Inecuaciones logarítmicas con base menor que uno

El dominio de las inecuaciones logarítmicas

En los números reales, el argumento de un logaritmo tiene que ser estrictamente positivo. Aquí el argumento completo es x − 1. Por tanto, la condición es x − 1 > 0 y el dominio es x > 1. Déjalo escrito junto al enunciado. La condición seguirá vigente aunque en los pasos siguientes ya no quede ningún logaritmo a la vista.

Al sustituir x = 1, el argumento se hace cero. No hay exponente real que permita obtener cero al elevar 1/2. Lo mismo ocurre con un argumento negativo, pues todas las potencias reales de esa base son positivas. En cambio, el resultado de un logaritmo sí puede ser negativo. El −2 del enunciado representa un exponente, y (1/2) elevado a −2 da 4.

Puedes escribir el dominio como (1, ∞). El paréntesis en 1 indica que ese extremo está excluido. El símbolo ≥ permite que los dos miembros sean iguales allí donde ambos existen. Antes de usar la monotonía que describe el material de precálculo de la Universidad de Valparaíso, deja claro a qué argumentos puedes aplicarla. La misma costumbre de conservar el dominio original ayuda a comprobar los pasos de una ecuación radical.

Compara dos logaritmos de la misma base

Como (1/2)⁻² = 4, puedes escribir −2 como el logaritmo de 4 en base 1/2. Calcula tres valores exactos para recordar cómo se ordenan los resultados. Los argumentos 1, 2 y 4 dan, respectivamente, 0, −1 y −2. Cada vez que duplicas el argumento, el resultado baja una unidad. La función es estrictamente decreciente en todos los argumentos positivos, incluidos los que quedan entre esos ejemplos.

Para que el valor del logaritmo de x − 1 sea mayor o igual que el de 4, el argumento x − 1 debe ser menor o igual que 4. Escribe x − 1 ≤ 4 y suma uno en ambos miembros. Obtienes x ≤ 5. La suma conserva el sentido de la desigualdad. La inversión ya se produjo al pasar de los resultados del logaritmo a sus argumentos. Al reunir x ≤ 5 con x > 1, la solución es (1, 5].

Prueba ahora dos puntos que estén dentro del dominio. Para x = 4 el argumento vale 3, menor que 4, así que su logaritmo supera −2. Para x = 6 el argumento vale 5, mayor que 4, de modo que su logaritmo queda por debajo de −2. Estas sustituciones detectan el error inicial. La monotonía, junto con la restricción de dominio, justifica el intervalo entero.

Cambia la base y conserva el argumento de referencia

Compara el ejercicio con log₂(x − 1) ≥ 2. El dominio sigue siendo x > 1 y el argumento de referencia vuelve a ser 4 porque 2² = 4. Ahora los argumentos 1, 2 y 4 producen 0, 1 y 2. Como el logaritmo es creciente, x − 1 ≥ 4 y la solución es [5, ∞). Los dos ejercicios comparten el extremo de igualdad y sus soluciones se extienden hacia lados distintos.

Para obtener el mismo argumento, el exponente puede cambiar con la base. Para obtener 4 necesitamos −2 si partimos de 1/2 y 2 si partimos de 2. La base también determina el orden de los resultados. Si es mayor que uno, el orden se conserva. Si está entre cero y uno, se invierte. Este método supone una base positiva y distinta de uno.

Revisa el paso concreto con Eqora

Captura el enunciado de forma legible en Eqora. Procura que se distingan la base fraccionaria, los paréntesis que encierran x − 1 y la raya inferior de ≥. Coteja el problema reconocido con el de tu cuaderno. Si cambia la base, puede cambiar el sentido de la comparación. Si falta la raya inferior, cambia el tratamiento de la igualdad. Si se desplaza un paréntesis, cambia el argumento al que debes imponer la condición de positividad.

Junto a la reescritura de −2, anota la potencia que la justifica. Junto a x − 1 ≤ 4, apunta que el logaritmo es decreciente en los argumentos positivos. Al lado del intervalo, escribe las dos condiciones que has intersectado. Si falta una explicación, pregunta «¿Por qué se obtiene x − 1 ≤ 4 y en qué momento se usa x > 1?». Comprueba las dos afirmaciones con la cuenta original.

Prueba a cambiar ≥ por > en tu cuaderno. La nueva comparación sería x − 1 < 4 y ambos extremos quedarían abiertos. El de la izquierda seguiría excluido por el dominio y el de la derecha por la desigualdad estricta. Usa Eqora como ayuda para revisar el paso y formular la pregunta. Verifica el enunciado, la notación, las condiciones y la solución por tu cuenta antes de entregar el ejercicio. El ejercicio de derivada por definición muestra otro caso en que conviene conservar una restricción durante un paso algebraico.

Comprueba los dos argumentos cuando ambos dependen de x

Considera log en base 1/3 de (2x − 1) > log en base 1/3 de (x + 2). Ahora no tienes que convertir un número en un logaritmo porque ambos miembros ya comparten la misma base. Sí debes comprobar que los dos argumentos son positivos. La condición 2x − 1 > 0 da x > 1/2, mientras que x + 2 > 0 da x > −2. Las dos condiciones tienen que cumplirse a la vez. Por tanto, el dominio es x > 1/2. Aunque la segunda condición no recorte el intervalo final, escribirla deja constancia de que ambos logaritmos existen.

La base 1/3 está entre cero y uno, así que comparar los resultados con > equivale a comparar los argumentos positivos con <. Queda 2x − 1 < x + 2. Resta x y suma uno en ambos miembros para obtener x < 3. Al intersectar con el dominio queda (1/2, 3). Los dos extremos son abiertos por razones distintas. En x = 1/2 el primer argumento vale cero y el logaritmo no existe. En x = 3 los argumentos valen 5 y los logaritmos son iguales, de modo que no se cumple la desigualdad estricta.

Comprueba x = 1. Los argumentos valen 1 y 3, y sus logaritmos en base 1/3 son 0 y −1. La comparación 0 > −1 confirma que el punto pertenece al intervalo. En x = 4, los argumentos son 7 y 6. Como la función decrece, el resultado de la izquierda es menor que el de la derecha. Este último punto sigue dentro del dominio y queda fuera de la solución. En una recta numérica puedes distinguir ambos conjuntos con dos trazos de distinto color. Marca primero dónde existe el ejercicio y luego qué parte de ese tramo satisface la comparación.

Resuelve por tu cuenta una inecuación con dos inversiones

Cierra la explicación e intenta resolver log en base 1/3 de (7 − 2x) < −1. Escribe el dominio antes de despejar. Luego expresa −1 como un logaritmo de la misma base. Si la desigualdad cambia de sentido, anota qué operación acabas de hacer. Deja espacio para probar el extremo y un valor a cada lado. El ejercicio permite comprobar si distingues una inversión provocada por la monotonía de otra provocada por el álgebra.

La condición 7 − 2x > 0 equivale a x < 7/2. Como (1/3)⁻¹ = 3, la comparación de logaritmos se convierte en 7 − 2x > 3. Ahí se produce la primera inversión, al pasar a los argumentos de una función decreciente. Resta 7 y obtendrás −2x > −4. Al dividir entre −2 aparece la segunda inversión y llegas a x < 2. La intersección de x < 2 con x < 7/2 es (−∞, 2).

En x = 1 el argumento vale 5 y el logaritmo queda por debajo de −1. En x = 2 el argumento vale 3 y el resultado es exactamente −1, así que el extremo queda fuera. En x = 3 el argumento vale 1 y el logaritmo es 0. Las tres sustituciones distinguen el interior, el extremo y un punto exterior que sigue dentro del dominio. Si obtuviste el lado contrario, vuelve a las dos líneas en las que cambió el símbolo. Justifica cada inversión nombrando la operación que la provoca y comprueba que ambas explicaciones responden al enunciado original.

Si en tu cuaderno los pasos ocupan varias páginas, anota el conjunto solución debajo del enunciado, junto con una frase que justifique los extremos. Para este último ejercicio basta explicar que todo valor menor que 2 deja un argumento mayor que 3 y que el propio 2 produce la igualdad. Esa frase debe seguir siendo comprensible aunque tapes las líneas intermedias.