Álgebra · Guia do Eqora
Inequações logarítmicas com base menor que um
Resolva inequações logarítmicas com base menor que um, confira o domínio e pratique um exemplo em que o sinal se inverte duas vezes.
A lista pede que você resolva log na base 1/2 de (x − 1) ≥ −2. Você escreve −2 como o logaritmo de 4, passa para x − 1 ≥ 4 e chega a x ≥ 5. A substituição de x = 5 dá exatamente −2. Parece que a conta está certa até você testar x = 4, que também satisfaz a inequação, e x = 6, que deveria estar na solução mas não satisfaz. Você encontrou a fronteira e escolheu o lado errado.
Nas inequações logarítmicas, vale anotar o domínio primeiro. Para localizar o erro, separe duas perguntas. Em que valores de x a expressão original faz sentido? Entre esses valores, quais tornam verdadeira a comparação? Reserve uma linha para cada resposta. Essa separação vai ajudar a explicar por que uma ponta do intervalo fica aberta e a outra entra na solução.
O domínio das inequações logarítmicas
Nos números reais, o logaritmando precisa ser estritamente positivo. Nesse exercício ele é a expressão inteira x − 1. A condição x − 1 > 0 dá x > 1. Deixe essa linha perto do enunciado, mesmo depois de transformar a inequação em uma comparação sem logaritmos.
Em x = 1, o logaritmando seria zero. Nenhum expoente real aplicado à base 1/2 produz zero. Também não dá para produzir um número negativo com uma potência real dessa base. Já o valor do logaritmo pode ser negativo. O −2 do enunciado é um expoente, e (1/2) elevado a −2 dá 4. Reconhecer o papel de cada número evita que você descarte um resultado legítimo por confundi-lo com uma entrada proibida.
O domínio pode ser escrito como (1, ∞). O parêntese em 1 indica que o ponto está fora. O traço de igualdade no símbolo ≥ permite que os dois lados tenham o mesmo valor quando ambos existem. O símbolo não define um valor para o logaritmo de zero. O capítulo de equações e inequações de Bases Matemáticas, da UFABC, usa a base 1/2 para mostrar como uma função logarítmica decrescente afeta a comparação. O mesmo cuidado com o domínio original ajuda a conferir os passos de uma equação irracional.
Compare os dois lados na mesma base
Escreva −2 como log na base 1/2 de 4. Para lembrar o sentido da função, faça três contas exatas. O logaritmo de 1 dá 0, o de 2 dá −1 e o de 4 dá −2. Quando o logaritmando dobra, o resultado diminui uma unidade. A função é estritamente decrescente em todo o domínio positivo. O mesmo sentido vale para entradas que não sejam potências inteiras de dois.
O exercício quer que o logaritmo de x − 1 seja maior ou igual ao de 4. Isso acontece quando x − 1 ≤ 4. Some um aos dois lados para chegar a x ≤ 5. A soma conserva o sentido da desigualdade. A inversão aconteceu na passagem dos valores da função para os seus logaritmandos. Agora combine x ≤ 5 com x > 1 e obtenha (1, 5].
Teste x = 4 e x = 6 para investigar o lado correto. Em x = 4, o logaritmando vale 3. Como 3 é menor do que 4, o logaritmo fica acima de −2. Em x = 6, o logaritmando vale 5 e o logaritmo fica abaixo de −2. Os dois pontos pertencem ao domínio. Substituir apenas x = 5 mostraria onde há igualdade e deixaria em aberto qual lado funciona. A justificativa para o intervalo inteiro vem da monotonicidade e da condição de existência.
Use a mesma fronteira com uma base maior que um
Agora resolva log₂(x − 1) ≥ 2. O domínio continua sendo x > 1. O logaritmando de referência continua sendo 4, porque 2² = 4. Só que as entradas 1, 2 e 4 produzem 0, 1 e 2. O logaritmo cresce. A comparação passa para x − 1 ≥ 4 e o conjunto solução é [5, ∞). A fronteira em que aparece a igualdade continua no mesmo lugar, mas a solução avança na direção oposta.
Ao trocar a base, observe duas coisas. O expoente necessário para produzir a mesma entrada pode mudar. Para chegar a 4, a base 1/2 pede −2 e a base 2 pede 2. A base também determina o sentido da função. Acima de um, as entradas positivas e os resultados seguem a mesma ordem. Entre zero e um, a ordem dos resultados se inverte. Para esse método a base é positiva e diferente de um.
Quando alguém diz que é preciso trocar o sinal, vale nomear exatamente o que mudou. O símbolo da desigualdade inverteu o sentido. O logaritmando ainda tem de ser positivo e o expoente conserva o valor determinado pela potência. Identificar cada elemento facilita a conferência de uma conta escrita às pressas.
Peça ao Eqora uma explicação para a linha que mudou
Se a resolução pular dos logaritmos para o intervalo, fotografe o enunciado no Eqora de forma que a base fracionária, os parênteses e o traço de igualdade fiquem legíveis. Compare o problema reconhecido com a folha antes de olhar a resposta. Perder o denominador muda a base. Cortar o traço de ≥ muda o tratamento do extremo. Deslocar um parêntese muda a expressão cuja positividade você precisa verificar.
Passe pelos passos com seu caderno aberto. Na linha em que −2 vira o logaritmo de 4, escreva a potência que justifica a troca. Ao lado de x − 1 ≤ 4, registre que o logaritmo é decrescente para entradas positivas. Junto ao intervalo, escreva as duas condições cuja interseção você calculou. Se faltar uma justificativa, pergunte «Por que aparece x − 1 ≤ 4 e em que momento você usa x > 1?». Em seguida, confira as duas afirmações diretamente no enunciado.
Você também pode alterar só o símbolo no papel, de ≥ para >. Nesse caso, a comparação entre os logaritmandos seria x − 1 < 4. A ponta esquerda continuaria aberta por causa do domínio e a direita passaria a ser aberta por causa da comparação estrita. O Eqora é um apoio para investigar passos. Confira a notação, as hipóteses e a resposta por conta própria. A explicação da ferramenta não garante acerto ou nota e não substitui seu trabalho em uma prova. O exercício de derivada pela definição traz outro caso em que uma restrição precisa continuar visível durante um passo algébrico.
Verifique as duas entradas quando ambas dependem de x
Considere log na base 1/3 de (2x − 1) > log na base 1/3 de (x + 2). Agora você já tem dois logaritmos da mesma base. A primeira tarefa é conferir as duas condições de existência. De 2x − 1 > 0 vem x > 1/2. De x + 2 > 0 vem x > −2. As duas condições precisam valer juntas, então o domínio é x > 1/2. Mesmo quando uma restrição já está contida na outra, escrevê-la deixa claro que você verificou as duas expressões.
Como a base 1/3 está entre zero e um, comparar os valores dos logaritmos com > corresponde a comparar suas entradas positivas com <. Assim, 2x − 1 < x + 2. Subtraia x e some um para obter x < 3. A interseção com o domínio dá (1/2, 3). Em x = 1/2, o primeiro logaritmando é zero. Em x = 3, ambos valem 5 e a desigualdade estrita não se cumpre. Cada ponta tem seu próprio motivo para ficar de fora.
Teste x = 1. Os logaritmandos são 1 e 3 e os resultados são 0 e −1, portanto a comparação é verdadeira. Em x = 4, as entradas são 7 e 6 e o logaritmo à esquerda é menor. Esse ponto pertence ao domínio e fica fora da solução. Se desenhar uma reta numérica, marque o domínio primeiro e destaque dentro dele o trecho em que a comparação vale. Assim você pode mostrar visualmente quais valores foram excluídos em cada etapa.
Resolva um exemplo com duas inversões
Feche a explicação e resolva log na base 1/3 de (7 − 2x) < −1. Antes de olhar a resolução, escreva o domínio e encontre uma potência que represente o lado direito. Se trocar o sentido de uma desigualdade, anote o motivo na mesma linha. Deixe espaço para conferir um ponto de cada lado da fronteira e o próprio ponto de fronteira.
A condição 7 − 2x > 0 dá x < 7/2. Como (1/3)⁻¹ = 3, a comparação original vira 7 − 2x > 3. Essa é a primeira inversão, que ocorre ao passar dos valores de uma função decrescente para suas entradas. Subtraia 7 e obtenha −2x > −4. Ao dividir os dois lados por −2, a ordem se inverte de novo e você chega a x < 2. Esse passo usa a regra algébrica da divisão por um número negativo. A interseção de x < 2 com x < 7/2 é (−∞, 2).
Em x = 1, a entrada vale 5 e o logaritmo fica abaixo de −1. Em x = 2, a entrada vale 3 e o logaritmo é exatamente −1, então a comparação estrita falha. Em x = 3, a entrada vale 1 e o logaritmo é 0. Os testes mostram onde cai cada ponto em relação ao intervalo e permitem identificar um erro de direção. Ao escrever a resposta final, explique as duas inversões sem recorrer à expressão «passar para o outro lado». Dizer qual operação você fez permite conferir cada etapa no lugar certo.