Statistique · Guide Eqora
Écart type : diviser par n ou par n − 1 ?
Les mêmes observations peuvent donner deux mesures correctes. Distinguez la description des données de l’estimation d’une population plus large.
Quatre longueurs mesurées valent 4, 6, 6 et 8 centimètres. Un calcul donne un écart type d’environ 1,41 cm ; un autre donne environ 1,63 cm. Les deux résultats peuvent être corrects, mais ils répondent à des questions différentes. Saisir les mêmes nombres ne suffit pas à définir la grandeur décrite ou estimée. Le choix entre n et n − 1 vient de l’objectif statistique, pas de la préférence pour une réponse plus ronde.
Nous allons effectuer les deux calculs sur ces mesures fictives. Vous verrez pourquoi les écarts signés ne peuvent pas simplement être moyennés, pourquoi les carrés modifient l’unité et comment l’estimation de la moyenne intervient dans le dénominateur. Vous vérifierez ensuite des changements d’origine, des effectifs et une nouvelle série. Aucun outil payant ni aucune application n’est nécessaire pour comprendre les exemples : une feuille et des calculs soigneux suffisent.
Eqora publie ce guide comme aide à l’apprentissage, sans garantir l’exactitude des réponses ni une note. Vérifiez l’énoncé, la notation, les hypothèses et le résultat, et respectez les règles de votre cours. Eqora ne remplace pas le travail d’examen. Les photos de lavande illustrent des distances, des groupes et une sélection, sans constituer des diagrammes à l’échelle. Les bandes et carrés de feutre visibles ne codent pas les valeurs numériques des exercices.
Un écart type doit répondre à une question précise
Commencez par demander ce que représentent les quatre observations. Si elles constituent tout le groupe que vous souhaitez décrire, divisez la somme des carrés des écarts par n, puis prenez la racine carrée. Le même calcul descriptif peut résumer les valeurs effectivement observées dans un échantillon, sans prétendre estimer une population plus vaste. Le mot échantillon n’interdit donc pas de décrire sa dispersion avec le diviseur n ; c’est le but du calcul qui décide.
Pour estimer une variance inconnue à partir d’observations indépendantes de même loi, lorsque la moyenne est estimée par la moyenne de l’échantillon, la variance corrigée usuelle utilise n − 1. Sa racine carrée est souvent appelée écart type d’échantillon corrigé. Les symboles varient entre cours et logiciels : une lettre s ne suffit pas à préciser la convention. Écrivez le diviseur choisi et son objectif. Notre guide pour interpréter un problème rédigé aide à transformer cette information de l’énoncé en décision explicite.
Calculez la moyenne avant la dispersion
Pour 4, 6, 6 et 8, l’effectif est n = 4 et la moyenne arithmétique vaut (4 + 6 + 6 + 8)/4 = 6 cm. Soustrayez cette moyenne à chaque observation : les écarts sont −2, 0, 0 et 2 cm. Leur somme est nulle parce qu’ils sont centrés sur la moyenne arithmétique. Cela ne signifie pas que les observations sont identiques. Les déplacements positifs et négatifs se compensent si vous les additionnez sans autre transformation.
La série 5, 5, 7 et 7 possède elle aussi une moyenne de 6 cm, tout en étant moins dispersée. Une mesure de position ne détermine donc pas une mesure de dispersion. Le cours de statistique descriptive de Lyon 1 distingue ces deux familles d’indicateurs et définit la variance observée avec le diviseur n. Ici, gardez la moyenne arithmétique comme référence. La remplacer silencieusement par la médiane ne donne plus le calcul défini par cette formule.
Élevez au carré, additionnez, divisez puis prenez la racine
Les carrés des écarts sont (−2)² = 4, 0² = 0, 0² = 0 et 2² = 4 cm². Leur somme, notée Q dans ce guide, est 8 cm². Les parenthèses autour d’un écart négatif sont importantes lors de la saisie. Une somme négative de carrés signale une erreur ou un problème numérique ; elle ne représente pas une variance négative valable. Séparez les colonnes des observations, des écarts et des carrés pour garder chaque étape lisible.
Pour décrire cette série, la variance vaut Q/n = 8/4 = 2 cm² et l’écart type vaut √2 cm, soit environ 1,414 cm. Avec la correction d’échantillon, la variance vaut Q/(n − 1) = 8/3 cm² et l’écart type vaut √(8/3) cm, environ 1,633 cm. Les quatre observations interviennent dans les deux calculs. On ne retire aucune ligne, on ne modifie pas la moyenne et on ne soustrait pas un centimètre à une mesure.
La variance porte l’unité au carré ; la racine ramène l’écart type à l’unité des observations. Ne calculez pas √Q pour ensuite diviser cette racine par n : cela changerait le résultat. Tout le quotient, Q divisé par le dénominateur retenu, doit être sous la racine. Conservez les fractions exactes jusqu’à la dernière étape. Si l’énoncé demande deux décimales, arrondissez alors le résultat plutôt que chaque écart intermédiaire.
Comprenez ce que corrige le diviseur n − 1
Quand la moyenne est calculée sur l’échantillon, la somme des écarts doit être nulle. Si vous connaissez cette moyenne et trois des quatre écarts, le dernier est imposé par cette relation. Il reste trois écarts librement variables, d’où trois degrés de liberté. Cette contrainte concerne toutes les observations ; elle ne demande pas d’oublier la quatrième. Son carré reste présent dans la somme Q, comme les autres.
Pour n observations indépendantes de même loi et de variance finie σ², l’identité Σ(Xᵢ − X̄)² = Σ(Xᵢ − μ)² − n(X̄ − μ)² conduit à E(Q) = nσ² − n(σ²/n) = (n − 1)σ². Le quotient Q/(n − 1) est donc sans biais pour la variance de la population. Le chapitre de Lyon 1 sur l’estimation présente cette correction lorsque la moyenne est inconnue. Nos calculs distinguent bien l’identité sur les observations de l’égalité portant sur leurs espérances.
Le caractère sans biais concerne la variance, pas automatiquement sa racine carrée. √(Q/(n − 1)) n’est généralement pas un estimateur sans biais de l’écart type. La correction ne garantit pas non plus qu’un échantillon particulier donnera un résultat plus proche du vrai paramètre. Elle corrige une tendance moyenne sur des prélèvements répétés sous les hypothèses annoncées. Des observations dépendantes ou un plan de sondage complexe exigent d’autres justifications. Pour n = 1, le calcul corrigé n’est pas défini.
Vérifiez un changement d’origine ou d’unité
Ajoutez 10 cm à chaque longueur : vous obtenez 14, 16, 16 et 18 cm. La moyenne passe à 16 cm, mais les écarts restent −2, 0, 0 et 2 cm. Les deux écarts types restent inchangés. Une translation déplace la série sans modifier sa dispersion. Ce test repère notamment une formule qui utiliserait les valeurs brutes au lieu de leurs écarts à leur propre moyenne.
Si vous multipliez toutes les observations par une constante a, les écarts sont multipliés par a, la variance par a² et l’écart type par |a|. Passer des centimètres aux millimètres multiplie ainsi l’écart type par 10, et non par 100. Un facteur négatif inverse les positions sans créer une dispersion négative. Avec a = 0, les valeurs transformées sont toutes égales et l’écart type descriptif est nul. Gardez la même convention de diviseur lorsque vous comparez les résultats.
Dans un tableau, comptez les observations et leurs effectifs
Un tableau donnant la valeur 4 une fois, 6 deux fois et 8 une fois représente quatre observations, pas trois. Sa moyenne vaut (1·4 + 2·6 + 1·8)/4 = 6. La somme des carrés vaut 1·(4 − 6)² + 2·(6 − 6)² + 1·(8 − 6)² = 8. Pour des effectifs entiers qui comptent réellement des répétitions, n est la somme des effectifs et les deux choix de diviseur restent ceux de la liste développée.
N’appliquez pas automatiquement cette règle à des pourcentages ou à des poids de sondage et de fiabilité. Ces poids ne représentent pas nécessairement des observations indépendantes répétées ; une correction peut demander un autre dénominateur. Des classes d’intervalles posent encore une autre question : remplacer les mesures inconnues par les centres de classes donne généralement une approximation. Précisez la représentation disponible, car une formule ne peut pas reconstruire l’information perdue lors du regroupement.
Interprétez la dispersion sans inventer une loi
L’écart type n’est ni la distance maximale à la moyenne, ni l’étendue, ni la moyenne des distances absolues. Les carrés donnent davantage de poids aux écarts importants. Remplacer 8 par 20 dans la première série donne une moyenne de 9 et Q = 164. L’écart type descriptif devient √41, environ 6,403 cm. Il faut aussi recalculer la moyenne : conserver l’ancien centre mesurerait les distances à une référence différente.
Calculer un écart type ne prouve pas qu’un pourcentage fixé d’observations doit se trouver à moins d’un tel écart de la moyenne. Les règles usuelles de pourcentage supposent une forme de distribution particulière. Une faible dispersion ne prouve pas non plus une mesure exacte ou un échantillon sans biais ; toutes les mesures peuvent partager le même décalage. Enfin, l’erreur standard d’une moyenne concerne l’incertitude de cette estimation, non la dispersion des observations individuelles.
Terminez sur de nouvelles données avec une convention explicite
Calculez seul sur 3, 3, 6 et 8 cm. La moyenne est 5 cm, les écarts sont −2, −2, 1 et 3 cm et Q = 18 cm². Pour décrire l’ensemble complet, la variance est 18/4 = 4,5 cm² et l’écart type est √4,5, environ 2,121 cm. Pour l’estimation corrigée à partir d’un échantillon indépendant, la variance est 18/3 = 6 cm² et l’écart type est √6, environ 2,449 cm.
Vérifiez la somme nulle des écarts signés, les carrés non négatifs et l’unité finale en centimètres. Pour les mêmes données non constantes et n > 1, l’écart type corrigé est plus grand que le descriptif d’un facteur √(n/(n − 1)). Notre guide pour vérifier une réponse sans corrigé encourage ces contrôles de structure en plus des opérations. Concluez en indiquant la question à laquelle répond votre diviseur, plutôt qu’en recopiant seulement une valeur affichée.
