Inecuaciones lineales · Guía de Eqora
Inecuaciones lineales paso a paso
Interpreta el conjunto solución, cambia el signo solo cuando corresponde y comprueba los extremos en la recta numérica.
Una inecuación lineal suele pedir todos los valores que hacen verdadera una comparación, no una sola respuesta. Resolverla consiste en conservar ese conjunto mientras simplificas. El álgebra se parece a la de una ecuación, pero el sentido del signo y la inclusión del extremo aportan información adicional.
Empieza por razonar la operación. Los ejemplos muestran cuándo se invierte el signo, cómo representar la respuesta y cómo comprobarla sin depender de una herramienta. Eqora puede revisar un paso dudoso o proponer otro ejercicio, pero la comprobación final debe volver a la inecuación original.
Interpretar el conjunto solución
En x + 4 < 9, resta 4 en ambos miembros y obtienes x < 5. No es una única respuesta: sirven todos los números menores que 5. En la recta numérica coloca un círculo abierto en 5, porque 5 + 4 < 9 es falso, y sombrea hacia la izquierda.
Si la expresión es x + 4 ≤ 9, resulta x ≤ 5. Ahora el 5 sí pertenece al conjunto porque 5 + 4 ≤ 9 es verdadero; por eso el círculo es cerrado. La frase, el símbolo y el dibujo deben coincidir: menor apunta a la izquierda, mayor a la derecha y la barra de igualdad incluye el extremo.
Resolver una inecuación por etapas
Resuelve 3(2x − 1) ≤ 5x + 7. Distribuye: 6x − 3 ≤ 5x + 7. Resta 5x en ambos lados para obtener x − 3 ≤ 7 y suma 3: x ≤ 10. Como has aplicado la misma suma o resta a ambos miembros, el sentido de la comparación no cambia.
Comprueba el extremo y un valor cercano. Con x = 10, los lados originales son 3(19) = 57 y 5·10 + 7 = 57, así que el extremo incluido funciona. Con x = 11 se obtienen 63 y 62; 63 ≤ 62 es falso. Las dos pruebas respaldan tanto el extremo como la dirección del sombreado.
Conserva visible la inecuación original. El extremo comprueba la inclusión y un punto de la zona sombreada comprueba la dirección.
Invertir el signo al operar con un número negativo
Resuelve −4x + 6 > 18. Al restar 6 queda −4x > 12. Divide entre −4 e invierte el signo: x < −3. Si escribieras x > −3, aceptarías x = 0, aunque al sustituirlo aparece la afirmación falsa 6 > 18.
La inversión refleja el orden de los números. Si 2 < 5, al multiplicar ambos por −1 queda −2 > −5. Sumar o restar conserva el orden; multiplicar o dividir por un número positivo también; hacerlo por uno negativo lo invierte.
Trabajar con inecuaciones compuestas e intervalos
En −2 < 3x + 4 ≤ 13 deben cumplirse las dos comparaciones. Resta 4 en las tres partes: −6 < 3x ≤ 9. Divide entre 3 positivo: −2 < x ≤ 3. Dibuja un punto abierto en −2, uno cerrado en 3 y sombrea entre ambos. En notación de intervalos es (−2, 3].
Una condición con «o» une regiones separadas. Para x ≤ −1 o x > 4, sombrea a la izquierda desde −1 cerrado y a la derecha desde 4 abierto; el hueco queda vacío. Antes de calcular, distingue si el enunciado exige una intersección («y») o una unión («o»).
- Círculo abierto para < o >
- Círculo cerrado para ≤ o ≥
- Sombreado entre extremos en una condición acotada con «y»
- Semirrectas separadas en una condición con «o»
Eliminar fracciones sin alterar la solución
Resuelve (2x − 3)/5 ≥ (x + 1)/2. Multiplica ambos miembros por 10, un denominador común positivo: 2(2x − 3) ≥ 5(x + 1). Así, 4x − 6 ≥ 5x + 5 y después −11 ≥ x, es decir, x ≤ −11. Con x = −11 ambos lados originales valen −5, de modo que el extremo se incluye.
Un denominador fijo positivo se elimina sin invertir el signo; un factor fijo negativo obliga a invertirlo. No multipliques por una expresión variable si desconoces su signo. Cuando puede ser positiva, negativa o cero, hay que estudiar casos y posibles valores excluidos.
Traducir una restricción de un problema
Un centro de estudio cobra 12 euros de matrícula y 4,50 euros por sesión. Tu presupuesto es como máximo de 48 euros. Si n es el número de sesiones, escribe 12 + 4,50n ≤ 48. Resta 12 y divide entre 4,50: n ≤ 8. En el contexto, las soluciones son los enteros de 0 a 8.
«Como máximo» incluye el límite, mientras que «menos de» lo excluye. Define la variable y la unidad, modela la restricción, resuelve y vuelve a la situación. El conjunto algebraico n ≤ 8 contiene negativos, pero un número de sesiones no puede ser negativo.
Detectar errores con comprobaciones concretas
Los fallos habituales son invertir el signo después de una resta, no invertirlo al dividir por un negativo, distribuir solo a un término o dibujar un extremo incompatible con el símbolo. Dar solo x = 10 cuando la solución es x ≤ 10 confunde el límite con todo el conjunto.
Haz tres controles: repite el álgebra indicando la razón de cada operación, sustituye el extremo cuando deba incluirse y prueba valores de las regiones relevantes. La gráfica aporta una comprobación visual, pero no corrige una inecuación mal introducida ni demuestra que cada transformación sea válida.
- ¿Se aplicó la misma operación a ambos miembros?
- ¿Solo se invirtió el signo al multiplicar o dividir por un negativo?
- ¿El extremo corresponde al símbolo estricto o inclusivo?
- ¿Los valores de prueba coinciden con el sombreado?
Practicar solo y usar Eqora en el punto de bloqueo
Resuelve sin mirar la solución: 5x − 7 > 18; 4 − 2x ≥ 10; y −5 < 2x + 1 ≤ 9. Predice primero la dirección, dibuja la recta y comprueba un valor. Las respuestas son x > 5, x ≤ −3 y −3 < x ≤ 4; compáralas solo al terminar.
Si algo no coincide, muestra a Eqora la inecuación original y la primera línea que te genere dudas. Pregunta qué operación cambia el conjunto o pide otro ejemplo con el mismo obstáculo. Después cierra la explicación y resuelve uno nuevo sin ayuda. Una IA puede leer mal un símbolo o calcular mal, así que termina con tu propia sustitución y recta numérica.
Llévalo a la práctica ahora
Elige un problema de tus tareas actuales o de tu lista de repaso. Inténtalo antes de abrir Eqora y usa la app solo en el punto donde termina tu propio razonamiento.
- Di qué pide el problema antes de resolver
- Identifica el primer paso que no puedes justificar
- Haz a Eqora una pregunta concreta sobre ese paso
- Cierra con un problema similar sin la solución a la vista
La ronda de estudio está lista cuando el método queda más claro, no solo cuando la hoja de ejercicios tiene otra respuesta.