Statistique · Guide Eqora
Corrélation : un lien n’est pas une cause
Calculez un petit exemple de Pearson, examinez les observations appariées et distinguez une association linéaire d’une explication causale.
Deux colonnes de nombres semblent augmenter ensemble. Quelqu’un conclut aussitôt que modifier la première grandeur fera changer la seconde. Le calcul peut être juste alors que cette conclusion n’est pas établie. Une corrélation résume un certain motif dans des observations numériques appariées. Elle ne révèle ni un mécanisme ni l’effet d’une intervention. Pour interpréter le nombre, il faut les couples d’origine, une représentation de leur allure et une distinction claire entre description et explication.
Ce guide construit le coefficient descriptif de corrélation de Pearson à partir d’un petit exemple original. Vous le calculerez, repérerez ses cas non définis et étudierez une relation courbe ainsi qu’un point inhabituel très influent. La méthode peut s’exercer gratuitement sur papier avec une calculatrice, sans application obligatoire. Tous les jeux de données et scénarios causaux ci-dessous sont inventés pour apprendre : ce ne sont ni des résultats scientifiques ni des mesures tirées des photographies.
Eqora publie ce guide utilisable de façon autonome. Eqora est une aide à l’apprentissage, pas un remplacement du travail d’examen ni une garantie de justesse ou de notes. Respectez les règles de votre cours et vérifiez notation, hypothèses et résultats. Les photos du poste d’observation sont des illustrations conceptuelles : rubans, corde et filtres ne codent aucun coefficient. Une image convaincante ou une réponse numérique bien présentée ne constitue pas une preuve de causalité.
Le coefficient de Pearson décrit une association linéaire
Un nuage de points place un point (x_i, y_i) pour chaque couple observé. Lorsqu’il est défini, le coefficient descriptif r est compris entre −1 et +1. Une valeur positive décrit une association linéaire positive ; une valeur négative, une association linéaire négative. La valeur absolue caractérise l’intensité de ce motif linéaire dans les données. Elle ne dit pas si la relation est utile, importante ou causale. Une corrélation négative peut être plus intense qu’une petite corrélation positive.
Le cours descriptif de l’INRIA définit la corrélation à partir de la covariance et précise qu’un lien non linéaire peut subsister lorsque r est nul. Si les deux variables varient, r = +1 correspond à une droite exactement croissante et r = −1 à une droite exactement décroissante. Une courbe marquée peut être mal résumée par r. Examinez d’abord les couples ; un seuil numérique universel ne suffit pas à qualifier l’intensité dans tous les domaines et pour toutes les questions.
Conservez les couples lorsque vous centrez les valeurs
Notons x̄ et ȳ les deux moyennes arithmétiques, puis dx_i = x_i − x̄ et dy_i = y_i − ȳ. Sxx désigne la somme des dx_i², Syy celle des dy_i² et Sxy celle des produits dx_i dy_i. On obtient r = Sxy / √(Sxx Syy). Il faut au moins deux couples et deux sommes strictement positives, Sxx > 0 et Syy > 0. Le dénominateur rapporte la variation conjointe signée à la dispersion propre de chaque variable.
L’appariement doit rester intact à chaque ligne. Trier séparément les valeurs de x et de y invente de nouveaux couples et peut fabriquer une autre association. Même si vous réordonnez les lignes, gardez ensemble les deux valeurs d’une observation. Les données manquantes exigent une règle explicite sur les couples retenus. N’utilisez pas discrètement des lignes différentes pour une moyenne et pour les produits communs : ce ne serait plus le calcul annoncé au départ.
Calculez entièrement un petit exemple
Prenez les couples (1, 2), (2, 4) et (3, 3). Les moyennes valent x̄ = 2 et ȳ = 3. Les x centrés sont −1, 0, 1 ; les y centrés sont −1, 1, 0, dans le même ordre. Les produits appariés valent 1, 0, 0, donc Sxy = 1. Les carrés des écarts donnent Sxx = 2 et Syy = 2. Ainsi r = 1/√4 = 0,5. Chaque somme peut être vérifiée sans outil spécialisé.
Cette minuscule table présente une association linéaire positive, mais le dernier couple ne prolonge pas une droite parfaitement croissante. Le coefficient ne signifie ni que la moitié des valeurs de y est causée par x, ni que y augmente d’une demi-unité. Il ne décrit pas automatiquement toutes les observations futures. Trois couples construits constituent un exercice de calcul, pas une preuve empirique solide. Indiquez l’effectif et regardez les valeurs avec le coefficient, sans donner au nombre décimal une portée qu’il n’a pas.
Distinguez corrélation, pente et unités de mesure
Pour des x variables, y = 2x + 5 et y = 1000x + 7 donnent tous deux r = +1, malgré des pentes très différentes. La corrélation est sans unité ; elle ne mesure pas des unités de y par unité de x. Convertir les x de notre petite table dans une unité soixante fois plus petite multiplie leurs nombres par 60. Ce facteur positif multiplie Sxy et le dénominateur de la même manière : r reste égal à 0,5.
Ajouter 10 à chaque y laisse aussi les écarts centrés inchangés. Multiplier tous les y par −1 inverse le sens vertical et donne r = −0,5. Ces règles concernent les translations et les changements d’échelle de facteur non nul ; une transformation non linéaire peut modifier la corrélation autrement. Notre guide sur l’écart type explique pourquoi la dispersion et les unités demandent une interprétation précise. Un coefficient sans unité n’est ni un taux physique de variation ni un effet exprimé en pourcentage.
Une corrélation nulle peut masquer une courbe exacte
Choisissez x = (−2, −1, 0, 1, 2) et y = (4, 1, 0, 1, 4). Chaque couple vérifie exactement y = x². Ici x̄ = 0 et ȳ = 2. La somme des produits centrés est nulle : les contributions des x négatifs et positifs se compensent. Sxx = 10 et Syy = 14 sont strictement positifs, donc r = 0. Le calcul est défini et correct, alors que x détermine entièrement y dans cette table construite.
Le tracé des cinq couples dessine un U plutôt qu’une inclinaison rectiligne. Ainsi r = 0 ne signifie pas absence de toute relation et ne démontre généralement pas l’indépendance statistique. Une valeur proche de zéro ne prouve pas non plus qu’une intervention serait sans effet. Le coefficient répond à une question descriptive limitée sur l’association linéaire. Si le motif est courbe, décrivez-le et envisagez un modèle adapté au lieu de renforcer verbalement un résumé linéaire inapproprié.
Une variable constante rend le coefficient non défini
Si y = (5, 5, 5), tous les y centrés valent zéro. Par conséquent Syy = 0 et le dénominateur √(Sxx Syy) est nul. Le coefficient de Pearson n’est pas défini : ce n’est pas un cas particulier de r = 0. Des points sur une droite horizontale ou verticale, sans variation d’une coordonnée, n’ont donc pas de coefficient de Pearson défini. Si un logiciel renvoie un avertissement ou une valeur manquante, cherchez pourquoi au lieu de remplacer automatiquement cette sortie par zéro.
Avec seulement deux couples et des valeurs différentes dans chaque coordonnée, les deux points sont toujours sur une droite non horizontale : r vaut +1 ou −1. Ce fait mathématique n’est pas une preuve convaincante d’un motif stable dans une population. Le simple calcul descriptif n’exige pas des données normalement distribuées. En revanche, inférences, intervalles et certains tests nécessitent d’autres hypothèses. Ce guide ne déduit pas un effet de population d’une petite table ni une cause d’un test significatif.
Examinez un point inhabituel sans le supprimer pour améliorer r
Considérez x = (1, 2, 3, 4) et y = (4, 1, 3, 2). Les deux moyennes valent 2,5 ; les sommes de carrés centrés valent chacune 5, et la somme des produits centrés vaut −2. Ainsi r = −0,4. Ajoutez maintenant le couple (20, 20). Les deux moyennes deviennent 6, Sxx et Syy deviennent 250 chacun, et Sxy devient 243. Le nouveau coefficient vaut 243/250 = 0,972. Un seul couple éloigné a fortement modifié le résumé.
Ces nombres inventés illustrent une sensibilité, pas une autorisation de retirer les observations gênantes. Vérifiez s’il s’agit d’une erreur de saisie, d’une autre population ou d’une valeur authentique répondant à la définition de l’étude. Corrigez une erreur avec des éléments vérifiables. Si la valeur est réelle, présentez son influence et justifiez toute exclusion par les règles de l’étude, pas par le coefficient souhaité. Montrer les analyses avec et sans le point révèle une sensibilité ; cacher le choix déformerait les données.
Une cause commune peut faire varier les deux grandeurs
Imaginez relever, sur plusieurs jours, le nombre de visiteurs d’un jardin partagé et les boissons qui y sont vendues. Une association positive ne montrerait pas, à elle seule, qu’acheter une boisson fait venir d’autres personnes. Le beau temps pourrait influencer les deux grandeurs ; les visiteurs pourraient aussi créer la demande de boissons. C’est un scénario hypothétique, pas une corrélation effectivement mesurée. Les mêmes couples sont compatibles avec différents mécanismes : le coefficient seul ne choisit pas l’explication.
La présentation de Statistique Canada sur corrélation et causalité distingue association observée et justification causale. Une question causale demande d’examiner chronologie, causes communes possibles, sélection et plan d’étude. Des expériences randomisées peuvent traiter certains problèmes lorsque leur emploi convient. La justification vient alors du plan et des hypothèses, non de la taille de r. Un petit coefficient ne règle pas davantage toutes les questions causales. Décrivez l’association constatée, puis précisez séparément les éléments nécessaires pour soutenir un effet causal.
Vérifiez le calcul, puis la phrase qui l’interprète
Recalculez les trois couples initiaux sans regarder la résolution : conservez les paires, retrouvez les moyennes et les produits centrés, puis r = 0,5. Inversez ensuite le signe de chaque y et prévoyez r = −0,5 avant de calculer. Remplacez enfin y par une constante et expliquez pourquoi la formule cesse d’être définie. Ces modifications testent mieux la compréhension que mémoriser un nombre décimal ou appliquer une étiquette d’intensité sans contexte.
Notre guide pour vérifier une réponse sans corrigé recommande une seconde représentation. Pour la corrélation, associez arithmétique, nuage de points et conclusion soigneuse. Les deux variables varient-elles ? Une courbe ou une observation inhabituelle domine-t-elle ? Le plan d’étude soutient-il chaque cause affirmée ? Écrivez ce que r décrit dans la table et ce qu’il laisse indéterminé. Cette dernière phrase fait partie de la justesse mathématique ; ce n’est pas un avertissement ajouté sans lien avec le raisonnement principal.
