Wahrscheinlichkeit · Ratgeber von Eqora
Hypergeometrische Verteilung ohne Zurücklegen
Berechne Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen ohne Zurücklegen mit Kombinationen und prüfe Treffergrenzen, Reihenfolgen und Gegenereignisse.
In einem Beutel liegen zwölf Holzplättchen. Fünf sind blau, sieben sind naturfarben. Du mischst den Beutel, ziehst vier Plättchen und legst keines zurück. Wie wahrscheinlich ist es, dass genau zwei der gezogenen Plättchen blau sind? Für das erste Plättchen beträgt die Wahrscheinlichkeit für Blau fünf Zwölftel. Beim zweiten Zug kommt es darauf an, welches Plättchen schon auf dem Tisch liegt.
Die hypergeometrische Verteilung löst diese Aufgabe, indem sie mögliche Gruppen zählt. Bei genau zwei blauen Plättchen müssen die übrigen beiden naturfarben sein. Du kannst beide Teile der Gruppe getrennt abzählen und das Ergebnis anschließend mit einer Rechnung für geordnete Ziehungen kontrollieren.
Wann die hypergeometrische Verteilung passt
Du beginnst mit einer festen Menge unterscheidbarer Objekte. Ein Teil davon besitzt das Merkmal, das du zählen willst. Du wählst eine feste Anzahl von Objekten gleichmäßig zufällig und ohne Zurücklegen. Ob du die Objekte nacheinander oder gleichzeitig ziehst, spielt für die Anzahl der Treffer keine Rolle, solange alle gleich großen Gruppen die gleiche Chance haben und die Reihenfolge nicht gefragt ist.
Schreibe N für den Umfang der Grundgesamtheit, K für die Anzahl der Objekte mit dem Merkmal und n für den Stichprobenumfang. Die Zufallsvariable X zählt, wie viele der gezogenen Objekte das Merkmal haben. Im Beutel gilt N = 12, K = 5 und n = 4. Das Ereignis „genau zwei blaue Plättchen“ schreibst du als X = 2. Der Ausdruck „Treffer“ bezeichnet dabei einfach ein gezogenes Objekt mit dem gewählten Merkmal.
Dass die Auswahl gleichmäßig zufällig erfolgt, ist eine eigene Voraussetzung. Wären die blauen Plättchen schwerer und könntest du sie im Beutel ertasten, hätten manche Gruppen womöglich eine höhere Chance. Für die folgende Rechnung setzt du voraus, dass jede Vierergruppe konkreter Plättchen gleich wahrscheinlich ist. Das Stochastikskript der Universität Bonn leitet die hypergeometrische Verteilung ebenfalls aus einer gleichmäßigen Stichprobe ohne Zurücklegen her.
Bestimme zuerst die Anzahl aller Stichproben
Nummeriere gedanklich alle zwölf Plättchen. Auch zwei gleichfarbige Plättchen gelten dann als verschiedene Objekte. Für die erste Position der Ziehung gibt es zwölf Möglichkeiten, für die zweite noch elf, für die dritte zehn und für die vierte neun. Damit erhältst du 12 × 11 × 10 × 9 geordnete Listen.
Jede Vierergruppe taucht in genau 4 × 3 × 2 × 1 verschiedenen Reihenfolgen auf. Teile durch diese Zahl, um jede Gruppe nur einmal zu zählen. Es bleiben 495 mögliche Gruppen. Als Binomialkoeffizienten schreibt man das C(12, 4) und liest es als „zwölf über vier“. Die gleiche Zählidee steckt hinter der Entscheidung zwischen Kombination und Permutation.
Für eine günstige Gruppe wählst du zwei der fünf blauen Plättchen und zwei der sieben naturfarbenen. Der erste Teil hat C(5, 2) = 10 Möglichkeiten, der zweite C(7, 2) = 21. Zu jedem blauen Paar kannst du jedes naturfarbene Paar legen. Deshalb multiplizierst du 10 × 21 und erhältst 210 günstige Gruppen. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt 210/495 = 14/33, also ungefähr 42,4 Prozent.
Mit den gedanklichen Nummern vermeidest du einen typischen Fehler. Die beiden Farbmuster „alles naturfarben“ und „zwei von jeder Farbe“ sind zwar jeweils eine Kategorie. Sie enthalten jedoch unterschiedlich viele Gruppen. Im Nenner stehen konkrete Vierergruppen und keine Farbmuster. Erst dadurch kannst du die Wahrscheinlichkeit als Quotienten von günstigen und möglichen Gruppen berechnen.
Ordne jeder Zahl in der Formel ihre Aufgabe zu
Allgemein besteht eine Stichprobe mit genau k Treffern aus k Objekten der ersten Sorte und n − k Objekten der zweiten Sorte. Daher gilt P(X = k) = C(K, k) × C(N − K, n − k) / C(N, n). Prüfe die beiden unteren Zahlen im Zähler. Zusammen müssen sie n ergeben. Im Nenner steht dieselbe Stichprobengröße, diesmal ausgewählt aus allen N Objekten.
Die Trefferzahl kann höchstens n betragen, weil du nur n Objekte ziehst. Sie kann auch nicht größer als K sein, weil es nur K Trefferobjekte gibt. Umgekehrt muss die Trefferzahl groß genug sein, um die Stichprobe mit den N − K übrigen Objekten auffüllen zu können. Der kleinste mögliche Wert ist damit max(0, n − (N − K)), der größte min(n, K). Außerhalb dieser Grenzen ist die Wahrscheinlichkeit null.
Stell dir acht Plättchen vor, sechs blaue und zwei naturfarbene. Du ziehst fünf. Mindestens drei davon müssen blau sein, weil insgesamt nur zwei naturfarbene Plättchen vorhanden sind. Höchstens fünf können blau sein, weil die Stichprobe nur fünf Plättchen enthält. Genau zwei blaue Plättchen wären unmöglich. Eine solche Gruppe bräuchte drei naturfarbene Plättchen. Diese Kontrolle spart Rechenarbeit und hilft dir bei Aufgaben, in denen mehrere Trefferzahlen zu einem Ereignis gehören.
Rechne zur Kontrolle in einer festen Reihenfolge
Betrachte zunächst nur die Reihenfolge Blau, Blau, Natur, Natur. Ihre Wahrscheinlichkeit beträgt (5/12) × (4/11) × (7/10) × (6/9). Nach dem ersten blauen Zug sind vier blaue Plättchen übrig. Nach zwei blauen Zügen befinden sich alle sieben naturfarbenen Plättchen noch im Beutel. Die Gesamtzahl sinkt nach jedem Zug um eins. Das Produkt ergibt 7/99.
Für genau zwei blaue Plättchen sind auch die anderen Reihenfolgen erlaubt. Die blauen Plättchen können auf zwei der vier Positionen liegen, also gibt es C(4, 2) = 6 mögliche Anordnungen der Farben. Jede Reihenfolge hat dasselbe Produkt. Bei Blau lauten die beiden Zähler nacheinander 5 und 4, bei Natur 7 und 6. Die Reihenfolge verschiebt diese Zähler zwischen den Brüchen, ändert aber das Produkt nicht. Addierst du alle sechs disjunkten Ereignisse, erhältst du 6 × 7/99 = 14/33.
Ein Baumdiagramm zeigt gut, wie sich die Wahrscheinlichkeit nach einem Zug verändert. Die Rechnung über Kombinationen braucht meist weniger Zeilen, wenn viele Reihenfolgen zum selben Ergebnis führen. Lies deshalb die Positionsangaben genau. Für „zuerst zweimal Blau, danach zweimal Natur“ gilt 7/99. Für „genau zweimal Blau in beliebiger Reihenfolge“ gilt 14/33.
Übersetze „mindestens“ in passende Trefferzahlen
Im ursprünglichen Beutel ergeben sich für X = 0, 1, 2, 3 und 4 die günstigen Gruppenzahlen 35, 175, 210, 70 und 5. Zusammen sind das 495 Gruppen. Jede Vierergruppe gehört genau zu einer Kategorie. Bei „mindestens zwei“ addierst du die Gruppen mit zwei, drei und vier blauen Plättchen. Die Wahrscheinlichkeit ist (210 + 70 + 5)/495 = 19/33. Bei „genau zwei“ nimmst du nur die 210 Gruppen mit zwei blauen Plättchen.
Für „mindestens ein blaues Plättchen“ ist das Gegenereignis einfacher. Es enthält alle Gruppen, die ausschließlich aus naturfarbenen Plättchen bestehen. Davon gibt es C(7, 4) = 35. Also gilt P(X ≥ 1) = 1 − 35/495 = 92/99. Bei der Binomialverteilung liest du „genau“ und „mindestens“ genauso. Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Trefferzahlen berechnest du dort anders.
Wenn du jedes Plättchen zurücklegst und den Beutel erneut mischst, bleibt die Wahrscheinlichkeit für Blau bei jedem Zug 5/12. Ohne Zurücklegen beträgt sie im zweiten Zug 4/11 nach Blau oder 5/11 nach Natur. Betrachtet man die zweite Position für sich, ist die unbedingte Wahrscheinlichkeit für Blau trotzdem 5/12. Für mehrere Positionen zusammen musst du jedoch die Abhängigkeit berücksichtigen. Gerade diese Unterscheidung erklärt, warum ein einziger fester Faktor für Blau hier zu einem falschen Ergebnis führt.
Der Erwartungswert der Trefferzahl beantwortet eine andere Frage. Hier ergibt (175 + 2 × 210 + 3 × 70 + 4 × 5)/495 = 5/3 die mittlere Anzahl blauer Plättchen über wiederholte Stichproben.
Kontrolliere die Methode mit einer neuen Stichprobe
Jetzt liegen neun Plättchen im Beutel, davon drei blaue und sechs naturfarbene. Du ziehst wieder vier ohne Zurücklegen. Berechne zuerst die Wahrscheinlichkeit für genau ein blaues Plättchen und dann die Wahrscheinlichkeit für mindestens eines. Notiere die beiden Farbbestände und die Stichprobengröße. Beide Fragen haben denselben Nenner und unterschiedliche günstige Gruppen.
Für genau ein blaues Plättchen gibt es C(3, 1) = 3 blaue Einzelplättchen und C(6, 3) = 20 naturfarbene Dreiergruppen. Insgesamt sind C(9, 4) = 126 Vierergruppen möglich. Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit 60/126 = 10/21. Für mindestens eines ziehst du das Gegenereignis ab. Es gibt C(6, 4) = 15 rein naturfarbene Gruppen, also ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit 1 − 15/126 = 37/42.
Kontrolliere den letzten Wert mit einer direkten Summe. Genau zwei blaue Plättchen ergeben C(3, 2) × C(6, 2) = 45 Gruppen. Genau drei blaue Plättchen ergeben C(3, 3) × C(6, 1) = 6 Gruppen. Vier blaue Plättchen sind bei einem Bestand von drei unmöglich. Die Summe 60 + 45 + 6 ergibt 111, genauso wie 126 − 15. Wenn deine beiden Rechnungen auseinanderlaufen, gehe zur Bedeutung jeder Auswahl zurück. Jede gezählte Gruppe muss insgesamt vier Plättchen enthalten und genau einmal in deiner Rechnung stehen.
Prüfe vor dem Rechnen, was als Stichprobe gilt
In einer anderen Aufgabe könntest du aus dem Zwölferbeutel nur zwei Plättchen ziehen. Die Frage „Sind beide blau?“ lässt sich direkt im Baum lesen. Beim ersten Zug gibt es fünf blaue unter zwölf Plättchen, beim zweiten bleiben nach Blau vier unter elf. Das Produkt ist 5/33. Dieselbe Zahl erhältst du, wenn du die zehn möglichen blauen Paare durch alle 66 Paare teilst. Hier gibt es nur eine passende Farbfolge. Die sechs Anordnungen aus der Viereraufgabe kannst du deshalb nicht übernehmen.
Das Beispiel hilft auch beim Lesen von Textaufgaben, in denen kein Beutel vorkommt. Bei einer Stichprobe aus einer Lieferung kann das Merkmal „hat einen Kratzer“ lauten. Wenn du dieselben Teile nicht zweimal prüfst, modellierst du die Auswahl wie eine Ziehung ohne Zurücklegen. Die Teile mit und ohne Kratzer übernehmen die Rolle der zwei Farben. Voraussetzung für die Rechnung ist, dass der Bestand an Teilen mit Kratzer feststeht und dass jede gleich große Auswahl dieselbe Chance hat. Wenn du gezielt nur die Teile oben in der Kiste untersuchst, lässt sich diese Annahme aus der Beschreibung allein nicht ableiten.
Schreib deshalb beim nächsten Beispiel neben die Formel in Worten, was die Grundgesamtheit, das Merkmal und die Stichprobe sind. Prüfe anschließend, ob das Ergebnis zum Ereignis passt. Bei einer Wahrscheinlichkeit für „mindestens zwei“ muss beispielsweise der Fall mit genau zwei enthalten sein. Hast du für beide Ereignisse denselben Wert erhalten, kontrolliere, ob die Fälle mit mehr als zwei Treffern tatsächlich unmöglich sind oder ob du sie beim Addieren übersehen hast.