Fonctions et algèbre · Guide Eqora
Déterminer une fonction réciproque sans confusion
Retrouve l’entrée en défaisant les opérations. Vérifie l’unicité, échange domaine et ensemble image, puis contrôle les deux compositions.
Tu dois déterminer une fonction réciproque à partir de f(x) = 3x − 6. Le petit moins un de f⁻¹(x) signifie-t-il qu’il faut écrire 1/(3x − 6) ? Non. La réciproque retrouve l’entrée qui a produit une sortie. La règle initiale multiplie par trois, puis retranche six. Pour revenir, ajoute six à la sortie, puis divise par trois. Ainsi, f⁻¹(x) = (x + 6)/3, et non 1/f(x).
Défaire le calcul ne suffit pas. Chaque valeur de l’ensemble image doit correspondre à une seule entrée autorisée. Le carré peut effacer le signe ; une restriction du domaine permet parfois de retrouver l’unicité. Nous allons construire la règle, clarifier la notation, choisir la bonne branche d’une parabole et vérifier les deux compositions. Toutes les étapes se font sur papier, sans dépendre d’un solveur.
Eqora publie ce guide pour soutenir l’apprentissage, sans garantir un résultat juste ni une note, et sans remplacer ton travail personnel en examen. Contrôle l’énoncé, les notations, les domaines et les hypothèses. Les photos de voilerie évoquent un parcours défait et le choix d’un chemin. Ce ne sont ni des graphes ni des données numériques : les calculs reposent sur les relations écrites.
Déterminer une fonction réciproque pour retrouver l’entrée
Suis un parcours concret. Avec l’entrée cinq, f(5) = 3 × 5 − 6 = 9. La réciproque prend cette sortie neuf comme entrée et rend cinq : f⁻¹(9) = (9 + 6)/3 = 5. Les nombres conservent leur valeur, mais échangent leurs rôles. Le point (5, 9) du graphe initial devient donc (9, 5) sur le graphe de la réciproque.
Le cours MathSV de l’université Lyon 1 définit la réciproque par les deux compositions qui rendent la valeur initiale : f⁻¹(f(x)) = x et f(f⁻¹(y)) = y, sur les ensembles appropriés. La fonction intérieure agit d’abord. Le premier trajet commence par une entrée initiale, le second par une sortie initiale. Des lettres différentes permettent de distinguer ces rôles sans supposer que les domaines sont identiques.
En français, distingue la fonction réciproque de la fonction inverse 1/f. Ici, f⁻¹(9) vaut cinq, tandis que 1/f(9) = 1/21. Ces expressions répondent à des questions différentes. Un exposant négatif sur un nombre ordinaire désigne bien un inverse multiplicatif ; le moins un dans le nom f⁻¹ suit une convention spécifique. Lis toute l’expression plutôt que d’interpréter son petit symbole isolément.
Défais d’abord la dernière opération
Pour f(x) = 3x − 6, l’ordre direct est multiplier par trois, puis retrancher six. Défais d’abord la soustraction en ajoutant six, puis la multiplication en divisant par trois. Retrancher six avant de multiplier décrit un autre parcours. Compare également (x + 6)/3 et x/3 + 6 : la seconde expression ajoute six après la division et n’annule pas correctement la soustraction initiale.
Écris y = 3x − 6. Ajoute six aux deux membres : y + 6 = 3x. Divise par trois : x = (y + 6)/3. L’entrée initiale x est maintenant exprimée à partir de la sortie initiale y. Renomme cette nouvelle entrée x pour écrire f⁻¹(x) = (x + 6)/3. Ce changement de lettre ne modifie aucune quantité et ne constitue pas une opération supplémentaire.
Tu peux aussi échanger x et y dès le départ, puis résoudre x = 3y − 6 en y. Les deux méthodes donnent la même règle. Choisis une méthode et conserve les rôles jusqu’au bout ; les mélanger en cours de route brouille la lecture. Les parenthèses indiquent que toute la somme x + 6 est divisée par trois. Décris le parcours retour à voix haute pour contrôler l’expression.
Une sortie doit désigner une seule entrée
Considère q(x) = x² sur tous les réels. q(3) et q(−3) valent tous deux neuf. Recevoir neuf ne permet donc pas de choisir l’entrée à restituer. L’écriture ±√x propose deux candidats lorsque x est positif, pas une fonction réciproque. Résoudre une équation peut légitimement donner deux solutions ; définir une fonction exige une seule sortie pour chaque entrée autorisée.
Il faut que la fonction soit injective : deux entrées différentes autorisées donnent des images différentes. Graphiquement, toute droite horizontale doit rencontrer le graphe au plus une fois. Le test avec une droite verticale répond à une autre question : le graphe représente-t-il une fonction ? Une parabole complète réussit le test vertical, mais pas le test horizontal, puisque ses deux côtés peuvent atteindre la même hauteur.
Deux entrées distinctes avec une même image suffisent pour prouver l’absence d’injectivité. À l’inverse, un seul aller-retour réussi ne prouve pas l’unicité partout. Une fonction strictement croissante ou strictement décroissante sur un intervalle y est injective. Précise cet intervalle. Ne remplace pas discrètement le domaine complet d’un exercice par la branche qui rend tes calculs plus simples : cela change la fonction étudiée.
Le domaine et l’ensemble image échangent leurs rôles
Le domaine contient les entrées permises ; l’ensemble image contient les sorties réellement atteintes. La réciproque part de ces sorties et retrouve les entrées initiales. Son domaine est donc l’ensemble image initial, et son ensemble image est le domaine initial. Distingue les valeurs atteintes d’un ensemble d’arrivée éventuellement plus grand. Pour être inversible sur tout cet ensemble d’arrivée, la fonction doit aussi être surjective : chaque valeur doit être atteinte.
Restreins f(x) = 3x − 6 à 0 ≤ x ≤ 4. Les sorties vont de −6 à 6. La règle réciproque reste (x + 6)/3, mais son domaine est [−6 ; 6] et son ensemble image [0 ; 4]. L’expression peut être calculée en douze ; pourtant douze n’appartient pas au domaine de cette réciproque. Le domaine maximal permis par un calcul ne remplace pas une restriction explicite.
La symétrie par rapport à y = x échange les coordonnées, pas les signes : (0, −6) devient (−6, 0), et (4, 6) devient (6, 4). Notre guide pour lire les graphes d’équations explique la différence entre une abscisse d’entrée et son image. Conserve les extrémités incluses en échangeant les intervalles. Une valeur de bord ne devient pas interdite simplement parce qu’elle passe du rôle de sortie à celui d’entrée.
La restriction choisit la branche de la parabole
Soit h(x) = (x − 2)² + 1 sur x ≥ 2. La plus petite sortie vaut un, puis la fonction croît strictement. Son ensemble image est [1 ; +∞[. Résous y − 1 = (x − 2)². Comme x − 2 ≥ 0, x − 2 = √(y − 1). Ainsi h⁻¹(x) = 2 + √(x − 1), pour x ≥ 1. Le signe plus vient du domaine, non d’une règle générale sur les réciproques.
Avec la restriction x ≤ 2, la même expression initiale donnerait h⁻¹(x) = 2 − √(x − 1), toujours pour x ≥ 1. Cette fois, x − 2 est négatif ou nul ; la branche moins restitue l’entrée permise. À l’entrée dix, la branche plus donne cinq et la branche moins donne moins un. Après soustraction de deux et élévation au carré, les deux produisent neuf, mais appartiennent à des domaines initiaux différents.
Sans restriction, la parabole complète n’a pas de fonction réciproque sur son ensemble image. Si l’exercice demande de choisir un domaine convenable, chaque côté complet convient : indique ton choix et la réciproque correspondante. Si le domaine est fourni, respecte-le. Remplacer ± par un seul signe sans justification peut donner une formule élégante pour une autre fonction que celle de l’énoncé.
Vérifie les deux compositions avec leurs domaines
Dans l’exemple affine, f⁻¹(f(x)) = (3x − 6 + 6)/3 = x. Dans l’autre sens, f(f⁻¹(x)) = 3((x + 6)/3) − 6 = x. Chaque égalité doit tenir sur l’ensemble de départ approprié. Avec des restrictions, vérifie que la sortie de la fonction intérieure appartient au domaine de la fonction extérieure. Une simplification formelle ne rend pas valide une composition qui n’est pas définie.
Pour la parabole sur x ≥ 2, h⁻¹(h(x)) = 2 + √((x − 2)²) = 2 + |x − 2| = x, car x − 2 ≥ 0. Dans l’autre direction, h(h⁻¹(y)) = (√(y − 1))² + 1 = y pour y ≥ 1. La valeur absolue dans le premier calcul est essentielle : en général, √(a²) = |a|, pas automatiquement a.
Un essai numérique détecte vite une erreur : h(5) = 10 et h⁻¹(10) = 5. Mais il complète l’argument sur le domaine, sans le remplacer. Notre guide de vérification autonome explique comment confronter un candidat aux conditions initiales. Essaie aussi le bord : h(2) = 1 et h⁻¹(1) = 2. Une extrémité révèle souvent une égalité oubliée dans la restriction ou le mauvais signe devant la racine.
Une fraction impose deux valeurs exclues
Prends r(x) = (2x + 1)/(x − 3), avec x ≠ 3. Écris y(x − 3) = 2x + 1, puis regroupe : x(y − 2) = 3y + 1. Tu obtiens x = (3y + 1)/(y − 2). La réciproque est donc r⁻¹(x) = (3x + 1)/(x − 2), avec x ≠ 2. Découvrir l’exclusion deux ne doit pas faire oublier l’exclusion initiale trois.
Pourquoi la fonction initiale ne produit-elle jamais deux ? L’équation (2x + 1)/(x − 3) = 2 conduirait à 2x + 1 = 2x − 6, une contradiction. Réciproquement, chaque y ≠ 2 possède l’antécédent calculé. Cet antécédent ne peut pas être trois : 3y + 1 = 3(y − 2) imposerait 1 = −6. L’ensemble image initial est donc l’ensemble des réels sauf deux.
Contrôle r(4) = 9 et r⁻¹(9) = 4, puis les compositions symboliques sur leurs domaines. Multiplier par un dénominateur suppose qu’il n’est pas nul ; cela n’autorise pas une division ultérieure par une valeur interdite. Garde les exclusions à côté du calcul. Cet exemple montre aussi pourquoi échanger simplement des nombres dans une formule ne remplace pas la résolution de l’équation reliant entrée et sortie.
Construis une nouvelle réciproque sur papier
Travaille seul avec p(x) = 5 − 2x sur −1 ≤ x ≤ 3. Trouve l’ensemble image, la règle réciproque et son domaine avant de poursuivre. Teste ensuite les deux extrémités et une valeur intérieure. Cet exemple décroissant modifie volontairement le signe et l’intervalle. Réutiliser de mémoire la règle précédente avec le facteur trois ne convient pas ; il faut comprendre la nouvelle relation.
Les extrémités donnent p(−1) = 7 et p(3) = −1. Puisque la fonction décroît strictement, son ensemble image est [−1 ; 7], écrit dans l’ordre croissant. Résous y = 5 − 2x : x = (5 − y)/2. Ainsi p⁻¹(x) = (5 − x)/2 sur [−1 ; 7], avec ensemble image [−1 ; 3]. À l’intérieur, p(1) = 3 et p⁻¹(3) = 1.
Explique enfin pourquoi la réciproque est unique, quel ensemble fournit ses entrées et comment ses opérations défont le parcours initial. Si tu t’es trompé, distingue notation, calcul, unicité et domaine. Cette distinction donne un objectif précis au prochain essai. Une réciproque est complète quand sa règle et les ensembles autorisés fonctionnent ensemble, pas dès que les lettres ont été échangées.
