Inéquations linéaires étape par étape

Lire l’ensemble des solutions

Pour x + 4 < 9, soustraire 4 des deux côtés donne x < 5. Il ne s’agit pas d’une seule valeur : tous les nombres inférieurs à 5 conviennent. Sur la droite graduée, place un point non rempli en 5, car 5 + 4 < 9 est faux, puis colorie vers la gauche.

Avec x + 4 ≤ 9, on obtient x ≤ 5. Cette fois, 5 appartient à l’ensemble puisque 5 + 4 ≤ 9 est vrai : le point est donc rempli. Phrase, symbole et dessin doivent raconter la même chose : inférieur va vers la gauche, supérieur vers la droite et la barre d’égalité inclut la borne.

Résoudre une inéquation par étapes

Résous 3(2x − 1) ≤ 5x + 7. Développe : 6x − 3 ≤ 5x + 7. Soustrais 5x de chaque côté pour obtenir x − 3 ≤ 7, puis ajoute 3 : x ≤ 10. Une même addition ou soustraction des deux côtés conserve le sens de la comparaison.

Contrôle la borne et une valeur voisine. Pour x = 10, les membres initiaux valent 3(19) = 57 et 5·10 + 7 = 57 : la borne incluse fonctionne. Pour x = 11, ils valent 63 et 62, donc 63 ≤ 62 est faux. Ces tests confirment la borne et la direction coloriée.

Garde l’inéquation initiale visible. Tester la borne contrôle son inclusion ; tester un point de la zone coloriée contrôle la direction.

Inverser le signe avec un facteur négatif

Résous −4x + 6 > 18. Après avoir soustrait 6, tu as −4x > 12. En divisant par −4, inverse le signe : x < −3. Sans cette inversion, x = 0 semblerait accepté alors que 6 > 18 est faux.

Cette règle traduit l’ordre des nombres. De 2 < 5, une multiplication par −1 produit −2 > −5. L’addition et la soustraction conservent l’ordre, tout comme une multiplication ou division positive ; un multiplicateur ou diviseur négatif le renverse.

Traiter les doubles inégalités et les intervalles

Dans −2 < 3x + 4 ≤ 13, les deux comparaisons doivent être vraies. Soustrais 4 aux trois membres : −6 < 3x ≤ 9. Divise par 3 positif : −2 < x ≤ 3. La borne −2 est ouverte, 3 est fermée et la partie entre les deux est coloriée. L’intervalle s’écrit ]−2, 3].

Une condition avec « ou » réunit des zones séparées. Pour x ≤ −1 ou x > 4, colorie à gauche de −1 inclus et à droite de 4 exclu, sans remplir l’espace central. Avant de calculer, décide si le texte impose une intersection (« et ») ou une réunion (« ou »).

• Point non rempli pour < ou >
• Point rempli pour ≤ ou ≥
• Zone entre les bornes pour une condition encadrée avec « et »
• Deux demi-droites séparées pour une condition avec « ou »

Supprimer les fractions sans changer les solutions

Résous (2x − 3)/5 ≥ (x + 1)/2. Multiplie les deux côtés par 10, dénominateur commun positif : 2(2x − 3) ≥ 5(x + 1). On obtient 4x − 6 ≥ 5x + 5, puis −11 ≥ x, soit x ≤ −11. Pour x = −11, les deux membres initiaux valent −5 : la borne est incluse.

Un dénominateur fixe positif se supprime sans inverser le signe ; un facteur fixe négatif exige l’inversion. Ne multiplie pas par une expression variable dont tu ignores le signe. Si elle peut être positive, négative ou nulle, il faut distinguer des cas et repérer les valeurs interdites.

Modéliser une contrainte dans un problème

Un centre d’étude facture 12 euros d’inscription et 4,50 euros par séance. Ton budget est au maximum de 48 euros. Si n désigne le nombre de séances, écris 12 + 4,50n ≤ 48. Soustrais 12 puis divise par 4,50 : n ≤ 8. Dans la situation, les réponses sont les entiers de 0 à 8.

« Au maximum » inclut la limite, contrairement à « moins de ». Définis la variable et son unité, traduis la contrainte, résous puis reviens au contexte. L’ensemble algébrique n ≤ 8 contient aussi des nombres négatifs, impossibles pour un nombre de séances.

Repérer les erreurs avec des contrôles ciblés

Les erreurs courantes sont d’inverser le signe après une soustraction, d’oublier de l’inverser après une division négative, de ne développer qu’un terme ou de dessiner une borne incompatible avec le symbole. Écrire seulement x = 10 au lieu de x ≤ 10 confond la limite et l’ensemble complet.

Fais trois contrôles : reprends le calcul en justifiant chaque ligne, remplace x par la borne si elle doit être incluse et teste des valeurs de chaque zone utile. Un graphique aide visuellement, mais ne corrige pas une inéquation mal saisie et ne prouve pas la validité des transformations.

• La même opération a-t-elle été appliquée aux deux membres ?
• Le signe n’a-t-il été inversé que pour une multiplication ou division négative ?
• La borne correspond-elle au symbole strict ou inclusif ?
• Les valeurs testées correspondent-elles à la zone coloriée ?

S’entraîner seul et solliciter Eqora sur un blocage

Résous sans regarder les réponses : 5x − 7 > 18 ; 4 − 2x ≥ 10 ; et −5 < 2x + 1 ≤ 9. Prévois d’abord la direction, trace chaque droite et teste une valeur. Les solutions sont x > 5, x ≤ −3 et −3 < x ≤ 4 ; compare-les seulement après ton travail.

En cas de désaccord, montre à Eqora l’inéquation originale et ta première ligne incertaine. Demande quelle opération modifie l’ensemble ou un nouvel exemple avec le même piège. Ferme ensuite l’explication et résous une nouvelle question seul. Une IA peut mal lire un symbole ou se tromper dans un calcul : ta substitution et ta droite graduée restent la preuve finale.

Passe à la pratique maintenant

Choisis un problème de tes devoirs actuels ou de ta liste de révision. Essaie avant d’ouvrir Eqora et utilise l’application seulement lorsque ton propre raisonnement s’arrête.

• Dis ce que le problème demande avant de résoudre
• Identifie la première étape que tu ne peux pas justifier
• Pose à Eqora une question précise sur cette étape
• Termine avec un problème similaire sans la solution sous les yeux

La séance est terminée lorsque la méthode est plus claire, pas seulement lorsque tu as obtenu une réponse supplémentaire.