Loi hypergéométrique et tirage sans remise

Quand utiliser la loi hypergéométrique

On part d'une population finie d'objets distincts. Certains possèdent la propriété qui nous intéresse. On choisit au hasard un nombre fixé d'objets, sans remise, de façon que tous les groupes de cette taille aient la même probabilité. On compte ensuite combien d'objets choisis possèdent cette propriété. On peut tirer les jetons l'un après l'autre ou tous en même temps puisque le résultat demandé ignore leur ordre.

Notons N le nombre total d'objets, K le nombre d'objets qui possèdent la propriété et n la taille de l'échantillon. La variable aléatoire X compte les objets de cette catégorie dans l'échantillon. Pour notre sac, N = 12, K = 5 et n = 4. L'événement « exactement deux jetons bleus » correspond à X = 2. Certains cours parlent de deux succès. Ce terme désigne simplement deux objets de la catégorie choisie.

L'équiprobabilité des groupes compte autant que l'absence de remise. Si les jetons bleus sont plus lourds et qu'on les reconnaît au toucher, le tirage peut favoriser une couleur. Notre calcul suppose que chaque groupe de quatre jetons précis a la même chance d'être choisi. Le cours de probabilités discrètes de l'Université de Toulon présente la loi hypergéométrique comme le modèle de comptage associé au tirage sans remise.

Dénombrer les échantillons possibles et favorables

Numérote mentalement les douze jetons. Deux jetons bleus deviennent deux objets distincts, même s'ils portent la même couleur. Il y a 12 × 11 × 10 × 9 listes ordonnées de quatre jetons différents. Chaque groupe apparaît dans 4 × 3 × 2 × 1 listes, une pour chaque ordre possible. En divisant, on obtient 495 groupes. On note ce nombre C(12, 4), qui se lit « quatre parmi douze ».

Les catégories de couleurs n'ont pas forcément la même probabilité. Un tirage de quatre jetons naturels et un tirage de deux jetons de chaque couleur constituent deux catégories. Chacune contient plusieurs groupes de jetons numérotés et leurs effectifs peuvent différer. On compte les groupes de jetons précis au dénominateur, puisque ce sont eux qui sont équiprobables. C'est la même distinction qui aide à choisir entre combinaisons et permutations.

Pour former un groupe favorable, choisis deux jetons bleus parmi cinq, soit C(5, 2) = 10 paires. Choisis ensuite deux jetons naturels parmi sept, soit C(7, 2) = 21 paires. Chaque paire bleue peut aller avec chacune des paires naturelles, ce qui donne 10 × 21 = 210 groupes. La probabilité vaut 210/495 = 14/33, soit environ 42,4 %. Les deux choix du numérateur remplissent des parties différentes d'un même échantillon.

Relier les paramètres aux places dans le groupe

Dans un échantillon de taille n qui contient exactement k objets de la catégorie choisie, les n − k autres objets proviennent de l'autre catégorie. La probabilité s'écrit P(X = k) = C(K, k) × C(N − K, n − k) / C(N, n). Lis chaque argument avant de lancer le calcul. Dans le premier facteur du numérateur, k indique la quantité recherchée. Dans le second, n − k complète l'échantillon. Le dénominateur compte toutes les façons de prendre n objets dans la population.

Le nombre k doit être possible avec les deux stocks. Il ne peut dépasser ni n, la taille du groupe, ni K, le nombre d'objets recherchés dans la population. Il doit aussi laisser assez de place aux objets de l'autre catégorie pour atteindre n. La borne inférieure est max(0, n − (N − K)) et la borne supérieure est min(n, K). En dehors de cet intervalle, la probabilité est nulle.

Supposons qu'il y ait huit jetons, dont six bleus et deux naturels, et qu'on en tire cinq. Il faut obtenir au moins trois bleus puisque le sac ne contient que deux jetons naturels. Au plus cinq jetons peuvent être bleus, car il n'y a que cinq places dans le groupe. Exactement deux jetons bleus donneraient trois jetons naturels, ce qui est impossible. Cette lecture de l'énoncé évite de faire un calcul inutile et indique quelles valeurs de X examiner si l'événement en regroupe plusieurs.

Vérifier le résultat en suivant l'ordre des tirages

Considérons la suite bleu, bleu, naturel, naturel. Sa probabilité est (5/12) × (4/11) × (7/10) × (6/9). Après le premier bleu, il reste quatre bleus dans le sac. Après deux bleus, les sept jetons naturels sont encore disponibles. Le total baisse d'un à chaque tirage. Le produit donne 7/99 pour cette suite précise.

Il y a six façons de choisir les deux positions occupées par les bleus parmi quatre. Les six suites sont disjointes et donnent le même produit. Pour les deux tirages bleus, les numérateurs sont toujours 5 puis 4. Pour les deux tirages naturels, ils sont 7 puis 6. Changer les positions répartit ces quatre numérateurs autrement sur les mêmes dénominateurs. On obtient donc 6 × 7/99 = 14/33, en accord avec le dénombrement des groupes.

Un arbre aide à visualiser ce qui change après chaque tirage. Le dénombrement des groupes demande moins de lignes lorsque plusieurs ordres correspondent à l'événement. Si l'énoncé exige deux bleus d'abord et deux naturels ensuite, la réponse est 7/99. S'il demande deux bleus à des positions quelconques, elle vaut 14/33.

Traduire « au moins » en valeurs possibles

Dans le premier sac, les nombres de groupes pour X = 0, 1, 2, 3 et 4 sont 35, 175, 210, 70 et 5. Leur somme vaut 495 car chaque groupe appartient à une seule catégorie. « Au moins deux » couvre les cas 2, 3 et 4. Sa probabilité est (210 + 70 + 5)/495 = 19/33. « Exactement deux » correspond seulement aux 210 groupes qui contiennent deux bleus.

Pour « au moins un », le complément est plus rapide. On exclut les groupes qui contiennent uniquement des jetons naturels. Il y en a C(7, 4) = 35, donc P(X ≥ 1) = 1 − 35/495 = 92/99. On lit les mots « exactement » et « au moins » de la même façon dans un exercice sur la loi binomiale. La loi choisie détermine la façon de calculer la probabilité de chaque valeur.

Avec remise, si l'on mélange le sac après chaque tirage, la probabilité du bleu reste 5/12 et les tirages sont indépendants. Sans remise, au deuxième tirage, elle vaut 4/11 après un bleu et 5/11 après un naturel. Prise seule, la deuxième position a tout de même une probabilité de 5/12 de contenir un bleu. Pour une suite de positions, ce sont les probabilités conditionnelles qui entrent dans le produit. C'est pourquoi utiliser quatre fois la probabilité initiale donne un autre modèle.

L’espérance du nombre de succès répond à une autre question. Ici, (175 + 2 × 210 + 3 × 70 + 4 × 5)/495 = 5/3 donne le nombre moyen de jetons bleus sur des tirages répétés.

Essayer la méthode avec un sac plus petit

Un nouveau sac contient neuf jetons, trois bleus et six naturels. On en tire quatre sans remise. Calcule la probabilité d'obtenir exactement un jeton bleu, puis celle d'en obtenir au moins un. Commence par écrire les deux stocks et la taille de l'échantillon. Les deux questions ont le même dénominateur et des groupes favorables différents.

Pour exactement un bleu, C(3, 1) = 3 permet de choisir le bleu et C(6, 3) = 20 permet de choisir les trois naturels. Au total, C(9, 4) = 126 groupes sont possibles. La probabilité est donc 60/126 = 10/21. Pour au moins un bleu, enlève les groupes sans aucun bleu. Il y en a C(6, 4) = 15, ce qui donne 1 − 15/126 = 37/42.

Vérifie le dernier résultat par une somme directe. Deux bleus donnent C(3, 2) × C(6, 2) = 45 groupes. Trois bleus donnent C(3, 3) × C(6, 1) = 6 groupes. Quatre bleus sont impossibles. On retrouve 60 + 45 + 6 = 111, le même numérateur que 126 − 15. Si les deux calculs diffèrent, reviens au sens de chaque choix. Chaque groupe doit contenir quatre jetons au total et apparaître une seule fois.

Identifier ce qui constitue un échantillon

Reprends le premier sac et tire cette fois deux jetons. Pour « les deux sont bleus », l'arbre donne (5/12) × (4/11) = 5/33. Le dénombrement donne aussi 5/33 puisque dix paires bleues sont possibles parmi soixante-six paires. Il n'y a qu'une suite de couleurs favorable. Les six ordres du problème à quatre tirages ne s'appliquent donc pas ici.

Dans un contrôle de qualité, le sac peut représenter un lot dont certaines pièces portent une rayure. Si l'on ne contrôle pas deux fois la même pièce, l'échantillon est tiré sans remise. Les pièces avec et sans rayure jouent le rôle des deux couleurs. Le calcul suppose un nombre fixe de pièces rayées et une sélection uniforme. Choisir uniquement les pièces visibles en haut d'une caisse ne suffit pas à établir cette dernière condition.

Pour une nouvelle question, écris à côté de la formule ce que représentent la population, la propriété et l'échantillon. Relis ensuite l'événement pour vérifier qu'il contient les bons cas. Si « au moins deux » et « exactement deux » donnent le même résultat, vérifie si les comptes supérieurs à deux sont impossibles ou s'ils ont été oubliés dans la somme.