一次不等式の解き方と数直線

解を数の範囲として読む

x + 4 < 9を考えます。両辺から4を引くとx < 5です。答えは5未満の数すべてであり、特定の1個ではありません。数直線では5に白丸を付け、左側を塗ります。5を代入した5 + 4 < 9は成り立たないため、端点の5は含みません。

x + 4 ≤ 9なら、解はx ≤ 5です。今度は5 + 4 ≤ 9が成り立つので、5を含む黒丸を使います。記号と言葉と図を対応させましょう。「小さい」は左、「大きい」は右へ伸び、等号を含む≤や≥では端点を含めます。

多段階の一次不等式を解く

3(2x − 1) ≤ 5x + 7を解きます。まず展開して6x − 3 ≤ 5x + 7。両辺から5xを引くとx − 3 ≤ 7、両辺に3を足すとx ≤ 10です。同じ数を両辺に足したり引いたりしている間は、不等号の向きは変わりません。

端点とその隣の値で確かめます。x = 10なら、元の左辺は3(19) = 57、右辺は5·10 + 7 = 57で成り立ち、10を含めてよいと分かります。x = 11では63 ≤ 62となって成り立ちません。端点と範囲の向きを別々に確認できます。

元の不等式を消さずに残します。端点の代入で含むかどうかを、塗った側の値で範囲の向きを確認します。

負の数で掛ける・割るとき不等号を逆にする

−4x + 6 > 18を解きます。両辺から6を引くと−4x > 12。両辺を−4で割るときに不等号を逆向きにし、x < −3となります。x > −3のままにするとx = 0を含んでしまいますが、元の式では6 > 18となり誤りです。

これは暗記だけの規則ではなく、数の並び方によるものです。2 < 5の両方に−1を掛けると−2 > −5になります。足し算と引き算、正の数による掛け算・割り算は順序を保ちます。負の数による掛け算・割り算だけが順序を反転させます。

連立不等式と区間を数直線に表す

−2 < 3x + 4 ≤ 13では、左右の条件が同時に成り立つ必要があります。3つの部分すべてから4を引いて−6 < 3x ≤ 9、正の3で割って−2 < x ≤ 3です。数直線では−2を白丸、3を黒丸にし、その間を塗ります。区間表記は(−2, 3]です。

「または」で結ばれた条件は離れた範囲を表すことがあります。x ≤ −1またはx > 4なら、−1を含めて左側、4を含めず右側を塗り、中央は空けます。計算前に、「かつ」で共通部分を求めるのか、「または」で合わせるのかを確認してください。

• <、>の端点は白丸
• ≤、≥の端点は黒丸
• 範囲を挟む「かつ」では端点の間を塗る
• 離れた「または」では別々の半直線を塗る

分数を消しても解を変えない

(2x − 3)/5 ≥ (x + 1)/2を解きます。両辺に正の公倍数10を掛けると2(2x − 3) ≥ 5(x + 1)です。整理して4x − 6 ≥ 5x + 5、さらに−11 ≥ x、つまりx ≤ −11となります。x = −11では元の両辺が−5なので端点を含みます。

正の一定値を掛けて分母を消すなら不等号の向きは変わりません。負の一定値なら逆向きにします。符号が分からない文字式を、場合分けせずに両辺へ掛けるのは危険です。正・負・0の可能性や、定義できない値を確認する必要があります。

文章題の条件を不等式にする

自習室の登録料が1200円、1回の利用料が450円で、予算が4800円以下だとします。利用回数をn回とすると、1200 + 450n ≤ 4800です。両辺から1200を引き、450で割るとn ≤ 8。実際の答えは0回から8回までの整数です。

「以下」「多くても」は上限を含み、「未満」「より少ない」は含みません。変数と単位を決め、条件を式にし、解いた後で状況に戻します。代数上のn ≤ 8には負の数も入りますが、利用回数として負の値は除きます。

よくあるミスを3つの検算で見つける

よくあるのは、引き算をしただけで不等号を逆にする、負の数で割ったのに逆にしない、括弧の一部だけを展開する、記号と端点の丸が一致しない、といったミスです。x ≤ 10をx = 10だけと書くと、境界と解全体を混同しています。

検算は3段階で行います。各変形の理由を書いて計算を見直す、含むはずの端点を代入する、塗った側と塗っていない側から値を選んで元の式で試す、の順です。グラフは見た目の確認になりますが、入力した式自体の誤りや無効な変形までは直してくれません。

• 両辺に同じ操作をしたか
• 負の数で掛ける・割るときだけ向きを逆にしたか
• 白丸・黒丸が不等号の記号と合っているか
• 代入した値と塗った範囲が一致するか

自力で練習し迷った1行だけEqoraで確認する

解答を隠して、5x − 7 > 18、4 − 2x ≥ 10、−5 < 2x + 1 ≤ 9を解いてみましょう。先に範囲の向きを予想し、数直線を描き、値を1つ代入します。答えは順にx > 5、x ≤ −3、−3 < x ≤ 4です。自分で終えてから比べてください。

答えが合わないときは、元の不等式と最初に不安になった行をEqoraに示し、どの操作が解の範囲を変えるのかを尋ねます。同じ注意点を含む未解答の類題を頼むのもよいでしょう。説明を閉じて新しい問題を自力で解きます。AIにも記号の読み違いや計算ミスがあるため、最後は代入と数直線で確認します。

今すぐ実践する

今日の宿題や復習リストから一問を選びます。まず自分で取り組み、考えが止まった箇所を確認するときだけEqoraを使いましょう。

• 解く前に、問題が何を求めているかを口に出す
• 理由を言えない最初の一歩を指し示す
• その一歩についてEqoraに的を絞った追加の質問をする
• 解答を見ない似た問題で締めくくる

学習の流れは、紙に答えがあるから終わるのではなく、やり方がより明確になったから終わります。