定も確認する
高さ1.2 mの垂直な棒の影が0.8 mで、同じ時刻に同じ平らな地面の垂直な物体が5 mの影を作ったとします。平行な太陽光を仮定すると、高さと影の三角形は直角と光の角度が等しく相似です。高さ÷影 = 1.2/0.8 = 1.5なので、未知の高さは1.5 × 5 = 7.5 mです。単位と比の順序をそろえています。
地面や棒の傾き、違う測定時刻、不明確な影の端は仮定を崩したり誤差を増やしたりします。仮定を示し、測定精度に合う桁数にします。危険な構造物に近づく必要はありません。文章題を読み解くガイドを参考に、データと仮定を分けましょう。学校の問題の理想条件と現実の限界を区別します。正確な計算でも測定の不確かさは消えません。
新しい数値で自力の解法を確かめる
解答を見ずに練習します。相似な直角三角形の最初の垂直な二辺は5 cmと12 cmで、5 cmに対応する次の辺は7.5 cmです。次のもう一辺、両方の面積、面積比、戻す倍率を求めましょう。頂点の対応とkの向きを先に決め、長さ、平方単位、面積で倍率を2回掛ける理由を自分で書いてから先を読みます。
倍率は7.5/5 = 3/2なので、もう一辺は18 cmです。面積は5 × 12/2 = 30 cm²と7.5 × 18/2 = 67.5 cm²で、比は9/4です。戻る長さの倍率は2/3、面積は4/9です。18 × 2/3 = 12、67.5 × 4/9 = 30となり元の値が戻ります。逆向きの確認で比の誤りを探し、大きい方の面積が大きいことも確認します。
任意の二つの三角形で面積30 cm²と67.5 cm²だけが分かる場合、対応する辺は決められません。角や形の情報から相似を示す条件が必要です。そのうえで「垂直な二方向の長さがk倍なので面積の積はk²倍」と説明しましょう。公式を覚えるだけでなく、使える条件と結び付けると、次の問題にも自分で考えを移せます。
