Álgebra linear · Guia do Eqora
Autovalores de uma matriz 2×2
Calcule os autovalores de uma matriz 2×2, encontre os autovetores correspondentes e confira o que acontece quando uma raiz é dupla.
A lista pede os autovalores de uma matriz cujas linhas são (5, 2) e (−2, 1). Você circula o 5 e o 1 porque os dois estão na diagonal. Quando multiplica a matriz pelo vetor coluna (1, 0), porém, o resultado é (5, −2). A segunda coordenada mudou e o vetor saiu da reta original. Ler a diagonal não resolve esse exercício.
A pergunta é quais vetores não nulos permanecem na própria reta quando são multiplicados pela matriz e qual fator aparece nessa transformação. Um fator negativo pode inverter o sentido. Um fator zero pode levar um vetor não nulo à origem. Para encontrar cada par, faça duas contas. Um determinante fornece os possíveis autovalores e um sistema linear fornece os vetores associados. Depois uma multiplicação permite conferir se o par funciona.
O que os autovalores de uma matriz indicam
Escreva Av = λv, com A igual à matriz dada e v um vetor coluna não nulo. À esquerda, a matriz transforma v. À direita, o escalar λ multiplica as duas coordenadas de v. Se as duas expressões são iguais, v é um autovetor e λ é seu autovalor. O vetor pode ter qualquer comprimento diferente de zero.
Se v funciona, todo múltiplo não nulo de v funciona para o mesmo λ. Por exemplo, se Av = 3v, multiplicar 2v por A dá 6v, o que equivale a três vezes 2v. Você pode desenhar várias setas na mesma reta e até inverter o sentido de algumas delas. Elas continuam representando uma só direção independente. Para encontrar outra direção, seria preciso escolher um vetor fora dessa reta.
O vetor nulo fica de fora porque A0 = λ0 vale para qualquer número λ. A igualdade não permite descobrir um fator específico. Já um autovalor igual a zero tem significado. Ele indica que a matriz leva algum vetor não nulo à origem. Se você encontrar zero entre as raízes, substitua o valor no sistema normalmente e procure um vetor que satisfaça a condição.
Subtraia λ apenas da diagonal
Passe λv para o primeiro membro e escreva (A − λI)v = 0, onde I é a matriz identidade. Ao multiplicar a identidade por λ, você coloca λ em cada posição da diagonal e zero nas demais. Em A − λI, as linhas ficam (5 − λ, 2) e (−2, 1 − λ). As entradas fora da diagonal conservam os valores e os sinais da matriz original.
Para existir uma solução não nula, A − λI precisa ser singular. Se houvesse uma inversa, seria possível multiplicar a equação por ela e obter apenas v = 0. Por isso o determinante precisa ser zero. O exemplo de Álgebra Linear do IME-USP apresenta a mesma condição e mostra como obter os autoespaços de uma matriz de ordem dois.
Neste exercício, o determinante é (5 − λ)(1 − λ) − 2(−2). Como o produto fora da diagonal vale −4, subtraí-lo acrescenta quatro. Ao desenvolver, você chega a λ² − 6λ + 9 = (λ − 3)². A única raiz é λ = 3, com multiplicidade dois. Confira a expansão com o traço e o determinante de A. O coeficiente de λ é −(5 + 1), e o termo constante é 5 × 1 − 2 × (−2) = 9. Conferir o determinante de ordem dois agora evita carregar um sinal incorreto para a etapa do autovetor.
Em uma matriz triangular, uma das duas entradas fora da diagonal vale zero. O determinante se reduz ao produto dos dois termos da diagonal já com λ subtraído. Nesse caso as raízes são as entradas originais da diagonal. Na matriz do exercício, as duas entradas fora da diagonal são diferentes de zero e o produto entre elas muda a resposta.
Encontre um autovetor para a raiz
Substitua λ = 3 em A − λI. As linhas passam a ser (2, 2) e (−2, −2). Para um vetor coluna com coordenadas x e y, isso dá 2x + 2y = 0 e −2x − 2y = 0. A segunda equação é a primeira multiplicada por −1. A única condição independente é x + y = 0. Escolha x = 1 e y = −1. Todo múltiplo não nulo de (1, −1) também funciona para 3.
Verifique com a matriz original. A primeira linha aplicada a (1, −1) dá 5 − 2 = 3. A segunda dá −2 − 1 = −3. O resultado (3, −3) é igual a 3(1, −1). Confira as duas coordenadas. Um vetor pode acertar a primeira linha por coincidência e falhar na segunda, então verificar só a primeira entrada não resolve a dúvida.
O fator (λ − 3) aparece duas vezes no polinômio, mas todos os autovetores ficam na mesma reta. A condição x + y = 0 deixa um parâmetro livre. Compare com a matriz 3I, que tem o mesmo polinômio característico. Quando λ = 3, a matriz 3I − 3I é nula e o sistema não impõe restrição a x ou y. Todo vetor não nulo funciona nesse caso. O polinômio mostra quantas vezes a raiz aparece. O sistema associado mostra quantas direções independentes você pode escolher.
Respostas diferentes podem representar a mesma reta. Os vetores (1, −1) e (−1, 1) são múltiplos e ambos funcionam para 3. Já (1, 1) não satisfaz x + y = 0. Em caso de dúvida, faça o produto da matriz original pelo vetor e compare com o produto do escalar pelo mesmo vetor. Escrever a multiplicação de linhas por colunas ajuda a localizar qual entrada não confere.
Confira no Eqora o passo em que a conta mudou
Fotografe o exercício no Eqora deixando as duas linhas, os colchetes e o sinal negativo da segunda linha bem legíveis. Antes de usar a explicação, compare a matriz reconhecida com a matriz da folha. Perder o sinal de −2 muda o determinante e pode mudar as raízes. Veja também se a questão pede apenas os autovalores ou se exige os autovetores correspondentes.
Compare a linha do determinante com sua conta. Veja se λ foi subtraído apenas da diagonal e se os dois termos aparecem entre parênteses. Se a dúvida está no sinal, pergunte «Por que subtrair o produto fora da diagonal acrescenta quatro?». Se você encontrou a mesma raiz, mas ainda não entende o vetor, pergunte «Por que essa raiz dupla dá só uma direção independente nessa matriz?». Confira você mesmo a relação entre as linhas de A − 3I.
O Eqora é um apoio para estudar. Use a explicação para localizar o passo que você precisa revisar e confira o enunciado, a notação, as hipóteses e o resultado. A resposta da ferramenta não garante acerto nem nota e não substitui seu trabalho em uma prova. Quando conseguir justificar o determinante e conferir o vetor, feche a explicação e tente o próximo exercício sozinho.
Resolva uma segunda matriz no papel
Use B com linhas (4, 3) e (2, 5). Antes de ler a solução, escreva B − λI, calcule o determinante e fatore o polinômio. Em seguida, monte um sistema separado para cada raiz. Deixe uma linha para multiplicar B por cada vetor encontrado e conferir se você associou o vetor à raiz certa.
O determinante é (4 − λ)(5 − λ) − 3 × 2 = λ² − 9λ + 14. A fatoração (λ − 2)(λ − 7) fornece as raízes 2 e 7. Para λ = 2, as duas linhas da matriz deslocada são (2, 3), então basta resolver 2x + 3y = 0. Você pode escolher (3, −2). Ao multiplicar por B, obtém (6, −4), exatamente duas vezes o vetor escolhido.
Para λ = 7, as linhas são (−3, 3) e (2, −2). A condição é x = y, então use (1, 1). O produto por B dá (7, 7). As duas raízes produziram direções distintas. Repare que as duas verificações usam B, a matriz original. B − λI ajuda a encontrar o vetor, enquanto B permite testar a equação que o define.
Se a conta falhar, identifique em qual das duas tarefas você está. Quando as raízes diferem, confira a matriz que você copiou e a subtração no determinante. Se as raízes batem e o vetor falha, volte ao sistema da raiz em questão e teste as duas coordenadas. Assim você pode corrigir a primeira linha que saiu do caminho.
Antes de resolver os sistemas de equações lineares, confira as raízes usando o traço e o determinante. A soma é 9, igual a 4 + 5, e o produto é 14, igual a 4 × 5 − 3 × 2. Essas duas conferências testam os coeficientes do polinômio. Os produtos da matriz pelos vetores verificam qual direção corresponde a cada fator.
Interprete um fator negativo
Experimente C com linhas (1, 2) e (2, 1). A equação característica é (1 − λ)² − 4 = 0, com raízes 3 e −1. O produto de C por (1, 1) dá (3, 3). O produto por (1, −1) dá (−1, 1). No segundo caso, o vetor fica na mesma reta e aponta para o lado oposto. A definição continua valendo, agora com λ = −1. Se você desenhar as duas setas na mesma reta, pode conferir o sentido antes de voltar à conta. A multiplicação confirma tanto a direção quanto o fator associado.