Résoudre une équation rationnelle

Valeurs interdites et premier exemple

Résous 2/(x − 1) = 3/(x + 2). Les dénominateurs imposent immédiatement x ≠ 1 et x ≠ −2. Écris ces valeurs interdites avant toute transformation. Elles ne sont pas des réponses possibles à tester plus tard : l’équation de départ n’y est pas définie.

Le plus petit dénominateur commun est (x − 1)(x + 2). Multiplier les deux membres donne 2(x + 2) = 3(x − 1). En développant, 2x + 4 = 3x − 3, donc x = 7. Cette valeur est admise et la substitution donne 2/6 = 3/9 = 1/3. La solution est donc x = 7.

Note les valeurs interdites avant d’éliminer les dénominateurs, puis vérifie le résultat dans l’équation initiale intacte.

Éliminer les dénominateurs sans perdre de terme

Étudie 1/(x − 2) + 3/(x + 2) = 8/(x² − 4). Commence par factoriser x² − 4 en (x − 2)(x + 2). Les restrictions sont x ≠ 2, −2, et ce produit est déjà le plus petit dénominateur commun.

Multiplie chaque terme, pas seulement les fractions gênantes. Après simplification, il reste (x + 2) + 3(x − 2) = 8. On obtient x + 2 + 3x − 6 = 8, puis 4x = 12 et x = 3. Dans l’équation initiale, 1 + 3/5 = 8/5 : le candidat convient.

• Factoriser complètement tous les dénominateurs
• Exclure les zéros de leurs facteurs
• Construire le dénominateur commun avec chaque facteur distinct
• Le distribuer à tous les termes des deux membres

Comprendre pourquoi la simplification est valide

Multiplier une égalité par une expression non nulle conserve l’équivalence. Sur le domaine autorisé, chaque facteur de dénominateur est différent de zéro et peut se simplifier avec le même facteur du multiplicateur. La restriction écrite au départ est précisément ce qui justifie cette étape.

Conserve des parenthèses autour du numérateur entier. Si le terme est −(x + 4)/(x − 3), la multiplication par x − 3 donne −(x + 4), et non −x + 4. Beaucoup d’erreurs attribuées aux fractions sont en réalité des erreurs de signe ou de distributivité après leur disparition.

Rejeter une solution étrangère

Dans (x + 1)/(x − 1) = 2/(x − 1), on impose x ≠ 1. Multiplier par x − 1 conduit à x + 1 = 2, puis au candidat x = 1. Le calcul après simplification est correct, mais sa seule réponse annule le dénominateur d’origine.

Cette équation n’a donc aucune solution. Ne supprime pas la restriction sous prétexte que les dénominateurs ont disparu. Un candidat est refusé s’il annule un dénominateur initial ou si la substitution directe ne donne pas deux membres définis et égaux.

Traiter une équation qui devient quadratique

Résous 1/x + 1/(x − 2) = 1 avec x ≠ 0, 2. Multiplie tous les termes par x(x − 2) : (x − 2) + x = x(x − 2). En ordonnant, 2x − 2 = x² − 2x, soit x² − 4x + 2 = 0.

La formule quadratique donne x = (4 ± √(16 − 8))/2 = 2 ± √2. Aucune de ces valeurs n’est 0 ou 2 et toutes deux vérifient l’égalité initiale. Une équation rationnelle ne devient pas toujours linéaire : une fois les dénominateurs supprimés, applique la méthode adaptée au polynôme obtenu.

Distinguer domaine et ensemble des solutions

Les valeurs interdites viennent uniquement des dénominateurs initiaux. Une solution doit, elle, satisfaire l’équation complète de départ. Garde ces deux listes séparées : une restriction n’est pas automatiquement une solution étrangère calculée et ne doit jamais entrer dans l’ensemble des solutions.

Surveille aussi les identités et les contradictions. Si la transformation aboutit à 0 = 0, toutes les valeurs permises par le domaine sont solutions. Si elle donne 0 = 5, il n’existe aucune solution, même si beaucoup de valeurs restent autorisées.

Éviter les raccourcis qui échouent

Le produit en croix ne s’applique directement qu’à une proportion avec une fraction de chaque côté, et les restrictions restent nécessaires. Il ne traite pas d’un coup une somme telle que 1/x + 1/(x − 2). Avec plusieurs termes, multiplie chacun par le plus petit dénominateur commun.

Les autres erreurs fréquentes sont simplifier à travers une addition, oublier un facteur du dénominateur commun, multiplier un seul membre ou vérifier uniquement l’équation transformée. Utilise une ligne pour la factorisation, une pour le domaine et une pour la multiplication : les omissions deviennent alors visibles.

S’entraîner seul et utiliser Eqora comme relecteur

Essaie sans regarder la solution : 3/(x + 1) = 2/(x − 2) ; 1/(x − 3) + 2/(x + 3) = 3/(x² − 9) ; et (x + 2)/(x − 4) = 6/(x − 4). Les résultats sont x = 8, x = 2, puis aucune solution pour le troisième, car son candidat x = 4 est interdit.

Pour chaque exercice, montre les restrictions, le dénominateur commun, l’équation transformée et la vérification dans l’originale. Si une ligne reste obscure, tu peux scanner l’exercice entier dans Eqora et demander l’examen de cette simplification ou de ce candidat précis. Vérifie la lecture des signes et des dénominateurs, puis ferme l’explication et résous une variante seul. Une IA peut mal lire la notation ou se tromper en algèbre ; ton domaine et ta substitution restent la preuve finale.

Passe à la pratique maintenant

Choisis un problème de tes devoirs actuels ou de ta liste de révision. Essaie avant d’ouvrir Eqora et utilise l’application seulement lorsque ton propre raisonnement s’arrête.

• Dis ce que le problème demande avant de résoudre
• Identifie la première étape que tu ne peux pas justifier
• Pose à Eqora une question précise sur cette étape
• Termine avec un problème similaire sans la solution sous les yeux

La séance est terminée lorsque la méthode est plus claire, pas seulement lorsque tu as obtenu une réponse supplémentaire.