Valores propios de una matriz 2×2

Qué miden los valores propios de una matriz

Escribe Av = λv, donde A es la matriz del ejercicio y v es un vector columna no nulo. A la izquierda, A transforma el vector. A la derecha, λ multiplica sus dos coordenadas. Cuando los resultados coinciden, v es un vector propio y λ es su valor propio. El vector no tiene por qué medir una unidad.

Si v cumple la ecuación, también la cumple cualquier múltiplo no nulo de v para el mismo λ. Por ejemplo, si Av = 3v, al multiplicar 2v por A se obtiene 6v, que es tres veces 2v. Puedes dibujar varias flechas sobre la misma recta, incluso en sentidos opuestos. Todas ellas representan una sola dirección independiente. Para hallar una segunda dirección necesitarías un vector que no fuera múltiplo del primero.

El vector cero se excluye porque A0 = λ0 se cumple para cualquier λ. No permite distinguir un valor propio de un número cualquiera. En cambio, un valor propio igual a cero sí aporta información. Significa que existe un vector no nulo que la matriz transforma en cero. Si obtienes cero como raíz, sustitúyelo y busca los vectores de la misma manera que con las demás raíces.

Resta λ solo de la diagonal

Pasa λv al primer miembro y escribe (A − λI)v = 0, donde I es la matriz identidad. Al multiplicar I por λ, las entradas de la diagonal valen λ y las demás valen cero. En nuestro ejemplo, A − λI tiene las filas (5 − λ, 2) y (−2, 1 − λ). Las entradas fuera de la diagonal conservan su posición y su signo.

Para que el sistema tenga una solución no nula, A − λI tiene que ser singular. Si tuviera inversa, al multiplicar ambos miembros por ella obtendrías v = 0. Por eso el determinante debe anularse. El curso de álgebra lineal de la Universidad Nacional de Colombia desarrolla esta condición para pasar del problema de vectores propios a una ecuación en λ.

En nuestro ejemplo, el determinante es (5 − λ)(1 − λ) − 2(−2). El segundo producto es negativo. Al restarlo, se suman cuatro unidades. Desarrolla para obtener λ² − 6λ + 9 = (λ − 3)². La única raíz es λ = 3, con multiplicidad dos. Puedes verificar el desarrollo con la traza y el determinante de A. El coeficiente de λ es −(5 + 1) y el término independiente es 5 × 1 − 2 × (−2) = 9. Revisar el determinante de orden dos ahora evita arrastrar un signo equivocado al sistema siguiente.

Para una matriz triangular, una de las dos entradas fuera de la diagonal vale cero. El determinante se reduce al producto de las dos entradas desplazadas de la diagonal y las raíces coinciden con las entradas originales. En nuestro ejemplo, ambas entradas fuera de la diagonal son distintas de cero. El producto cruzado cambia el resultado.

Encuentra el vector correspondiente a la raíz

Sustituye λ = 3 en A − λI. Las filas pasan a ser (2, 2) y (−2, −2). Si el vector columna tiene coordenadas x e y, el sistema contiene 2x + 2y = 0 y −2x − 2y = 0. La segunda ecuación es la primera multiplicada por −1. Basta imponer x + y = 0. Elige x = 1 e y = −1. Cualquier múltiplo no nulo de (1, −1) también es un vector propio para 3.

Comprueba la pareja con la matriz original. La primera fila aplicada a (1, −1) da 5 − 2 = 3. La segunda da −2 − 1 = −3. El vector (3, −3) coincide con 3(1, −1). Comprueba las dos coordenadas. Un vector que no sea propio podría dar la coordenada correcta en una fila y fallar en la otra.

El factor (λ − 3) aparece dos veces en el polinomio, pero los vectores propios están sobre una sola recta. La razón está en la ecuación x + y = 0, que deja un parámetro libre. Compáralo con 3I, que tiene el mismo polinomio característico. Cuando λ = 3, la matriz 3I − 3I es nula. El sistema no impone ninguna restricción a x o y y cualquier vector no nulo sirve. El polinomio indica cuántas veces aparece la raíz. El sistema desplazado indica cuántas direcciones independientes puedes elegir.

Dos soluciones escritas de forma distinta pueden representar la misma recta. Por ejemplo, (−1, 1) y (1, −1) son múltiplos y las dos son válidas para 3. En cambio, (1, 1) no cumple x + y = 0. Si dudas, usa el producto por filas y columnas con la matriz original y compara el resultado con λv.

Revisa con Eqora el paso que cambió el resultado

Captura el ejercicio en Eqora con las dos filas, los corchetes y el signo negativo de la segunda fila bien visibles. Antes de usar la explicación, compara la matriz reconocida con la de la hoja. Un signo que se haya perdido cambia el determinante. Comprueba también si se piden solo valores propios o si se deben entregar sus vectores correspondientes.

Lee la línea del determinante junto a tu propia cuenta. Verifica que λ se reste solo de la diagonal y que ambas entradas desplazadas aparezcan entre paréntesis. Si te atascaste en el signo, pregunta «¿Por qué al restar el producto de las entradas fuera de la diagonal se suma cuatro?». Si coinciden las raíces pero no entiendes los vectores, pregunta «¿Por qué esta raíz doble solo da una dirección independiente?». Comprueba por tu cuenta la relación entre las filas de A − 3I.

Eqora es una ayuda de estudio. Usa la explicación para localizar el paso que necesitas repasar y comprueba el enunciado, la notación, las hipótesis y el resultado. La respuesta de la aplicación no garantiza un resultado correcto ni una nota y no sustituye tu trabajo en un examen. Cuando puedas justificar el determinante y comprobar el vector con la matriz original, cierra la explicación y prueba el siguiente ejercicio en papel.

Resuelve una segunda matriz sin ayuda

Toma B con filas (4, 3) y (2, 5). Antes de leer la resolución, escribe B − λI, calcula el determinante y factoriza. Luego plantea un sistema distinto para cada raíz. Deja una línea para multiplicar B por cada vector encontrado. Esa comprobación ayuda a evitar que asocies un vector con la raíz equivocada.

El determinante es (4 − λ)(5 − λ) − 3 × 2 = λ² − 9λ + 14. La factorización (λ − 2)(λ − 7) da las raíces 2 y 7. Para λ = 2, las dos filas desplazadas son (2, 3), así que basta resolver 2x + 3y = 0. Puedes elegir (3, −2). Al multiplicar por B obtienes (6, −4), justo dos veces el vector.

Para λ = 7, las filas son (−3, 3) y (2, −2). La condición es x = y, por lo que puedes tomar (1, 1). La multiplicación por B da (7, 7). Los dos vectores propios están en rectas distintas. Observa que en ambas comprobaciones multiplicas por B. B − λI sirve para encontrar el vector, mientras que B permite comprobar la ecuación que lo define.

Si la cuenta falla, identifica qué problema estás resolviendo en ese momento. Cuando las raíces no coinciden, comprueba la copia de la matriz y la resta de productos en el determinante. Si las raíces coinciden y el vector falla, vuelve al sistema de esa raíz concreta y comprueba ambas coordenadas. Así puedes volver a la primera línea que necesita una corrección.

Antes de resolver los sistemas de ecuaciones lineales puedes cotejar las raíces con la traza y el determinante. Su suma es 9, igual que 4 + 5, y su producto es 14, igual que 4 × 5 − 3 × 2. Estas dos comprobaciones revisan los coeficientes del polinomio. Los productos por cada vector verifican qué recta corresponde a cada factor.

Interpreta un factor negativo

Prueba C con filas (1, 2) y (2, 1). Su ecuación característica es (1 − λ)² − 4 = 0 y las raíces son 3 y −1. Multiplicar C por (1, 1) da (3, 3). Multiplicar por (1, −1) da (−1, 1). En el segundo caso, el vector permanece sobre su recta y cambia de sentido. Eso sigue cumpliendo la ecuación para λ = −1. Dibuja las dos flechas sobre la misma recta si te cuesta reconocer el cambio. La multiplicación comprueba tanto la recta como el factor asociado a ella.