Méthode des trapèzes à pas irréguliers

Pourquoi la méthode des trapèzes utilise une moyenne

Place le temps sur l'axe horizontal et le débit sur l'axe vertical. Entre les minutes 0 et 2, relie les hauteurs 4 et 8 par un segment. Sous ce segment se trouvent un rectangle de hauteur 4 et un triangle dont la hauteur augmente de 4 sur l'intervalle. Le rectangle donne 2 × 4 = 8 litres. Le triangle donne 2 × 4 / 2 = 4 litres. Leur somme vaut 12 litres.

On retrouve ce résultat en une seule multiplication. La hauteur moyenne vaut (4 + 8)/2 = 6 litres par minute. Multiplie par deux minutes et tu obtiens 12 litres. En remplaçant le bord incliné par un bord horizontal à la hauteur moyenne, on déplace une portion de surface d'un côté à l'autre. Si le débit diminue, le raisonnement reste valable. La plus petite hauteur donne le rectangle et l'écart entre les hauteurs donne le triangle.

Sur un intervalle allant de a à b, la contribution s'écrit (b − a)(f(a) + f(b))/2. Si le graphe est une droite, le segment passe exactement par le graphe. Si la courbe s'écarte de sa corde, la surface du trapèze approche l'intégrale. Sur des mesures, le résultat est donc exact pour le modèle linéaire par morceaux. Pour savoir à quel point il représente le volume réel, il faudrait connaître le débit entre les relevés.

Sur le graphique, chaque hauteur indique un débit et chaque largeur une durée. Pour lire les graphiques en analyse, distingue la pente du segment de la surface qui se trouve dessous. La pente décrit une variation du débit et la surface donne un volume.

Respecter les durées du tableau

Écris d'abord les durées. Entre les minutes 0 et 2, la durée est 2 et le débit moyen des deux extrémités vaut 6, soit un volume estimé de 12 litres. De la minute 2 à la minute 5, la durée est 3 et la moyenne est (8 + 6)/2 = 7, soit 21 litres. De la minute 5 à la minute 6, la durée est 1 et la moyenne est (6 + 2)/2 = 4, soit 4 litres. Le total estimé vaut 12 + 21 + 4 = 37 litres.

L'intervalle du milieu apporte le plus grand volume. Il dure longtemps et son débit moyen est élevé. Le dernier apporte le plus petit volume, car il ne dure qu'une minute et son débit moyen est plus faible. Vérifie les unités à chaque multiplication. Des minutes multipliées par des litres par minute donnent des litres. Si tu obtiens encore des litres par minute, regarde si tu as calculé un débit moyen au lieu du volume total.

La même opération permet d'estimer une distance à partir d'une vitesse ou une énergie à partir d'une puissance. Avec une grandeur signée, la somme décrit un bilan. Un débit négatif peut indiquer que l'eau circule dans l'autre sens. Pour estimer la quantité totale d'eau déplacée dans les deux sens, il faut intégrer la valeur absolue du débit. Si un segment change de signe, coupe-le à son point de passage par zéro avant de calculer les surfaces.

Supposons que le débit passe en ligne droite de −2 à 2 litres par minute en deux minutes. Il atteint zéro au bout d’une minute. Le triangle sous l’axe apporte −1 litre et celui au-dessus apporte 1 litre. Le bilan est nul, tandis que le volume total déplacé dans les deux sens vaut 2 litres.

Repérer quand un pas commun est possible

Si les mesures sont également espacées, appelle h leur écart commun. Chaque hauteur intérieure appartient à deux trapèzes successifs. La première et la dernière appartiennent à un seul. En regroupant les contributions, on multiplie h par la somme des hauteurs intérieures et des deux demi-hauteurs aux extrémités. Les notes de méthodes numériques de l'Université Paris-Saclay relient la méthode des trapèzes à l'intégration d'une courbe construite par segments.

Quatre points délimitent trois intervalles. Diviser six minutes par trois donne 2, mais les durées du relevé sont 2, 3 et 1. Utiliser 2 partout donne 2 × (4/2 + 8 + 6 + 2/2) = 34 litres. Ce calcul correspondrait à un tableau pris aux minutes 0, 2, 4 et 6. Pour les heures de mesure réelles, il manque trois litres par rapport à la somme des trois trapèzes.

Il est possible d'écrire les poids même avec des pas irréguliers. La première hauteur reçoit la moitié de la première durée et la dernière, la moitié de la dernière durée. Une hauteur intérieure reçoit la moitié de la durée à gauche plus la moitié de la durée à droite. Ici, les poids valent 1, 2,5, 2 et 0,5 minute et totalisent six minutes. Les produits donnent 4 + 20 + 12 + 1 = 37 litres. C'est une façon de vérifier la somme calculée intervalle par intervalle.

Utiliser la courbure pour comprendre l'erreur

Si la courbe est convexe sur un intervalle, sa corde se trouve au-dessus d'elle ou la rejoint. Le trapèze donne alors une valeur supérieure ou égale à l'intégrale. Pour une courbe concave, le sens de la comparaison s'inverse. Si la courbure change, les erreurs peuvent avoir des signes différents. Les quatre valeurs de débit ne révèlent pas à elles seules la courbure entre les mesures.

Prends f(x) = x² sur [0, 2]. L'intégrale exacte vaut 8/3. Avec deux intervalles de largeur 1, les hauteurs sont 0, 1 et 4. Les deux contributions sont 1/2 et 5/2, soit 3. L'écart de 1/3 est une erreur absolue. Pour exprimer l'erreur en pourcentage de l'intégrale exacte, divise 1/3 par 8/3. Le rapport vaut 1/8, soit 12,5 %.

Avec quatre intervalles de largeur 1/2, les hauteurs sont 0, 1/4, 1, 9/4 et 4. La somme pondérée vaut (1/2)(0/2 + 1/4 + 1 + 9/4 + 4/2) = 11/4. L'erreur vaut 11/4 − 8/3 = 1/12, un quart de la précédente. Le facteur exact est propre à cet exemple quadratique. Pour une fonction deux fois continûment dérivable telle que |f″| ≤ M, une borne classique avec n intervalles égaux est M(b − a)³/(12n²). Ici, M = 2 et la borne est atteinte. Pour appliquer cette borne à un débit réel, il faut disposer d'une information sur sa dérivée seconde.

Choisir où placer une mesure supplémentaire

Relier les points voisins revient à faire une interpolation linéaire par morceaux. Deux débits peuvent passer par les mêmes points et donner des volumes différents si l'un varie plus vite entre les mesures. Ajouter des décimales à 37 litres ne donne aucune information sur ces variations.

Si tu peux ajouter une mesure et que tu ne sais rien d'autre, l'intervalle de trois minutes est un candidat naturel, car c'est la période la plus longue sans mesure intermédiaire. Si tu sais qu'une vanne a changé de position pendant la dernière minute, c'est peut-être là que le relevé supplémentaire apportera le plus. Le choix des instants de mesure précède le calcul de l'estimation.

Une mesure à la minute 3 coupe l'intervalle de la minute 2 à la minute 5 en deux durées de 1 et 2 minutes. Les deux autres contributions restent à 12 et 4 litres. Si le nouveau débit vaut 22/3, le point est sur l'ancien segment et la somme reste la même. S'il vaut 9, le volume estimé au milieu devient 1 × (8 + 9)/2 + 2 × (9 + 6)/2 = 23,5 litres. Le total passe à 39,5 litres, car on a obtenu une information à l'intérieur de l'intervalle.

Refaire le calcul avec trois mesures

Une autre pompe fonctionne pendant quatre minutes. Aux minutes 0, 1 et 4, les débits valent 3, 5 et 1 litres par minute. Avant de lire le résultat, note les deux durées et les moyennes de débit correspondantes. La deuxième durée est trois fois la première, donc chaque moyenne doit garder son propre multiplicateur.

Le premier intervalle donne 1 × (3 + 5)/2 = 4 litres. Le deuxième donne 3 × (5 + 1)/2 = 9 litres. Le total vaut 13 litres. Pour le vérifier, calcule deux sommes de rectangles sur les mêmes intervalles. Avec les valeurs de gauche, tu obtiens 1 × 3 + 3 × 5 = 18 litres. Avec les valeurs de droite, tu obtiens 1 × 5 + 3 × 1 = 8 litres. La moyenne des deux sommes vaut 13 litres.

Si la question porte sur le débit moyen pendant les quatre minutes, divise le volume estimé par la durée. On trouve 13/4 = 3,25 litres par minute. Cette dernière division change l'unité et la question à laquelle tu réponds. Avant de terminer, relis l'unité demandée et vérifie que les durées utilisées sont celles du relevé.