Analysis · Ratgeber von Eqora
Trapezregel bei ungleichen Abständen
Berechne eine Trapezsumme mit ungleichen Abständen. Prüfe Einheiten und verstehe, wie die Krümmung die Näherung beeinflusst.
Ein Pumpenprotokoll enthält vier Messwerte. Nach 0, 2, 5 und 6 Minuten beträgt der Durchfluss jeweils 4, 8, 6 und 2 Liter pro Minute. Gesucht ist die Wassermenge, die in diesen sechs Minuten durch den Schlauch geflossen ist. Wenn du die vier Zahlen einfach addierst, hat das Ergebnis immer noch die Einheit Liter pro Minute. Für eine Wassermenge musst du berücksichtigen, wie lange der jeweilige Durchfluss ungefähr anhielt.
Die Trapezregel verbindet benachbarte Messwerte im Diagramm durch gerade Strecken. Für jeden Zeitabschnitt multiplizierst du die Dauer mit dem Mittelwert seiner beiden Durchflusswerte. Danach addierst du die Teilmengen. Der mittlere Abschnitt dauert hier drei Minuten und der letzte nur eine. Halte diese Abstände in der Rechnung fest, damit du die Messwerte mit der jeweils richtigen Dauer gewichtest.
Woher die Trapezregel kommt
Zeichne die Zeit auf die waagerechte Achse und den Durchfluss auf die senkrechte. Verbinde für die ersten zwei Minuten die Höhen 4 und 8 durch eine gerade Strecke. Darunter liegen ein Rechteck der Höhe 4 und ein Dreieck, dessen Höhe über das Intervall um 4 zunimmt. Das Rechteck liefert 2 × 4 = 8 Liter. Das Dreieck liefert 2 × 4 / 2 = 4 Liter. Zusammen ergeben die beiden Flächen 12 Liter.
Du kannst die Rechnung in einem Schritt ausführen. Die mittlere Höhe ist (4 + 8)/2 = 6 Liter pro Minute. Multipliziert mit zwei Minuten ergibt das ebenfalls 12 Liter. Denk dir die schräge Oberkante durch eine waagerechte Linie auf mittlerer Höhe ersetzt. Was du auf der einen Seite wegnimmst, fügst du auf der anderen hinzu. Bei fallendem Durchfluss funktioniert die Zerlegung genauso. Der kleinere Wert liefert die Höhe des Rechtecks und der Unterschied liefert die Höhe des Dreiecks.
Für ein Intervall von a bis b und eine Funktion f ergibt sich der Beitrag (b − a)(f(a) + f(b))/2. Liegt der Funktionsgraph auf einer Geraden, stimmt das Trapez genau mit der Fläche unter dem Graphen überein, bei negativen Werten mit entsprechendem Vorzeichen. Bei einer gekrümmten Linie dient die Verbindungsstrecke als Näherung. Aus einer Tabelle erhältst du damit exakt das Integral des stückweise linearen Modells. Wie gut dieses Modell die Pumpe beschreibt, hängt vom tatsächlichen Verlauf zwischen den Messungen ab.
Im Diagramm steht jede Höhe für eine Rate und jede Breite für eine Dauer. Wenn du Graphen in der Analysis liest, halte die Fläche unter der Strecke und ihre Steigung auseinander. Die Steigung beschreibt die Änderung der Rate, während die Fläche eine Menge angibt.
Rechne mit den Abständen aus der Tabelle
Schreib vor der Multiplikation die drei Zeitabstände auf. Zwischen Minute 0 und 2 ist der Abstand 2. Der mittlere Durchfluss beträgt 6, also ergibt sich ein Beitrag von 12 Litern. Von Minute 2 bis 5 ist der Abstand 3 und der Mittelwert (8 + 6)/2 = 7. Das sind 21 Liter. Von Minute 5 bis 6 ist der Abstand 1 und der Mittelwert (6 + 2)/2 = 4. Das sind 4 Liter. Zusammen ergibt sich die Schätzung 12 + 21 + 4 = 37 Liter.
Der mittlere Abschnitt trägt am meisten bei, weil er lange dauert und eine vergleichsweise hohe mittlere Rate hat. Der letzte trägt am wenigsten bei, weil er nur eine Minute dauert und der mittlere Durchfluss kleiner ist. Kontrolliere jede Multiplikation über die Einheit. Minuten mal Liter pro Minute ergibt Liter. Steht am Ende noch Liter pro Minute, hast du möglicherweise einen mittleren Durchfluss und keine Wassermenge berechnet.
Die Rechnung gilt auch für andere Größen. Aus einer Geschwindigkeit und einer Dauer erhältst du einen Wegbeitrag. Aus einer Leistung und einer Dauer erhältst du einen Energiebeitrag. Bei vorzeichenbehafteten Raten berechnest du eine Bilanz. Ein negativer Durchfluss kann etwa Wasser in der Gegenrichtung bedeuten. Ist stattdessen die gesamte in beide Richtungen bewegte Wassermenge gesucht, musst du den Betrag der Rate integrieren. Wechselt ein gerader Abschnitt das Vorzeichen, teile ihn dafür an seiner Nullstelle.
Angenommen, der Durchfluss steigt in zwei Minuten geradlinig von −2 auf 2 Liter pro Minute. Nach einer Minute erreicht er null. Das Dreieck unter der Achse trägt −1 Liter bei und das Dreieck darüber 1 Liter. In der Bilanz ergibt das null Liter. Insgesamt sind in beiden Richtungen zusammen 2 Liter geflossen.
Wann du eine gemeinsame Schrittweite verwenden kannst
Bei gleichmäßig verteilten Messpunkten heißt der Abstand h. Jeder innere Messwert tritt in zwei Trapezen auf, einmal als rechtes und einmal als linkes Ende. Der erste und der letzte Wert treten nur einmal auf. Daher kannst du h mit der Summe der inneren Werte und der halben Randwerte multiplizieren. Das Institut für Mathematik der TU Clausthal zeigt, wie die zusammengesetzte Regel aus den einzelnen Trapezen entsteht.
Vier Messpunkte ergeben drei Intervalle. Sechs Minuten geteilt durch drei ergibt zwar 2, doch in der Tabelle stehen die Abstände 2, 3 und 1. Wenn du überall 2 einsetzt, erhältst du 2 × (4/2 + 8 + 6 + 2/2) = 34 Liter. Diese Rechnung wäre passend, wenn die Messwerte zu den Zeiten 0, 2, 4 und 6 gehörten. Für die tatsächliche Tabelle liegt sie drei Liter unter der Summe der einzelnen Trapeze.
Auch bei ungleichen Abständen kannst du die Gewichte einzeln ablesen. Der erste Messwert bekommt die Hälfte der ersten Dauer und der letzte die Hälfte der letzten Dauer. Jeder innere Messwert bekommt jeweils die halbe Dauer links und rechts. Im Pumpenbeispiel sind das 1, 2,5, 2 und 0,5 Minuten. Sie ergeben zusammen 6 Minuten. Mit den Durchflusswerten multipliziert liefern sie 4 + 20 + 12 + 1 = 37 Liter. Das bestätigt die erste Rechnung. Wenn du die Rechnung erklären willst, sind die getrennten Beiträge für die drei Intervalle oft leichter nachzuvollziehen.
Schätze die Richtung des Fehlers anhand der Krümmung ein
Bei einem konvexen Graphen liegt die Verbindungsstrecke über dem Graphen oder auf ihm. Die Trapezsumme ist auf diesem Abschnitt mindestens so groß wie das Integral. Bei einem konkaven Graphen ist sie höchstens so groß. Wechselt die Krümmung, können die Fehler einzelner Abschnitte unterschiedliche Vorzeichen haben. Allein an den vier Werten der Pumpe kannst du die Krümmung zwischen den Messungen nicht ablesen.
Betrachte f(x) = x² auf [0, 2]. Das genaue Integral ist 8/3. Zwei gleich große Intervalle liefern die Höhen 0, 1 und 4 bei einer Breite von 1. Die beiden Beiträge sind 1/2 und 5/2, zusammen also 3. Die Schätzung liegt um 1/3 zu hoch. Dieser Abstand ist ein absoluter Fehler. Für den relativen Fehler teilst du 1/3 durch den exakten Wert 8/3. Das ergibt 1/8 oder 12,5 Prozent.
Bei vier Intervallen beträgt die Breite 1/2. Die Höhen sind 0, 1/4, 1, 9/4 und 4. Die gewichtete Summe ist (1/2)(0/2 + 1/4 + 1 + 9/4 + 4/2) = 11/4. Der Fehler beträgt 11/4 − 8/3 = 1/12, also ein Viertel des vorherigen Fehlers. Dieser genaue Faktor gilt für die quadratische Funktion auf dem gleichen Intervall. Ist eine Funktion zweimal stetig differenzierbar und gilt |f″| ≤ M, beträgt die übliche Fehlerschranke für n gleich breite Intervalle M(b − a)³/(12n²). Für x² ist M = 2 und die Schranke stimmt hier mit dem absoluten Fehler überein. Vier Messwerte allein liefern keine solche Schranke für den wirklichen Durchfluss.
Entscheide, wo eine zusätzliche Messung hilft
Gerade Strecken zwischen Messpunkten entsprechen einer abschnittsweise linearen Interpolation. Wenn die Pumpe zwischen den Messungen kurz stoppt oder schneller läuft, können zwei Kurven trotz gleicher Randwerte verschiedene Gesamtmengen ergeben. Die Zahl 37 beschreibt die Fläche des Modells. Mehr Nachkommastellen würden keine zusätzliche Information über die Pumpe liefern.
Für eine weitere Messung ist der längste Abstand ein plausibler Ausgangspunkt, wenn du sonst nichts über den Verlauf weißt. Weißt du dagegen, dass ein Ventil im kürzesten Abschnitt geöffnet wurde, kann gerade dort eine Messung wichtiger sein. Die Wahl der Messzeiten ist ein Teil der Modellierung. Sobald die Tabelle feststeht, rechnest du mit ihren tatsächlichen Abständen.
Ein neuer Wert in Minute 3 teilt den Abschnitt von Minute 2 bis 5 in Breiten von 1 und 2 Minuten. Die anderen beiden Beiträge bleiben bei 12 und 4 Litern. Bei einem neuen Durchfluss von 22/3 liegt der Punkt auf der alten Verbindungsstrecke und die Summe bleibt gleich. Bei einem Wert von 9 wird der mittlere Beitrag zu 1 × (8 + 9)/2 + 2 × (9 + 6)/2 = 23,5 Litern. Die Gesamtschätzung steigt damit auf 39,5 Liter.
Rechne eine Tabelle mit drei Messwerten
Eine zweite Pumpe läuft vier Minuten. In Minute 0, 1 und 4 beträgt der Durchfluss 3, 5 und 1 Liter pro Minute. Schreib die beiden Breiten und jeweils den Mittelwert der beiden Randwerte auf. Das zweite Intervall ist dreimal so breit wie das erste, daher brauchst du zwei getrennte Multiplikationen.
Das erste Intervall liefert 1 × (3 + 5)/2 = 4 Liter. Das zweite liefert 3 × (5 + 1)/2 = 9 Liter. Zusammen sind das 13 Liter. Zur Kontrolle kannst du für dieselben Intervalle erst mit den linken Randwerten rechnen und dann mit den rechten. Links ergibt 1 × 3 + 3 × 5 = 18 Liter. Rechts ergibt 1 × 5 + 3 × 1 = 8 Liter. Der Mittelwert beider Summen ist 13 Liter und stimmt mit der Trapezsumme überein.
Wird nach dem mittleren Durchfluss über alle vier Minuten gefragt, teilst du die geschätzte Wassermenge durch die Dauer. Du erhältst 13/4 = 3,25 Liter pro Minute. Damit ändert sich die Einheit und auch die beantwortete Frage. Lies vor dem Abgeben noch einmal, ob eine Menge oder eine Rate gesucht ist, und kontrolliere, ob du die Zeitabstände aus der Tabelle übernommen hast.
