Algèbre · Guide Eqora
Équations avec racine dans les devoirs de maths
Élever au carré peut produire une valeur qui ne vérifie pas l’équation initiale. Distingue le domaine, le signe et la vérification avant de conclure.
Les équations avec racine dans les devoirs de maths demandent une vérification. Tu dois résoudre √(x + 6) = x. Tu élèves les deux membres au carré, puis tu factorises le polynôme obtenu. Tu trouves x = 3 ou x = −2. Les deux nombres vérifient l’équation du second degré, mais un seul vérifie celle de départ. Il n’y a aucune contradiction : le passage au carré a fait disparaître une information sur les signes. Il faut retrouver cette information avant de présenter l’ensemble des solutions.
Nous travaillons dans les nombres réels. Nous allons isoler les racines, noter les conditions d’existence et distinguer les valeurs candidates des solutions vérifiées. Les calculs sont expliqués avant le parcours d’aide avec l’application. Les photographies représentent des formes et des orientations, pas des démonstrations numériques ni l’interface d’Eqora. Garde toujours l’équation initiale visible : une transformation peut fournir des candidats sans être équivalente à la relation de départ.
Eqora publie ce guide et présente sa propre application comme outil d’apprentissage. Utilise l’aide pour examiner une étape que tu ne sais pas justifier, pas pour remplacer ton raisonnement personnel ou ton travail d’examen. Aucun outil ne garantit une réponse correcte ou une note. Vérifie l’énoncé, les notations, les hypothèses et le résultat, et respecte les règles de ton enseignant. L’objectif est ensuite de résoudre seul un exercice similaire.
Le symbole de racine ne signifie pas plus ou moins
Pour un réel a positif ou nul, √a désigne sa racine carrée positive ou nulle. Ainsi, √4 = 2, et non ±2. En revanche, l’équation y² = 4 admet les deux solutions y = 2 et y = −2. La première écriture évalue une expression définie ; la seconde cherche les nombres dont le carré vaut quatre. Dans notre exercice, le membre de gauche ne peut donc pas être négatif. Le membre de droite, x, doit lui aussi être positif ou nul.
Le manuel OpenStax rappelle cette convention et la nécessité de vérifier les candidats après le passage au carré. Comprends surtout la raison : deux nombres égaux ont le même carré, mais deux carrés égaux ne proviennent pas forcément de nombres égaux. Par exemple, 2² = (−2)² alors que 2 ≠ −2. Élever au carré permet d’avancer dans le calcul. Pour revenir à l’égalité initiale, il faut conserver les conditions de signe que cette nouvelle ligne ne montre plus.
Sépare le domaine de définition de la condition de signe
Dans √(x + 6) = x, le nombre sous la racine doit être positif ou nul. On obtient x + 6 ≥ 0, donc x ≥ −6. Cette condition assure que la racine existe dans les réels. Mais x doit aussi pouvoir égaler une racine positive ou nulle, donc x ≥ 0. Les deux conditions réunies imposent x ≥ 0. À x = −2, la racine existe parfaitement ; c’est son signe qui rend impossible l’égalité avec le membre de droite.
Applique cette distinction à √(x + 1) = x − 1. Le domaine donne x ≥ −1, tandis que le signe nécessaire de x − 1 donne x ≥ 1. La condition commune est donc x ≥ 1. Ces restrictions ne résolvent pas l’équation : beaucoup de nombres admissibles ne la vérifient toujours pas. Elles indiquent seulement quels candidats peuvent être retenus pour la vérification finale. Écris-les à côté de l’énoncé plutôt que de compter sur ta mémoire après plusieurs transformations.
Équations avec racine dans les devoirs de maths : vérifier les candidats
Élevons maintenant √(x + 6) = x au carré. Nous obtenons x + 6 = x², puis x² − x − 6 = 0. La factorisation donne (x − 3)(x + 2) = 0. Un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul : x = 3 ou x = −2. Ce sont les candidats issus de l’équation transformée. Nous savons déjà que −2 ne satisfait pas x ≥ 0, mais la substitution initiale permet d’expliquer concrètement son rejet.
Pour x = 3, le membre de gauche vaut √(3 + 6) = √9 = 3, comme le membre de droite. Pour x = −2, il vaut √(−2 + 6) = √4 = 2, et non −2. L’ensemble des solutions est donc {3}. La valeur rejetée est souvent appelée solution parasite ; avant la vérification, parler de candidat évite de la présenter comme une vraie solution. Notre guide de vérification des résultats développe cette habitude : revenir à la relation initiale, pas seulement à la dernière ligne commode.
Isole la racine avant de la faire disparaître
Considère 2 + √(3x + 1) = 6. Soustrais d’abord deux : √(3x + 1) = 4. Le passage au carré donne alors 3x + 1 = 16, puis 3x = 15 et x = 5. Dans l’équation initiale, 2 + √16 = 6. Le domaine x ≥ −1/3 est respecté. Isoler la racine simplifie la transformation et rend visible le signe du membre opposé. Ici, quatre est une constante positive : aucune condition supplémentaire sur x ne vient de ce côté.
On peut aussi élever toute l’expression 2 + √(3x + 1) au carré, mais son développement contient un double produit. Il ne se réduit pas à 4 + 3x + 1. De même, √(x + 6) n’est généralement pas égal à √x + √6. Les parenthèses précisent ce qui se trouve sous la racine et quelle expression complète est élevée au carré. En recopiant une photo, vérifie la longueur de la barre de racine et les constantes extérieures avant de commencer.
Le carré d’une différence contient un terme du milieu
Reprenons √(x + 1) = x − 1 avec x ≥ 1. Le passage au carré donne x + 1 = (x − 1)² = x² − 2x + 1. En regroupant, nous obtenons x² − 3x = 0, soit x(x − 3) = 0. Les candidats sont zéro et trois. Zéro échoue : √1 = 1 à gauche, mais −1 à droite. Trois fonctionne : √4 = 2, comme 3 − 1. Nous retenons donc uniquement x = 3.
Écrire (x − 1)² = x² − 1 supprimerait le terme du milieu et changerait l’équation. Si tu hésites, développe (x − 1)(x − 1) : les deux termes −x donnent −2x. Notre article sur la complétion du carré examine la même structure quadratique sous un autre angle. Ici, le but est simplement de conserver tout le membre de droite correctement avant de résoudre. Associe chaque signe et chaque terme de la formule à ceux de ton expression, au lieu d’appliquer une identité de mémoire sans contrôle.
Deux racines demandent une succession maîtrisée
Dans √(x + 5) = √(2x − 1), les deux nombres sous les racines doivent être positifs ou nuls. Ensemble, ces conditions imposent x ≥ 1/2. Sur ce domaine, les deux membres sont déjà positifs ou nuls. Élever au carré donne x + 5 = 2x − 1, donc x = 6. Les deux membres initiaux valent √11. Dans cette forme précise, le contrôle du domaine rend la transformation réversible ; cela ne dispense pas de vérifier toutes les autres équations avec deux racines.
Pour √(x + 4) + √x = 4, commence par x ≥ 0. Isole la première racine : √(x + 4) = 4 − √x. Son membre de droite doit être positif ou nul, donc x ≤ 16. Après élévation au carré, x + 4 = 16 − 8√x + x. Soustrais x, puis obtiens 8√x = 12 et √x = 3/2. Un second passage au carré donne x = 9/4. La vérification initiale est 5/2 + 3/2 = 4. Contrôle le signe à chaque passage au carré.
Avec Eqora, interroge l’étape qui a perdu l’information
Si ton raisonnement retient trois et moins deux, capture un exercice bien lisible avec les lignes de calcul utiles. Inclus la barre de racine entière, les deux membres, les parenthèses et toute restriction indiquée dans l’énoncé. Garde ta feuille originale à disposition. Vérifie que le problème discuté est √(x + 6) = x, et non √x + 6 = x ou √(x + 6) = x². La difficulté à comprendre est la perte d’information sur le signe, pas seulement l’absence d’un résultat final.
Compare les étapes proposées à ton travail. Une question ciblée serait : « Pourquoi x = −2 vérifie-t-il x² − x − 6 = 0 mais pas √(x + 6) = x ? » Demande les valeurs des deux membres initiaux plutôt qu’un simple verdict. Calcule ensuite toi-même deux et moins deux, puis explique leur différence. Notre guide d’aide aux devoirs de maths montre comment relier une demande à un obstacle précis. Examine la réponse comme un raisonnement à vérifier, jamais comme une garantie qui dispense de contrôler les notations.
L’absence de solution réelle est une conclusion valable
L’équation √(x + 4) = −2 n’a aucune solution réelle, puisque la racine carrée principale ne peut pas être négative. Un passage au carré automatique donne x + 4 = 4, donc x = 0. Mais la substitution produit 2 = −2, une égalité fausse. L’ensemble des solutions est vide. Tu n’as pas à chercher une autre transformation pour fabriquer une réponse numérique : une observation sur les signes permet parfois de conclure avant tout calcul.
Une lecture graphique confirme l’idée : la fonction racine donne des valeurs positives ou nulles, tandis que la droite constante reste à −2. Elles ne se rencontrent pas. Lorsque le membre de droite dépend de x, un graphique approché peut suggérer une intersection, mais ne prouve pas que ton calcul a trouvé toutes les solutions. Conserve les substitutions exactes quand c’est possible et distingue approximation et égalité. Si tous les candidats sont rejetés, reviens aux conditions initiales avant de supposer une erreur arithmétique.
Termine par un nouvel exercice sans garder la réponse visible
Range l’exemple et résous seul √(3x + 4) = x. Note 3x + 4 ≥ 0 et x ≥ 0. Le passage au carré donne x² − 3x − 4 = 0, puis (x − 4)(x + 1) = 0. Les candidats sont quatre et moins un. Quatre donne √16 = 4 ; moins un donne √1 = 1, et non −1. La solution est x = 4. Justifie le rejet par l’égalité initiale, pas par une préférence générale pour les nombres positifs.
Pour finir, essaie √(2x + 3) = x. La condition x ≥ 0 se combine avec le domaine de la racine. Après élévation au carré, x² − 2x − 3 = 0 donne trois et moins un. La substitution initiale accepte trois et rejette moins un. Présente l’ensemble des solutions seulement après cette vérification. La méthode transférable consiste à préserver l’énoncé, noter domaine et signes, isoler la racine, développer correctement, chercher des candidats et les tester. Tu l’as comprise lorsque tu peux justifier chaque transition sans recopier une réponse précédente.
