Lineare Ungleichungen Schritt für Schritt lösen

Lösungsmenge am Zahlenstrahl

Betrachte x + 4 < 9. Ziehst du auf beiden Seiten 4 ab, erhältst du x < 5. Das ist nicht nur eine Zahl: Jeder Wert kleiner als 5 erfüllt die Ungleichung. Zeichne bei 5 einen offenen Kreis, weil 5 + 4 < 9 falsch ist, und markiere den Zahlenstrahl nach links.

Bei x + 4 ≤ 9 lautet die Lösung x ≤ 5. Nun gehört 5 dazu, denn 5 + 4 ≤ 9 ist wahr; deshalb wird der Randpunkt ausgefüllt. Text, Symbol und Bild müssen zusammenpassen: kleiner bedeutet links, größer rechts, und der Gleichheitsstrich schließt den Randpunkt ein.

Mehrstufige Ungleichung lösen

Löse 3(2x − 1) ≤ 5x + 7. Multipliziere zuerst aus: 6x − 3 ≤ 5x + 7. Ziehe auf beiden Seiten 5x ab, sodass x − 3 ≤ 7 entsteht, und addiere anschließend 3. Damit gilt x ≤ 10. Weil auf beiden Seiten dieselbe Zahl addiert oder subtrahiert wurde, bleibt die Richtung erhalten.

Prüfe den Rand und einen nahen Wert. Für x = 10 sind die ursprünglichen Seiten 3(19) = 57 und 5·10 + 7 = 57; der eingeschlossene Rand stimmt. Für x = 11 erhältst du 63 und 62, also ist 63 ≤ 62 falsch. Beide Proben bestätigen Randpunkt und markierte Richtung.

Lass die Originalungleichung sichtbar. Die Randprobe prüft, ob der Rand dazugehört; ein Wert aus dem markierten Bereich prüft die Richtung.

Zeichen bei negativer Multiplikation oder Division umdrehen

Löse −4x + 6 > 18. Nach dem Subtrahieren von 6 steht −4x > 12. Teile durch −4 und drehe dabei das Zeichen um: x < −3. Würdest du x > −3 schreiben, wäre x = 0 scheinbar erlaubt, obwohl 6 > 18 nicht stimmt.

Das Umdrehen folgt aus der Ordnung der Zahlen. Aus 2 < 5 wird nach Multiplikation mit −1 die wahre Aussage −2 > −5. Addition und Subtraktion erhalten die Ordnung. Eine positive Multiplikation oder Division erhält sie ebenfalls; bei einem negativen Faktor kehrt sie sich um.

Doppelungleichungen und Intervalle bearbeiten

Bei −2 < 3x + 4 ≤ 13 müssen beide Vergleiche gelten. Ziehe in allen drei Teilen 4 ab: −6 < 3x ≤ 9. Teile dann durch die positive 3: −2 < x ≤ 3. Am Zahlenstrahl ist −2 offen, 3 geschlossen und der Bereich dazwischen markiert. In Intervallschreibweise lautet die Lösung (−2, 3].

Eine Oder-Verknüpfung beschreibt getrennte Bereiche. Für x ≤ −1 oder x > 4 markierst du links von einem geschlossenen Punkt bei −1 und rechts von einem offenen Punkt bei 4. Die Lücke bleibt frei. Entscheide vor dem Rechnen, ob der Text eine Schnittmenge mit „und“ oder eine Vereinigung mit „oder“ verlangt.

• Offener Kreis bei < oder >
• Geschlossener Kreis bei ≤ oder ≥
• Bereich zwischen den Grenzen bei einer beschränkten Und-Aussage
• Getrennte Strahlen bei einer Oder-Aussage

Brüche ohne Änderung der Lösung beseitigen

Löse (2x − 3)/5 ≥ (x + 1)/2. Multipliziere beide Seiten mit dem positiven Hauptnenner 10: 2(2x − 3) ≥ 5(x + 1). Daraus folgen 4x − 6 ≥ 5x + 5 und schließlich −11 ≥ x, also x ≤ −11. Für x = −11 sind beide ursprünglichen Seiten −5, daher gehört der Rand dazu.

Einen festen positiven Nenner kannst du ohne Richtungswechsel beseitigen. Bei einem festen negativen Faktor musst du das Zeichen umdrehen. Multipliziere eine Ungleichung nicht einfach mit einem variablen Ausdruck, dessen Vorzeichen unbekannt ist; mögliche positive, negative und null Werte erfordern Fallunterscheidungen und eventuell Ausschlüsse.

Eine Bedingung aus einer Sachaufgabe modellieren

Ein Lernzentrum verlangt 12 Euro Anmeldung und 4,50 Euro pro Termin. Dein Budget beträgt höchstens 48 Euro. Mit n als Anzahl der Termine lautet die Ungleichung 12 + 4,50n ≤ 48. Nach Subtraktion von 12 und Division durch 4,50 erhältst du n ≤ 8. Praktisch sind die ganzen Zahlen von 0 bis 8 möglich.

„Höchstens“ schließt den Grenzwert ein, „weniger als“ nicht. Definiere Variable und Einheit, übersetze die Bedingung, löse und kehre zum Kontext zurück. Die algebraische Menge n ≤ 8 enthält auch negative Zahlen, die in dieser Situation als Terminanzahl ausgeschlossen sind.

Typische Fehler mit gezielten Proben finden

Häufig wird das Zeichen nach einer Subtraktion unnötig gedreht oder nach Division durch eine negative Zahl nicht gedreht. Weitere Fehler sind unvollständiges Ausmultiplizieren und ein Randpunkt, der nicht zum Symbol passt. Wer nur x = 10 statt x ≤ 10 notiert, verwechselt Grenze und Lösungsmenge.

Nutze drei Kontrollen: Wiederhole die Umformung mit einem Grund neben jeder Zeile, setze den Rand ein, wenn er enthalten sein soll, und teste Werte aus den relevanten Bereichen. Ein Graph hilft visuell, kann aber eine falsch eingegebene Ungleichung oder einen ungültigen Rechenschritt nicht reparieren.

• Wurde auf beiden Seiten dieselbe Operation ausgeführt?
• Wurde das Zeichen nur bei negativer Multiplikation oder Division gedreht?
• Passt der Randpunkt zum strengen oder einschließenden Symbol?
• Stimmen Testwerte und markierter Bereich überein?

Selbst üben und Eqora nur am Engpass einsetzen

Löse ohne eingeblendete Hilfe: 5x − 7 > 18; 4 − 2x ≥ 10; und −5 < 2x + 1 ≤ 9. Sage zuerst die erwartete Richtung voraus, zeichne danach den Zahlenstrahl und setze einen Wert ein. Die Lösungen sind x > 5, x ≤ −3 und −3 < x ≤ 4; vergleiche erst nach deinem Versuch.

Falls etwas nicht passt, zeige Eqora die Originalungleichung und deine erste unsichere Zeile. Frage, welche Operation die Lösungsmenge verändert, oder bitte um eine neue Aufgabe mit derselben Stolperstelle. Schließe die Erklärung und löse eine frische Aufgabe allein. Da KI Symbole falsch lesen oder sich verrechnen kann, bleiben Einsetzen und Zahlenstrahl deine letzte Kontrolle.

Jetzt in die Praxis bringen

Wähle eine Aufgabe aus deinen aktuellen Hausaufgaben oder deinem Wiederholungssatz. Versuche sie, bevor du Eqora öffnest, und nutze die App erst an dem Punkt, an dem deine eigene Begründung endet.

• Sage, was die Aufgabe verlangt, bevor du löst
• Identifiziere den ersten Schritt, den du nicht begründen kannst
• Stelle Eqora eine gezielte Rückfrage zu diesem Schritt
• Schließe mit einer ähnlichen Aufgabe ohne Lösung vor Augen ab

Die Lerneinheit ist abgeschlossen, wenn die Methode klarer ist, nicht nur, wenn das Arbeitsblatt eine weitere Antwort hat.